《编程珠玑(续)(修订版)》—第1章1.1节计算素数

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《编程珠玑(续)(修订版)》—第1章1.1节计算素数

异步社区 2017-05-02 14:25:00 浏览734
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本节书摘来自异步社区《编程珠玑(续)(修订版)》一书中的第1章,第1.1节计算素数,作者【美】Jon Bentley,更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

第1章 性能监视工具
编程珠玑(续)(修订版)
听诊器是一种简单工具,却给医生的工作带来了革命:它让内科医生能有效地监控病人的身体。性能监视工具(profiler)对程序起着同样的作用。

你现在用什么工具来研究程序?复杂的分析系统很多,既有交互式调试器,又有程序动画系统。正如CT扫描仪永远代替不了听诊器一样,复杂的软件也永远代替不了程序员用来监控程序的最简单工具——性能监视工具,我们用它了解程序各部分的执行频率。

本章先用两种性能监视工具来加速一个小程序(记住真正的目的是说明性能监视工具)。后续各节简要介绍性能监视工具的各种用途、非过程语言的性能监视工具,以及开发性能监视工具的技术。

1.1 计算素数
程序P1是个ANSI标准C程序,依次打印所有小于1000的素数(如果读者不了解C,请看附录A)。

程序P1

    `javascript
int prime(int n)
    {  int i;
999     for (i = 2; i < n; i++)
78022      if(n%i == 0)
831         return 0;
168     return 1;
    }
    main()
    {  int i, n;
1      n = 1000;
1      for (i = 2; i <= n; i++)
999       if (prime(i))
168         printf("%dn", i);
    }

如果整型参数n是素数,上述prime函数返回1(真),否则返回0。这个函数检验2到n-1之间的所有整数,看其是否整除n。上述main过程用prime子程序来依次检查整数2~1000,发现素数就打印出来。

我像写任何一个C程序那样写好程序P1,然后在性能监视选项下进行编译。在程序运行之后,只要一个简单的命令就生成了前面所示的列表。(我稍微改变了一些输出的格式。)每行左侧的数由性能监视工具生成,用于说明相应的行执行了多少次。例如,main函数调用了1次,其中测试了999个整数,找出了168个素数。函数prime被调用了999次,其中168次返回1,另外831次返回0(快速验证:168+
831=999)。prime函数共测试了78022个可能的因子,或者说为了确定素数性,对每个整数检查了大约78个因子。

程序P1是正确的,但是很慢。在VAX-11/750上,计算出小于1000的所有素数约需几秒钟,但计算出小于10 000的所有素数却需要3分钟。对这些计算的性能监视表明,大多数时间花在了测试因子上。因而下一个程序只对n考虑不超过\sqrt n 的可能的整数因子。整型函数root先把整型参数转换成浮点型,然后调用库函数sqrt,最后再把浮点型结果转换回整型。程序P2包含两个旧函数和这个新函数root。

程序P2

int root(int n)
5456   { return (int) sqrt((float) n); }

     int prime(int n)
     {  int i;
999     for (i = 2; i < = root(n); i++)
5288       if (n % i == 0)
831          return 0;
168     return 1;
     }

     main()
     {  int i, n;
1       n = 1000;
1       for (i = 2; i < = n; i++)
999        if (prime(i))
168          printf("%dn", i);
     }

修改显然是有效的:程序P2的行计数显示,只测试了5288个因子(程序P1的1/14),总共调用了5456次root(测试了5288次整除性,168次由于i超出了root(n)而终止循环)。不过,虽然计数大大减少了,但是程序P2运行了5.8秒,而程序P1只运行了2.4秒(本节末尾的表中含有运行时间的更多细节)。这说明什么呢?

迄今为止,我们只看到了行计数(line-count)性能监视。过程时间(procedure-time)性能监视给出了较少的控制流细节,但更多地揭示了CPU时间:

%time  cumsecs     #call    ms/call      name
   82.7    4.77                    _sqrt
   4.5    5.03     999      0.26       _prime
   4.3    5.28     5456      0.05       _root
   2.6    5.43                    _frexp
   1.4    5.51                    _ _doprnt
   1.2    5.57                    _write
   0.9    5.63                    mcount
   0.6    5.66                    _creat
   0.6    5.69                    _printf
   0.4    5.72       1     25.00       _main
   0.3    5.73                    _close
   0.3    5.75                    _exit
   0.3    5.77                    _isatty

过程按照运行时间递减的顺序列出。时间上既显示出总秒数,也显示出占总时间的百分比。编译后记录下源程序中main、prime和root这3个过程的调用次数。再次看到这几个计数是令人鼓舞的。其他过程没有性能监视的库函数,完成各种输入/输出和清理维护工作。第4列说明了带语句计数的所有函数每次调用的平均毫秒数。

过程时间性能监视说明,sqrt占用CPU时间的最多:该函数共被调用5456次,for循环的每次测试都要调用一次sqrt。程序P3通过把sqrt调用移到循环之外,使得在prime的每次调用中只调用一次费时的sqrt过程。

程序P3

    ```javascript
int prime(int n)
     {  int i, bound;
999      bound = root(n);
999      for (i = 2; i < = bound; i++)
5288        if (n % i == 0)
831           return 0;
168        return 1;
    }

当n=1000时,程序P3的运行速度大约是程序P2的4倍,而当n= 100 000时则超过10倍。以n=
100 000的情形为例,过程时间性能监视显示,sqrt占用了程序P2的88%的运行时间,但是只占用了程序P3的48%的运行时间。这好多了,但仍然是循环的累赘。

程序P4合并了另外两个加速措施。首先,程序P4通过对被2、3和5整除的特殊检验,避免了近3/4的开方运算。语句计数表明,被2整除的性质大约把一半的输入归入合数,被3整除把剩余输入的1/3归入合数,被5整除再把剩下的这些数的1/5归入合数。其次,只考虑奇数作为可能的因子,在剩余的数中避免了大约一半的整除检验。它比程序P3大约快两倍,但是也比P3的错误更多。下面是(带错的)程序P4,你能通过检查语句计数看出问题吗?

程序P4

int root(int n)
265    {  return (int) sqrt((float) n); }

     int prime(int n)
     {  int i, bound;
999      if (n % 2 == 0)
500        return 0;
499      if (n % 3 == 0)
167        return 0;
332      if (n % 5 == 0)
67        return 0;
265      bound = root(n);
265      for (i = 7; i <= bound; i = i+2)
1530        if (n % i == 0)
100           return 0;
165      return 1;
    }
    main()
    {   int i, n;
1       n = 1000;
1       for (i = 2; i <= n; i++)
999        if (prime(i))
165          printf("%d\n", i);
    }

先前的程序找到168个素数,而程序P4只找到165个。丢失的3个素数在哪里?对了,我把3个数作为特殊情形,每个数都引入了一处错误:prime报告2不是素数,因为它被2整除。对于3和5,存在类似的错误。正确的检验是

if (n % 2 == 0)
  return (n == 2);

依此类推。如果n被2整除,如果n是2就返回1,否则返回0。对于n=1000、10 000和100 000,程序P4的过程时间性能监视结果总结在下表中。


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程序P5比程序P4快,并且有个好处:正确。它把费时的开方运算换成了乘法,如以下程序片段所示。

程序P5的片段

265       for (i = 7; i*i <= n; i = i+2)
1530         if (n % i == 0)
100            return 0;
165       return 1;

它还加入了对被2、3、5整除的正确检验。程序P5总的加速大约有20%。

最后的程序只对已被判定为素数的整数检验整除性;程序P6在1.4节,用Awk语言写成。C实现的过程时间性能监视结果表明,在n=1 000时,49%的运行时间花在prime和main上(其余是输入/输出);而当n=100 000时,88%的运行时间花在这两个过程上。

下面这个表总结了我们已经看到的这几个程序。表中还包含另外两个程序作为测试基准。程序Q1用习题答案2中的埃氏筛法程序计算素数。程序Q2测量输入/输出开销。对于n=1 000,它打印整数1, 2,…, 168;对于一般的n,它打印整数1, 2,…, P(n),其中P(n)是比n小的素数的个数。


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本节集中讲述了性能监视的一种用途:当你调优单个子过程或函数的性能时,性能监视工具能告诉你运行时间都花在了哪里。

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