一个求累加和程序的求解过程

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一个求累加和程序的求解过程

贺利坚 2012-02-29 09:32:00 浏览1520
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【题目】求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!


【本文结构】

  看题目,有点难度(相对而言,熟悉编程后,这只是一个非常典型的问题)。将我带着大家把这个问题分解一下,由易到难解出来。

  我们要经历的过程是:

  (一)求f=1+2+...+9【很简单的问题】

  (二)求f=1-2+3-4+...+9【在(一)的基础上,学习如何一正一负地累加】

  (三)求f=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9【在(二)的基础上,被加数成了自然数的倒数】

  (四)求f=1!-2!+3!-4!+...+9!【在(二)的基础上,被加数成了自然数的阶乘】

  (五)求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!【运用(三)和(四)的方法就能出来了】

  (六)用哪种循环语句其实并不是大事,本题以上的部分而言,for循环还是最好的

  (七)求f=1-1/2!+1/3!-1/4!+...,要求精度达到0.0000001【对题目的扩充,在数值求解时,常常并不限定累加的项数,而是用精度控制】

  如果这些题目对你目前已经不存在问题,体会这个化简的过程就可以关闭页面了。要学会这种办法,让自己由简而繁地工作。


【相关练习题(加*者在文后给了参考例程)】

  • 对于任何正整数n,求1+n+n*n+n*n*n。
  • 不断从键盘中输入实数,边输入边累加,直到它们的和超过1000时为止。
  • 计算正整数n以内(包括n)的奇数之和及偶数之和。
  • 已知本金为a,年利率为x%,试求存入银行多少年后本、利和翻一番。(提示:用s表示本、利合计,循环要表达的是“当(s<2*a)时,增加1年,计算下一年末的本、利合计”)
  • 求任一长整数n的各位数字之和(提示:本题在每次循环中应该提取出某一位数并累加,即,先分离出个位累加,将n缩小10倍,重复操作直至n=0时为止。 )
  • 求任一长整数n的所有因子的之。(提示:循环中对所有可能成为该数因子的数进行考察,如果是因子,累加。 )
  • 在歌星大奖赛中,有10个评委为参赛的选手打分,分数为1~100分。选手最后得分为:去掉一个最高分和一个最低分后其余8个分数的平均值。请编写一个程序实现。

  • (*)一个百万富翁遇到一个陌生人,陌生人找他谈一个换钱的计划,该计划如下:我每天给你十万元,而你第一天只需给我一分钱,第二天我仍给你十万元,你给我两分钱,第三天我仍给你十万元,你给我四分钱,....,你每天给我的钱是前一天的两倍,直到满一个月(30天),百万富翁很高兴,欣然接受了这个契约。请编写程序计算30天后陌生人给了百万富翁多少钱,百万富翁给了陌生人多少钱?这个换钱计划对百万富翁是个划算的交易吗?
  • (*)现在北京有一套房子,价格200万,假设房价每年上涨10%,一个软件工程师每年固定能赚40万。如果他想买这套房子,不贷款,不涨工资,没有其他收入,每年不吃不喝不消费,那么他需要几年才能攒够钱买这套房子? (答案会让人很悲观。不过房价这样涨,是不正常的,总有泡泡吹破的一天。)

【本文正文】

  (一)先做一个简单程序:f=1+2+...+9

  这太简单了!

int main()
{
  const int n=9;   //把9定义成常变量,这是个好办法,增强可读性、可维护性,见P30,讲过
  int i,f;   //本题求值后,f为整数,所以用int型。要根据情况选数据类型。i将用于控制循环,用int
  f=0;   //赋初值很重要,也可以定义的同时初始化。有同学算出了莫名其妙的和,因为没有赋初值
  for(i=1;i<=n;i++)
    f=f+i;         //请深刻理解for有运行机制,要习惯于这种思维
  cout<<f<<endl;
}
[小评论,为了解本题目求解过程的读者,直接跳到(二)]
  在这段程序中,for可以有各种其他写法,但惟有此为最佳:i控制了循环的次数(理解为何叫计数型循环)。我们将i称作为循环变量。在for(;;)中两个分号隔开的三部分中,分别只给循环变量赋初值、判断是否结束循环、循环变量调整,其余的任何操作统统放到别的地方去做。例如此处,为f赋初值放在循环前、累加的工作作为循环体。除些之外,别的写法,如
for(f=0,i=1;i<=n;i++) f=f+i;

  或
f=0,i=1;
for(;i<=n;i++) f=f+i;
  或
for(f=0,i=1;i<=n;f=f+i,i++);

  或

f=0,i=1;
for(;i<=n;)
{
  f=f+i;
  i++;
}
  之流的,还可以写出无数,都是不利于理解的写法。
  再欣赏一下正宗的for循环,想想前面的形式,那是什么东西!?最清晰、最好的写法是:

f=0;
for(i=1;i<=n;i++)
  f=f+i;

  (二)题目再变复杂些:f=1-2+3-4+...+9

int main()
{
  const int n=9;
  int i,f,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换
  f=0;   //赋初值很重要
  for(i=1;i<=n;i++)
  {                //因为循环体中将出现多条语句,加{}使之成为一条复合语句
    f=f+sign*i;
    sign=-sign;  //这个技术很重要,相比求幂,效率提高很多
  }
  cout<<f<<endl;
}

  从这个例子中,我想强调:设计程序时,每一个变量的含义必须明确,不要试图让一个变量承担过多的角色。有些同学的变量用得很乱,碰巧得到正确的结果,有时还沾沾自喜,孰料其中存在大大的隐患。

  sign变量的名字也再次告诉我们,变量起名时,要尽量起有意义的名字,尤其其中几个变量间的关系微妙时。小程序中常用n、i、f之类的,其实并不是好习惯。想想dTax、fNetIncome,何等的清楚。


  (三)还再变复杂些:f=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9。

int main()
{
  const int n=9;
  int i,sign=1;
  double f; //为什么换类型了?算下来f是小数,还用整型那不找错吗?
  f=0;
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    f=f+sign*double(1)/i;  //这儿涉及类型转换,下面将深入讨论
    sign=-sign;  //sign只用作控制符号,不作他用,欣赏一下
  }
  cout<<f<<endl;
}

  关于类型,因为i为int型,如果直接1/i结果为int型,因为i≥1,从第2次循环开始(i=2),f就一直累加0了,多么可怕的一个潜在Bug。也可以写作1/double(i),但不能是double(1/i),已经求得商为0了,再double有何用,无法起死回生了。从语句整体,写成f=f+sign/double(i);更好。

  在同学学愿意将i用作double型或float型,这样f=f+sign*1/i;或f=f+sign/i;都行。但是i是用于计数的(顺便做了除数而已)这个含义将被削弱。我个人还是不赞同这样做,尽管需要进行强制类型转换。


  (四)在(二)的基础上再做次复杂化:f=1!-2!+3!-4!+...+9!
  增加一个变量a用于表示等待累加的阶乘值,显然,在累加3!时,上一循环计算得到的阶乘a为2!,a*3即是要加的3!。
int main()
{
  const int n=9;
  int i,f,a,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换
  f=0;   //累加和的初值取0
  a=1;   //累乘积的初值取1 
  for(i=1;i<=n;i++)
  {                
    a=a*i;
    f=f+sign*a;   //将阶乘加上去,不要试图将求幂也写到一个语句中,那样的程序没法读了
    sign=-sign;  
  }
  cout<<f<<endl;
}

  (五)到此应该知道:将(三)和(四)结合起来就是我们要的结果了!
  计算:f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;  //再说一点,很多同学将这两个语句写在一行,没错,但不好
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;  
  }
  cout<<f<<endl;
}

  (六)用其他的循环语句完成求解
  *********************用while循环实现************************
  给出循环:
for(i=1;i<=n;i++)
    f=f+i;
  对应的while循环是:
i=1;
while(i<=n)
{
  f=f+i;
  i++;
}
  仍然是一个漂亮的计数!只不过将要做的事情在合适的位置上安排好罢了。
  用while实现计算f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!的程序是

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;
  i=1; //对应原先for循环中的<表达式1>,—— for(i=1;i<=n;i++)
  while(i<=n)  //循环条件是原for循环中的<表达式2>,—— for(i=1;i<=n;i++)
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;
    i++;     //不要漏下原for循环中的<表达式3>,—— for(i=1;i<=n;i++)  
  }
  cout<<f<<endl;
}


  *********************用do-while循环实现************************
  给出循环:
for(i=1;i<=n;i++)
  f=f+i;
  如果能够保证循环体至少能执行1次,对应的do-while循环是:
i=1;
do
{
  f=f+i;
  i++;
}
while(i<=n);
  换汤不换药,关键在于,对这种循环的运行过程要了然于胸。
  for循环和while循环的循环体允许一次都不执行,如果循环条件一开始就不满足。而do-while循环的循环体则最少执行一行。为此,有些问题用do-while写时就有其特点了,此处不表。
  用do-while实现计算f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!的程序是:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;
  i=1; //循环的初始条件
  do  
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;
    i++;          //循环变量的变化写在循环体内
  }while(i<=n);   //确定在何条件下循环可以继续
  cout<<f<<endl;
}

  (七)题目的扩充,求f=1-1/2!+1/3!-1/4!+...,要求精度达到0.0000001
  在数值求解时,常常并不限定累加的项数,而是用精度控制。
  上述题目的意思是:利用循环累加9次,或者说,累加,直到加了第9项。
  现在的问题是:需要加几次不知道,但最后一项小于0.0000001后就不再加了。或者说,累加,直到要加的项小于0.0000001。
  当累加的项数不确定时,建议直接用while的思维考虑这个问题。
  用伪代码表示这个思路:
累加的项item初值为1;
while(item > 0.0000001)
	执行累加任务;
  读者可以再细化算法。对应的C++程序是:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f,item; 
  f=0;   //累加和
  a=1;   //阶乘
  i=1;   //第几项?
  item = 1;  //要加的项
  while(item > 0.0000001)  
  {
    item = double(1)/a; 
	f=f+sign*item;  
    a=a*i; 
	sign=-sign;
    i++;      
  }
  cout<<f<<endl;
}

【部分练习参考例程】
一个百万富翁遇到一个陌生人,陌生人找他谈一个换钱的计划,该计划如下:我每天给你十万元,而你第一天只需给我一分钱,第二天我仍给你十万元,你给我两分钱,第三天我仍给你十万元,你给我四分钱,....,你每天给我的钱是前一天的两倍,直到满一个月(30天),百万富翁很高兴,欣然接受了这个契约。请编写程序计算30天后陌生人给了百万富翁多少钱,百万富翁给了陌生人多少钱?这个换钱计划对百万富翁是个划算的交易吗?
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int days=1;
 double m2fs=0, f2ms=0; //总额,m2f--陌生人to富翁
 double m2f=100000, f2m=0.01; //每天应付数额
 while(days<=30)
 {
  m2fs=m2fs+m2f;
  f2ms=f2ms+f2m;
  cout<<"第"<<days<<"天,陌生人给百万富翁"<<m2fs<<"元,百万富翁给陌生人"<<f2ms<<"元。"<<endl;
  f2m*=2;
  days++;
 }
 if(m2fs>f2ms)
  cout<<"陌生人吃亏。"<<endl;
 else
  cout<<"百万富翁吃亏。"<<endl;
 return 0;
}
建议:此程序中变量的取名可以借鉴一下。

题目:现在北京有一套房子,价格200万,假设房价每年上涨10%,一个软件工程师每年固定能赚40万。如果他想买这套房子,不贷款,不涨工资,没有其他收入,每年不吃不喝不消费,那么他需要几年才能攒够钱买这套房子? 
#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{ 
   double house_price=200, money = 40;
   int year=1;
   const double rate = 0.1;
   const int salary = 40;
   while(money < house_price)
   {
	   cout<<year<<" "<<money<<"  "<<house_price<<endl;
	   ++year;
	   house_price*=(1+rate);
	   money+=salary;
   }
  cout<<endl;
  return 0;
}
思考:(1)程序会进入列限循环直至出错(这是求解结果让人沮丧的事情),如何让程序能在合适的时候停下来?(2)如果 rate = 5%,结果会如何?

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