数据结构七:递归+动规+分治+回溯

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数据结构七:递归+动规+分治+回溯

晓生寒 2019-05-27 10:55:51 浏览494
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Datawhale 系列数据结构

本文参考链接:
01背包问题:https://blog.csdn.net/chanmufeng/article/details/82955730

Task7.1 递归

7.1.1爬楼梯

//爬楼梯:
//假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶
//每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int [] ways = new int[n+1];
        ways[0] = 0;
        for (int i = 1;i<ways.length;i++){
            if (i < 3 ){
                ways[i] = i;
            }else {
                ways[i] = ways[i-1] + ways[i-2];
            }
        }
        return ways[n];
    }
}
//使用最小花费爬楼梯
//数组的每个索引做为一个阶梯,第 i个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](索引从0开始)。
//每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力花费值,然后你可以选择继续爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
//您需要找到达到楼层顶部的最低花费。在开始时,你可以选择从索引为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
       int length = cost.length;
        int[] newCost = new int[length+1];
        newCost = Arrays.copyOf(cost,length+1);
        length = length+1;
        cost = newCost;
        int[] fn = new int[length];
        fn[0] = 0;
        fn[1] = 0;
        fn[2] = Math.min(cost[0],cost[1]);
        for (int i = 3;i<length;i++){
            fn[i] = Math.min(fn[i-1] + cost[i-1],fn[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return fn[length-1]; 
    }
}

7.1.2 0-1背包问题(递归方法解决)

问题描述:
给定 n 种物品重量$ w_1,w_2,w_3,...,w_n $,价值为$v_1,v_2,v_3,...,v_4$,一个容量为$C$的背包,问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?
递归思想:
首先我们用递归的方式来尝试解决这个问题
我们用$F(n,C)$ 表示将前$n$个物品放进容量为$C$的背包里,得到最大的价值。
我们用自顶向下的角度来看,假如我们已经进行到了最后一步(即求解将$n$个物品放到背包了获得最大价值),此时我们便有两种选择:

1.不放第$n$个物品,此时总价值为$F(n-1,C)$
2.放置第$n$个物品,此时总价值为$v_n+F(n-1,C-w_n)$

两种选择中总价值最大的方案就是我们的最终方案,递推式如下:

$F(i,C)=max(F(i-1,C),v(i)+F(i-1,C-w(i)))$
//递归解法
public static int solveKS(int[] w,int[] v,int index,int capacity ){
        if(index<0 || capacity <=0) return 0;
        
        int res = solveKS(w,v,index-1,capacity);
        if(w[index]<=capacity){
            res=Math.max(res, v[index]+solveKS(w,v,index-1,capacity-w[index]));
        }
        return res;
    }
    
    public static int knapSack(int [] w,int [] v,int C){
        int size=w.length;
        return solveKS(w,v,size-1,C);
    }

Task 7.2 回溯

7.2.1八皇后问题

public static int [][] array=new int[8][8];
    public static int map=0;
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("八皇后问题");
        findQueen(0);
        System.out.println("八皇后问题共有:"+map+"种可能");
    }
    
    public static void findQueen(int i){
        if(i>7){
            map++;
            print();//
            return;
        }
        for(int m=0;m<8;m++){
            if(check(i,m)){
                array[i][m]=1;
                findQueen(i+1);
                array[i][m]=0;
            }
        }
    }
    public static boolean check(int k, int j){
        for(int i=0;i<8;i++){//检查行列冲突
            if(array[i][j]==1){
                return false;
            }
        }
        for(int i=k-1,m=j-1;i>=0&& m>=0;i--,m--){
            if(array[i][m]==1){//检查左对角线冲突
                return false;
            }
        }
        for(int i=k-1,m=j+1;i>=0&&m<=7;i--,m++){
            if(array[i][m]==1){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    public static void print(){
        System.out.print("方案"+map+":"+"\n");
        for(int i=0;i<8;i++){
            for(int m=0;m<8;m++){
                if(array[i][m]==1){  
                    //System.out.print("皇后"+(i+1)+"在第"+i+"行,第"+m+"列\t");
                    System.out.print("o ");
                }
                else{
                        System.out.print("+ ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
    }

7.2.2求解0-1背包问题(回溯方法解决)

整体思路:

用回溯法需要构造子集树。对于每一个物品i,对于该物品只有选与不选2个决策,总共有n个物品,可以顺序依次考虑每个物品,这样就形成了一颗空间树:基本思想就是遍历这棵树,以枚举所有情况,最后进行判断,如果重量不超过背包容量,且价值最大的话,该方案就是最后的答案

算法设计:

利用回溯设计一个算法求出0-1背包问题的解,也就是求出一个解向量xi(即对n个物品放或不妨的一种的方案)
其中,(xi=0或1,xi=0表示物体i不放入背包,xi=1表示把物体i放入背包)。
在递归函数Backtrack中,
    当i>n时,算法搜索到叶子节点,得到一个新的物品包装方案。此时算法适时更新当前的最有价值。
    当i<n时,当前扩展结点位于排列树的第(i-1)层,此时算法选择下一个要安排的物品,以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索,对不满足上界约束的结点,则剪去相应的子树
//回溯
public class KnapSack02 {
    private static int n=3;//物品数量编号,从0开始
    private static double c=5;//背包容量
    private static double [] v={12,10,20,15};//各个物品的价值
    private static double [] w={2,1,3,2};//各个物品的重量
    private static double cw = 0.0;//当前背包重量 current weight
    private static double cp = 0.0;//当前背包中物品总价值 current value
    private static double bestp = 0.0;//当前最优价值best price
    private static double [] perp = new double [4];//单位物品价值(排序后) per price
    private static int [] order = new int [4];//物品编号
    private static int [] put = new int [4];//设置是否装入,1装入,0不装

    //按单位价值排序
    public static  void knapsack(){
        int i,j;
        int temporder = 0;
        double temp= 0.0;
        
        for(i=1;i<=n;i++)
            perp[i]=v[i]/w[i];
          for(i=1;i<=n-1;i++)
            {
                for(j=i+1;j<=n;j++)
                    if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
                {
                    temp = perp[i];  //冒泡对perp[]排序
                    perp[i]=perp[i];
                    perp[j]=temp;
         
                    temporder=order[i];//冒泡对order[]排序
                    order[i]=order[j];
                    order[j]=temporder;
         
                    temp = v[i];//冒泡对v[]排序
                    v[i]=v[j];
                    v[j]=temp;
         
                    temp=w[i];//冒泡对w[]排序
                    w[i]=w[j];
                    w[j]=temp;
                }
            }
    }
    
    public static void backtrack(int i){
        //i表示到达的层数(第几步,从0开始),同事也只是当前选择玩了几个物品 
        bound( i);
        if(i>n){
            bestp=cp;
            return;
        }
         //如若左子节点可行,则直接搜索左子树;
        //对于右子树,先计算上界函数,以判断是否将其减去
        if(cw+w[i]<=c)//将物品i放入背包,搜索左子树
        {
            cw+=w[i];//同步更新当前背包的重量
            cp+=v[i];//同步更新当前背包的总价值
            put[i]=1;
            backtrack(i+1);//深度搜索进入下一层
            cw-=w[i];//回溯复原
            cp-=v[i];//回溯复原
        }
        if(bound(i+1)>bestp)//如若符合条件则搜索右子树
            backtrack(i+1);
    }
    
    //计算上界函数,功能为剪枝
    public static double bound(int i)
    {   //判断当前背包的总价值cp+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
        double leftw= c-cw;//剩余背包容量
        double b = cp;//记录当前背包的总价值cp,最后求上界
        //以物品单位重量价值递减次序装入物品
        while(i<=n && w[i]<=leftw)
        {
            leftw-=w[i];
            b+=v[i];
            i++;
        }
        //装满背包
        if(i<=n)
            b+=v[i]/w[i]*leftw;
        return b;//返回计算出的上界
     
    }
    
    public static void main(String[] args) {
         knapsack();
         backtrack(1);
         System.out.println(bestp);
    }
    
}

Task7.3 分治

7.3.1 利用分治算法求一组数据的逆序对个数

public class ReverseOrder {
    private static int sum = 0;
    private static int []a ={5,4,2,6,3,1};
    private static int []b =new int [6]; 
    
    public static void worksort(int l,int r){
        int mid,tmp,i,j;
        if(r>l+1){
            mid=(l+r)/2;
            worksort(l,mid-1);
            worksort(mid,r);
            tmp=l;
            for(i=l,j=mid;i<=mid-1 && j<=r;){
                if(a[i]>a[j])
                {
                    b[tmp++]=a[j++];//快速排序 
                    sum+=mid-i;//统计逆序对个数 
                }
                else
                   b[tmp++]=a[i++];
            }
             if(j<=r)
                  for(;j<=r;j++)  b[tmp++]=a[j];
             else
                  for(;i<=mid-1;i++)   b[tmp++]=a[i];
             for(i=l;i<=r;i++)  a[i]=b[i];//将排好序的b数组赋值给a数组
        }else{
            if(l+1==r)//递归的边界 
                  if(a[l]>a[r])
                  { int temp = a[l];
                      a[l]=a[r];
                      a[r]=temp;
                      sum++;
                  }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        worksort(0,5);
        System.out.println(sum);
    }
}

Task 7.4 动态规划

7.4.1 0-1背包问题

//动态规划
int size = w.length;
        if (size == 0) {
            return 0;
        }

        int[] dp = new int[C + 1];
        //初始化第一行
        //仅考虑容量为C的背包放第0个物品的情况
        for (int i = 0; i <= C; i++) {
            dp[i] = w[0] <= i ? v[0] : 0;
        }

        for (int i = 1; i < size; i++) {
            for (int j = C; j >= w[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]);
            }
        }
        return dp[C];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {2, 1, 3, 2};
        int[] v = {12, 10, 20, 15};
        System.out.println(knapSack(w, v, 5));
    }

7.4.2 编程实现莱温斯坦最短编辑距离

public static int minEditDistance(String dest,String src){
        int [][] f=new int[dest.length()+1][src.length()+1];
        f[0][0]=0;
        for(int i=1;i<dest.length()+1;i++){
            f[i][0]=i;
        }
        for(int i=1;i<src.length()+1;i++){
            f[0][i]=i;
        }
        for(int i=1;i<dest.length()+1;i++){
            for(int j=1;j<src.length()+1;j++){
                int cost=0;
                if(dest.charAt(i - 1) != src.charAt(j - 1)){
                    cost=1;
                }
                int minCost;
                if(f[i-1][j]<f[i][j-1]){
                    minCost=f[i-1][j]+cost;
                }else{
                    minCost=f[i][j-1]+cost;
                }
                f[i][j]=minCost;
            }    
        }
        return f[dest.length()][src.length()];
    }
    public static void main(String[] args) {
        
        System.out.println(minEditDistance("sot", "stop"));
    }

7.4.3 编程实现查找两个字符串的最长子序列

//求解str1 和 str2 的最长公共子序列
    public static int LCS(String str1, String str2){
        int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
        for(int row = 0; row <= str1.length(); row++)
            c[row][0] = 0;
        for(int column = 0; column <= str2.length(); column++)
            c[0][column] = 0;
        
        for(int i = 1; i <= str1.length(); i++)
            for(int j = 1; j <= str2.length(); j++)
            {
                if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                else if(c[i][j-1] > c[i-1][j])
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                else
                    c[i][j] = c[i-1][j];
            }
        return c[str1.length()][str2.length()];
    }
    
    //test
    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "BDCABA";
        String str2 = "ABCBDAB";
        int result = LCS(str1, str2);
        System.out.println(result);
    }

7.4.4编程实现一个数据序列的最长递增子序列

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        /**
        dp[i]: 所有长度为i+1的递增子序列中, 最小的那个序列尾数.
        由定义知dp数组必然是一个递增数组, 可以用 maxL 来表示最长递增子序列的长度. 
        对数组进行迭代, 依次判断每个数num将其插入dp数组相应的位置:
        1. num > dp[maxL], 表示num比所有已知递增序列的尾数都大, 将num添加入dp
           数组尾部, 并将最长递增序列长度maxL加1
        2. dp[i-1] < num <= dp[i], 只更新相应的dp[i]
        **/
        int maxL = 0;
        int[] dp = new int[nums.length];
        for(int num : nums) {
            // 二分法查找, 也可以调用库函数如binary_search
            int lo = 0, hi = maxL;
            while(lo < hi) {
                int mid = lo+(hi-lo)/2;
                if(dp[mid] < num)
                    lo = mid+1;
                else
                    hi = mid;
            }
            dp[lo] = num;
            if(lo == maxL)
                maxL++;
        }
        return maxL;
    }
}

Task 7.5 练习

7.5.1 实战递归

//Letter Combinations of a Phone Number(17)
String[] button=new String[]{"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};

    List<String> list=new ArrayList<>();
    public List<String> letterCombinations(String digits) {
        if (digits==null||digits.length()==0)
            return list;
        letterCombinations(digits,0,new String());
        return list;
    }
    public void  letterCombinations(String digits,int index,String temp) {
       if(index==digits.length()){
            list.add(temp);
            return;
        }
        int position=digits.charAt(index)-'0';
        String str=button[position];
        for (int i=0;i<str.length();i++){
            letterCombinations(digits,index+1,temp+str.charAt(i));
        }
    }

//permutations(46)
 List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        permutation(nums, 0, nums.length - 1);
        return res;
    }
    
    private void permutation(int[] nums, int p, int q) {
        if (p == q) {
            res.add(arrayToList(nums));
        }
        for (int i = p; i <= q; i++) {
            swap(nums, i, p);
            permutation(nums, p + 1, q);
            swap(nums, i, p);  // 这里要交换回来,免得出现重复的情况
        }
    }
    
    private List<Integer> arrayToList(int[] nums) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            res.add(nums[i]);
        }
        return res;
    }
    
    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }

7.5.2 实战dp

//完成0-1背包问题实现(自我实现)及Leetcode
参考7.4.1
//Palindrome Partitioning II(132)
 public int minCut(String s) {
        if(s == null || s.isEmpty()){
            return 0;
        }
        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        int[] cut = new int[s.length()];

        for(int i = 0; i < len; i++){
            //最大划分就是i次
            cut[i]= i;
            for(int j = 0; j <= i; j++){
                if(s.charAt(i) == s.charAt(j) &&(i-j <= 1 || dp[j+1][i-1])){
                    dp[j][i] = true;
                    if(j == 0) {
                        //0-i直接是回文
                        cut[i] = 0;
                    } else {
                        cut[i] = Math.min(cut[j-1]+1, cut[i]);
                    }
                }
            }
        }
        return cut[len-1];
    }

7.5.2 可选练习

//Regular Expression Matching(正则表达式匹配)
class Solution {
    public boolean isMatch(String text, String pattern) {
        if (pattern.isEmpty()) return text.isEmpty();
        boolean first_match = (!text.isEmpty() &&
                               (pattern.charAt(0) == text.charAt(0) || pattern.charAt(0) == '.'));

        if (pattern.length() >= 2 && pattern.charAt(1) == '*'){
            return (isMatch(text, pattern.substring(2)) ||
                    (first_match && isMatch(text.substring(1), pattern)));
        } else {
            return first_match && isMatch(text.substring(1), pattern.substring(1));
        }
    }
}
//Minimum Path Sum(最小路径和)
public int minPathSum(int[][] grid) {
        int rows=grid.length;
        int cols=grid[0].length;
        
        int [] dp=new int[cols];
        dp[0]=grid[0][0];
        
        for(int col=1;col<cols;col++){
            dp[col]=dp[col-1]+grid[0][col];
        }
        for(int row = 1; row < rows; row++) {
            for(int col = 0; col < cols; col++) {
                if(col > 0){
                    dp[col] = Math.min(dp[col-1], dp[col]) + grid[row][col];
                }else{
                    dp[col] += grid[row][col];
                }
            }
        }
         return dp[cols - 1];
    }
//Coin Change (零钱兑换)[作为可选]
//Best Time to Buy and Sell Stock(买卖股票的最佳时机)[作为可选]
//Maximum Product Subarray(乘积最大子序列)[作为可选]
//Triangle(三角形最小路径和)[作为可选]

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晓生寒
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