零基础入门深度学习(6) - 长短时记忆网络(LSTM)

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零基础入门深度学习(6) - 长短时记忆网络(LSTM)

lhyxcxy 2017-01-24 17:33:00 浏览7235
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在上一篇文章《零基础入门深度学习(4):循环神经网络》中,我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因,这导致了它在实际应用中,很难处理长距离的依赖。在本文中,我们将介绍一种改进之后的循环神经网络:长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM),它成功地解决了原始循环神经网络的缺陷,成为当前最流行的RNN,在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。

 

但不幸的一面是,LSTM的结构很复杂,因此,我们需要花上一些力气,才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后,我们再介绍一种LSTM的变体:GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单,而效果却和LSTM一样好,因此,它正在逐渐流行起来。最后,我们仍然会动手实现一个LSTM。

 

长短时记忆网络是啥

 

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下《零基础入门深度学习(4):循环神经网络》中推导的,误差项沿时间反向传播的公式:

 

 

 

梯度消失到底意味着什么?在《零基础入门深度学习(4):循环神经网络》中我们已证明,权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和,即:

 

 

假设某轮训练中,各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图:

 

 

我们就可以看到,从上图的t-3时刻开始,梯度已经几乎减少到0了。那么,从这个时刻开始再往之前走,得到的梯度(几乎为零)就不会对最终的梯度值有任何贡献,这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么,在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响,也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。

 

既然找到了问题的原因,那么我们就能解决它。从问题的定位到解决,科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天,Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络,一举解决这个问题。

 

其实,长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态,即h,它对于短期的输入非常敏感。那么,假如我们再增加一个状态,即c,让它来保存长期的状态,那么问题不就解决了么?如下图所示:

 

 

新增加的状态c,称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开:

 

 

 

LSTM的关键,就是怎样控制长期状态c。在这里,LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关,负责控制继续保存长期状态c;第二个开关,负责控制把即时状态输入到长期状态c;第三个开关,负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示:

 

 

接下来,我们要描述一下,输出h和单元状态c的具体计算方法。

 

长短时记忆网络的前向计算

 

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢?这就用到了门(gate)的概念。门实际上就是一层全连接层,它的输入是一个向量,输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量,是偏置项,那么门可以表示为:

 


 

我们先来看一下遗忘门:

 

 

下图显示了遗忘门的计算:

 

 

接下来看看输入门:

 

 

上式中,Wi是输入门的权重矩阵,bi是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算:

 

 

 

 

 

 

 

下图表示输出门的计算:

 

 

LSTM最终的输出,是由输出门和单元状态共同确定的:

 

 

下图表示LSTM最终输出的计算:

 

 

式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此,我们就把LSTM前向计算讲完了。

 

长短时记忆网络的训练

 

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚,训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂,那么,可想而知,它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸,再一头扎进公式海洋吧。

 

LSTM训练算法框架

 

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法,对于这个算法,我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤:

 


 

关于公式和符号的说明

 

首先,我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。

 

接下来的推导中,我们设定gate的激活函数为sigmoid函数,输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为:

 

 

从上面可以看出,sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样,我们一旦计算原函数的值,就可以用它来计算出导数的值。

 


 

 

 

误差项沿时间的反向传递

 

 

下面,我们要把式7中的每个偏导数都求出来。根据式6,我们可以求出:

 

 

根据式4,我们可以求出:

 

 

因为:

 

 

我们很容易得出:

 

 

将上述偏导数带入到式7,我们得到:

 


 

式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它,我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式:

 

 

将误差项传递到上一层

 

我们假设当前为第l层,定义l-1层的误差项是误差函数对l-1层加权输入的导数,即:

 


 

 

式14就是将误差传递到上一层的公式。

 

权重梯度的计算

 

对于的权重梯度,我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和(证明过程请参考文章《零基础入门深度学习(4) :循环神经网络》),我们首先求出它们在t时刻的梯度,然后再求出他们最终的梯度。

 

我们已经求得了误差项,很容易求出t时刻的

 

 

将各个时刻的梯度加在一起,就能得到最终的梯度:

 

 

对于偏置项的梯度,也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度:

 

 

下面是最终的偏置项梯度,即将各个时刻的偏置项梯度加在一起:

 

 

对于的权重梯度,只需要根据相应的误差项直接计算即可:

 

 

以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式,仔细看看,会发觉并不是太复杂。

 

当然,LSTM存在着相当多的变体,读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法,因此理解这些变体比较容易,因此本文就不再赘述了。

 

长短时记忆网络的实现

 

在下面的实现中,LSTMLayer的参数包括输入维度、输出维度、隐藏层维度,单元状态维度等于隐藏层维度。gate的激活函数为sigmoid函数,输出的激活函数为tanh。

 

激活函数的实现

 

我们先实现两个激活函数:sigmoid和tanh。

    class SigmoidActivator(object):
        def forward(self, weighted_input):
            return 1.0 / (1.0 + np.exp(-weighted_input))
        def backward(self, output):
            return output * (1 - output)
    class TanhActivator(object):
        def forward(self, weighted_input):
            return 2.0 / (1.0 + np.exp(-2 * weighted_input)) - 1.0
        def backward(self, output):
            return 1 - output * output


 

LSTM初始化

 

和前两篇文章代码架构一样,我们把LSTM的实现放在LstmLayer类中。

 

根据LSTM前向计算和方向传播算法,我们需要初始化一系列矩阵和向量。这些矩阵和向量有两类用途,一类是用于保存模型参数,例如;另一类是保存各种中间计算结果,以便于反向传播算法使用,它们包括,以及各个权重对应的梯度。

 

在构造函数的初始化中,只初始化了与forward计算相关的变量,与backward相关的变量没有初始化。这是因为构造LSTM对象的时候,我们还不知道它未来是用于训练(既有forward又有backward)还是推理(只有forward)。

    class LstmLayer(object):
        def __init__(self, input_width, state_width, 
                     learning_rate):
            self.input_width = input_width
            self.state_width = state_width
            self.learning_rate = learning_rate
            # 门的激活函数
            self.gate_activator = SigmoidActivator()
            # 输出的激活函数
            self.output_activator = TanhActivator()
            # 当前时刻初始化为t0
            self.times = 0       
            # 各个时刻的单元状态向量c
            self.c_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输出向量h
            self.h_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的遗忘门f
            self.f_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输入门i
            self.i_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输出门o
            self.o_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的即时状态c~
            self.ct_list = self.init_state_vec()
            # 遗忘门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
            self.Wfh, self.Wfx, self.bf = (
                self.init_weight_mat())
            # 输入门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
            self.Wih, self.Wix, self.bi = (
                self.init_weight_mat())
            # 输出门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
            self.Woh, self.Wox, self.bo = (
                self.init_weight_mat())
            # 单元状态权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
            self.Wch, self.Wcx, self.bc = (
                self.init_weight_mat())
        def init_state_vec(self):
            '''
            初始化保存状态的向量
            '''
            state_vec_list = []
            state_vec_list.append(np.zeros(
                (self.state_width, 1)))
            return state_vec_list
        def init_weight_mat(self):
            '''
            初始化权重矩阵
            '''
            Wh = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
                (self.state_width, self.state_width))
            Wx = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
                (self.state_width, self.input_width))
            b = np.zeros((self.state_width, 1))
            return Wh, Wx, b


前向计算的实现

 

forward方法实现了LSTM的前向计算:

def forward(self, x):
        '''
        根据式1-式6进行前向计算
        '''
        self.times += 1
        # 遗忘门
        fg = self.calc_gate(x, self.Wfx, self.Wfh, 
            self.bf, self.gate_activator)
        self.f_list.append(fg)
        # 输入门
        ig = self.calc_gate(x, self.Wix, self.Wih,
            self.bi, self.gate_activator)
        self.i_list.append(ig)
        # 输出门
        og = self.calc_gate(x, self.Wox, self.Woh,
            self.bo, self.gate_activator)
        self.o_list.append(og)
        # 即时状态
        ct = self.calc_gate(x, self.Wcx, self.Wch,
            self.bc, self.output_activator)
        self.ct_list.append(ct)
        # 单元状态
        c = fg * self.c_list[self.times - 1] + ig * ct
        self.c_list.append(c)
        # 输出
        h = og * self.output_activator.forward(c)
        self.h_list.append(h)
    def calc_gate(self, x, Wx, Wh, b, activator):
        '''
        计算门
        '''
        h = self.h_list[self.times - 1] # 上次的LSTM输出
        net = np.dot(Wh, h) + np.dot(Wx, x) + b
        gate = activator.forward(net)
        return gate


 

从上面的代码我们可以看到,门的计算都是相同的算法,而门和的计算仅仅是激活函数不同。因此我们提出了calc_gate方法,这样减少了很多重复代码。

 

反向传播算法的实现

 

backward方法实现了LSTM的反向传播算法。需要注意的是,与backword相关的内部状态变量是在调用backward方法之后才初始化的。这种延迟初始化的一个好处是,如果LSTM只是用来推理,那么就不需要初始化这些变量,节省了很多内存。

        def backward(self, x, delta_h, activator):
            '''
            实现LSTM训练算法
            '''
            self.calc_delta(delta_h, activator)
            self.calc_gradient(x)


 

算法主要分成两个部分,一部分使计算误差项:

        def calc_delta(self, delta_h, activator):
            # 初始化各个时刻的误差项
            self.delta_h_list = self.init_delta()  # 输出误差项
            self.delta_o_list = self.init_delta()  # 输出门误差项
            self.delta_i_list = self.init_delta()  # 输入门误差项
            self.delta_f_list = self.init_delta()  # 遗忘门误差项
            self.delta_ct_list = self.init_delta() # 即时输出误差项
            # 保存从上一层传递下来的当前时刻的误差项
            self.delta_h_list[-1] = delta_h
            # 迭代计算每个时刻的误差项
            for k in range(self.times, 0, -1):
                self.calc_delta_k(k)
        def init_delta(self):
            '''
            初始化误差项
            '''
            delta_list = []
            for i in range(self.times + 1):
                delta_list.append(np.zeros(
                    (self.state_width, 1)))
            return delta_list
        def calc_delta_k(self, k):
            '''
            根据k时刻的delta_h,计算k时刻的delta_f、
            delta_i、delta_o、delta_ct,以及k-1时刻的delta_h
            '''
            # 获得k时刻前向计算的值
            ig = self.i_list[k]
            og = self.o_list[k]
            fg = self.f_list[k]
            ct = self.ct_list[k]
            c = self.c_list[k]
            c_prev = self.c_list[k-1]
            tanh_c = self.output_activator.forward(c)
            delta_k = self.delta_h_list[k]
            # 根据式9计算delta_o
            delta_o = (delta_k * tanh_c * 
                self.gate_activator.backward(og))
            delta_f = (delta_k * og * 
                (1 - tanh_c * tanh_c) * c_prev *
                self.gate_activator.backward(fg))
            delta_i = (delta_k * og * 
                (1 - tanh_c * tanh_c) * ct *
                self.gate_activator.backward(ig))
            delta_ct = (delta_k * og * 
                (1 - tanh_c * tanh_c) * ig *
                self.output_activator.backward(ct))
            delta_h_prev = (
                    np.dot(delta_o.transpose(), self.Woh) +
                    np.dot(delta_i.transpose(), self.Wih) +
                    np.dot(delta_f.transpose(), self.Wfh) +
                    np.dot(delta_ct.transpose(), self.Wch)
                ).transpose()
            # 保存全部delta值
            self.delta_h_list[k-1] = delta_h_prev
            self.delta_f_list[k] = delta_f
            self.delta_i_list[k] = delta_i
            self.delta_o_list[k] = delta_o
            self.delta_ct_list[k] = delta_ct

 

另一部分是计算梯度:

        def calc_gradient(self, x):
            # 初始化遗忘门权重梯度矩阵和偏置项
            self.Wfh_grad, self.Wfx_grad, self.bf_grad = (
                self.init_weight_gradient_mat())
            # 初始化输入门权重梯度矩阵和偏置项
            self.Wih_grad, self.Wix_grad, self.bi_grad = (
                self.init_weight_gradient_mat())
            # 初始化输出门权重梯度矩阵和偏置项
            self.Woh_grad, self.Wox_grad, self.bo_grad = (
                self.init_weight_gradient_mat())
            # 初始化单元状态权重梯度矩阵和偏置项
            self.Wch_grad, self.Wcx_grad, self.bc_grad = (
                self.init_weight_gradient_mat())
           # 计算对上一次输出h的权重梯度
            for t in range(self.times, 0, -1):
                # 计算各个时刻的梯度
                (Wfh_grad, bf_grad,
                Wih_grad, bi_grad,
                Woh_grad, bo_grad,
                Wch_grad, bc_grad) = (
                    self.calc_gradient_t(t))
                # 实际梯度是各时刻梯度之和
                self.Wfh_grad += Wfh_grad
                self.bf_grad += bf_grad
                self.Wih_grad += Wih_grad
                self.bi_grad += bi_grad
                self.Woh_grad += Woh_grad
                self.bo_grad += bo_grad
                self.Wch_grad += Wch_grad
                self.bc_grad += bc_grad
                print '-----%d-----' % t
                print Wfh_grad
                print self.Wfh_grad
            # 计算对本次输入x的权重梯度
            xt = x.transpose()
            self.Wfx_grad = np.dot(self.delta_f_list[-1], xt)
            self.Wix_grad = np.dot(self.delta_i_list[-1], xt)
            self.Wox_grad = np.dot(self.delta_o_list[-1], xt)
            self.Wcx_grad = np.dot(self.delta_ct_list[-1], xt)
        def init_weight_gradient_mat(self):
            '''
            初始化权重矩阵
            '''
            Wh_grad = np.zeros((self.state_width,
                self.state_width))
            Wx_grad = np.zeros((self.state_width,
                self.input_width))
            b_grad = np.zeros((self.state_width, 1))
            return Wh_grad, Wx_grad, b_grad
        def calc_gradient_t(self, t):
            '''
            计算每个时刻t权重的梯度
            '''
            h_prev = self.h_list[t-1].transpose()
            Wfh_grad = np.dot(self.delta_f_list[t], h_prev)
            bf_grad = self.delta_f_list[t]
            Wih_grad = np.dot(self.delta_i_list[t], h_prev)
            bi_grad = self.delta_f_list[t]
            Woh_grad = np.dot(self.delta_o_list[t], h_prev)
            bo_grad = self.delta_f_list[t]
            Wch_grad = np.dot(self.delta_ct_list[t], h_prev)
            bc_grad = self.delta_ct_list[t]
            return Wfh_grad, bf_grad, Wih_grad, bi_grad, \
                   Woh_grad, bo_grad, Wch_grad, bc_grad

梯度下降算法的实现

下面是用梯度下降算法来更新权重:

        def update(self):
            '''
            按照梯度下降,更新权重
            '''
            self.Wfh -= self.learning_rate * self.Whf_grad
            self.Wfx -= self.learning_rate * self.Whx_grad
            self.bf -= self.learning_rate * self.bf_grad
            self.Wih -= self.learning_rate * self.Whi_grad
            self.Wix -= self.learning_rate * self.Whi_grad
            self.bi -= self.learning_rate * self.bi_grad
            self.Woh -= self.learning_rate * self.Wof_grad
            self.Wox -= self.learning_rate * self.Wox_grad
            self.bo -= self.learning_rate * self.bo_grad
            self.Wch -= self.learning_rate * self.Wcf_grad
            self.Wcx -= self.learning_rate * self.Wcx_grad
            self.bc -= self.learning_rate * self.bc_grad



梯度检查的实现

 

和RecurrentLayer一样,为了支持梯度检查,我们需要支持重置内部状态:

        def reset_state(self):
            # 当前时刻初始化为t0
            self.times = 0       
            # 各个时刻的单元状态向量c
            self.c_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输出向量h
            self.h_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的遗忘门f
            self.f_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输入门i
            self.i_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的输出门o
            self.o_list = self.init_state_vec()
            # 各个时刻的即时状态c~
            self.ct_list = self.init_state_vec()

最后,是梯度检查的代码:

    def data_set():
        x = [np.array([[1], [2], [3]]),
             np.array([[2], [3], [4]])]
        d = np.array([[1], [2]])
        return x, d
    def gradient_check():
        '''
        梯度检查
        '''
        # 设计一个误差函数,取所有节点输出项之和
        error_function = lambda o: o.sum()
        lstm = LstmLayer(3, 2, 1e-3)
        # 计算forward值
        x, d = data_set()
        lstm.forward(x[0])
        lstm.forward(x[1])
        # 求取sensitivity map
        sensitivity_array = np.ones(lstm.h_list[-1].shape,
                                    dtype=np.float64)
        # 计算梯度
        lstm.backward(x[1], sensitivity_array, IdentityActivator())
        # 检查梯度
        epsilon = 10e-4
        for i in range(lstm.Wfh.shape[0]):
            for j in range(lstm.Wfh.shape[1]):
                lstm.Wfh[i,j] += epsilon
                lstm.reset_state()
                lstm.forward(x[0])
                lstm.forward(x[1])
                err1 = error_function(lstm.h_list[-1])
                lstm.Wfh[i,j] -= 2*epsilon
                lstm.reset_state()
                lstm.forward(x[0])
                lstm.forward(x[1])
                err2 = error_function(lstm.h_list[-1])
                expect_grad = (err1 - err2) / (2 * epsilon)
                lstm.Wfh[i,j] += epsilon
                print 'weights(%d,%d): expected - actural %.4e - %.4e' % (
                    i, j, expect_grad, lstm.Wfh_grad[i,j])
        return lstm

我们只对做了检查,读者可以自行增加对其他梯度的检查。下面是某次梯度检查的结果:

 


 


 

GRU

 

前面我们讲了一种普通的LSTM,事实上LSTM存在很多变体,许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中,GRU (Gated Recurrent Unit)也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化,同时却保持着和LSTM相同的效果。因此,GRU最近变得越来越流行。

 

GRU对LSTM做了两个大改动:

 

  1. 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门:更新门(Update Gate)Zt和重置门(Reset Gate)rt。

  2. 将单元状态与输出合并为一个状态:h。

 

GRU的前向计算公式为:

 

 

下图是GRU的示意图:

 

 

GRU的训练算法比LSTM简单一些,留给读者自行推导,本文就不再赘述了。

 

小结

 

至此,LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了,相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧!现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM,它们都可以用来处理序列。但是,有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够,还需要处理比序列更为复杂的结构(比如树结构),这时候就需要用到另外一类网络:递归神经网络(Recursive Neural Network),巧合的是,它的缩写也是RNN。在下一篇文章中,我们将介绍递归神经网络和它的训练算法。


原文:https://zybuluo.com/hanbingtao/note/581764

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