编辑距离
编辑距离和LCS的不同点
- 编辑距离的d[][]取值公式如下：
（一个前提，若xi=yj，则diff=0；否则为1）
di=min{di - 1 + 1, di + 1,di-1+diff}
- 构造最优解：编辑距离是从右下角开始，逆向查找di的来源：上面表示需要删除，左侧表示需要插入；左上角要判断字符是否相等，若相等，不做任何操作，若不相等，执行替换。
- 两者的时间复杂度都是O(n*m)。
代码实现
int min(int a, int b,int c)
{
int temp = (a < b) ? a : b;
return (temp < c) ? temp : c;
}
//编辑距离函数
int editdistance(char *str1, char *str2)
{
int i, j;
int len1 = strlen(str1);
int len2 = strlen(str2);
for (i = 0; i <= len1; i++)
{
d[i][0] = i;
}
for (j = 0; j <= len2; j++)
{
d[0][j] = j;
}
for (i = 1; i <= len1; i++)
{
for (j = 1; j <= len2; j++)
{
int diff;
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
diff = 0;
else
diff = 1;
d[i][j] = min(d[i - 1][j] + 1, d[i][j - 1] + 1,d[i-1][j-1]+diff);
}
}
return d[len1][len2];
}
游艇租赁问题
假设在一条河上有n个游艇出租站，游客可以在这些游艇出租站租游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。游艇出租站i到j之间的租金为r(i,j)，i<=i<=j<=n。设计一个算法，计算从游艇出租站i到出租站j所需要的租金最少。
问题分析
（1）分析最优解的结构特征
（2）简历最优值的递归式
mi=
0(j=i);
ri;j=i+1;
min{mi+mk,ri,j>i+1。
算法设计
（1）确定合适的数据结构：采用二维数组r[][]输入数据，二维数组m[][]存放各个子问题的最优值，二维数组s[][]存放各个子问题的最优决策（停靠站点）。
（2）初始化：mi=ri，然后再找有没有比mi小的值，如果有，则记录该最优值和最优解即可，si=0.
（3）循环阶段：
- 按照递归关系式计算3个站点i,i+1,j(j=i+2)的最优值，并将其存入mi，同时将最优策略存入si，i=1,2,...,n-2。
- 按照递归关系式计算4个站点i,i+1,i+2,j(j=i+3)的最优值，并将其存入mi，同时将最优策略存入si，i=1,2,...,n-3。
- 以此类推，直到求出n个站点的最优值m1。
（4）构造最优解。根据s[][]递归构造最优解。s1是第一个站点到底n个站点）1,2,...,n）的最优解的停靠站点，即停靠了第s1个站点，我们在递归构造两个子问题(1,2,...,k）和（k,k+1,...,n）的最优解停靠站点，一直递归到只包含一个站点为止。
代码实现
void rent()
{
int i, j, k, d;
for (d = 3; d <= n; d++)
{
for (i = 1; i <= n - d + 1; i++)
{
j = i + d - 1;
for (k = i + 1; k < j; k++)
{
int temp;
temp = m[i][k] + m[k][j];
if (temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void print(int i, int j)
{
if (s[i][j] == 0)
{
cout << "-- " << j;
return;
}
print(i, s[i][j]);
print(s[i][j], j);
}
代码实现2：最贵的租金
其实只是把总结的递归式中的j>i+1的时候的min改为了max。所以只是修改了代码中的
if (temp < m[i][j])
将其改为了
if (temp > m[i][j])
快速计算——矩阵连乘
最优递归式：
当i=j时，只有一个矩阵，mi=0；
当i
算法设计
（1）确定合适的数据结构。用一维数组p[]记录矩阵的行和列，第i个矩阵的行数存在数组的第i-1位置，列存在第i位置。二维数组m[][]用来存放各个子问题的最优值，二维数组s[][]来存放各个子问题的最优决策（加括号的位置）。
（2）初始化。mi=0，si=0。
（3）循环阶段。
- 按照递归关系式计算2个矩阵Ai、Ai+1相乘时的最优值，j+i+1，并将其存入mi；同时将最优策略计入si。i=1,2,3,..,n-1。
- 按照递归关系式计算3个矩阵相乘Ai、Ai+1、Ai+2,相乘时的最优值，j+i+2，并将其存入mi，同时将最优策略记入si，i=1,2,3,...,n-2。
- 以此类推，直到求出n个矩阵相乘的最优值m1。
（4）构造最优解
根据最有决策信息数组s[][]递归构造最优解。s1表示A1A2...An最优解的加括号位置，我们在递归构造两个子问题的最优解加括号位置，一直低轨道子问题只包含一个矩阵为止。
举例图解
| 矩阵 | A1 | A2 |A3 |A4 |A5
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
|规模| 35 | 510 |108 | 82|2*4
（1）初始化
mi=0,si=0
（2）计算两个矩阵相乘的最优值
m[][]如下：
| m[][] | 1 | 2 |3 |4 |5
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
|1| 0 | 150 |390 | 290|314
|2| | 0 |400 | 260|300
|3| | |0 | 160|240
|4| | | | 0|64
|5| | | | |0
s[][]如下：
| s[][] | 1 | 2 |3 |4 |5
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
|1| 0 | 1|2 | 1|4
|2| | 0 |2 | 2|4
|3| | |0 | 3|4
|4| | | | 0|4
|5| | | | |0
（3）构造最优解
类似于游艇租赁
代码实现
void matrixchain()
{
int i,j,r,k;
memset(m,0,sizeof(m));
memset(s,0,sizeof(s));
for(r = 2; r <= n; r++) //不同规模的子问题
{
for(i = 1; i <= n-r+1; i++)
{
j = i + r - 1;
m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j]; //决策为k=i的乘法次数
s[i][j] = i; //子问题的最优策略是i;
for(k = i+1; k < j; k++) //对从i到j的所有决策，求最优值，记录最优策略
{
int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];
if(t < m[i][j])
{
m[i][j] = t;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void print(int i,int j)
{
if( i == j )
{
cout <<"A[" << i << "]";
return ;
}
cout << "(";
print(i,s[i][j]);
print(s[i][j]+1,j);
cout << ")";
}
