P, NP, NP-complete, NP-hard问题对比

图片来源于维基百科

左图在假设P≠NP的情况下有效，右图在假设P=NP的情况下有效

在假定P≠NP的情况下, 有

NP问题：可以在多项式时间内被验证的问题。或者说，可以在非确定性多项式时间内被解决的问题。

即可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出解的问题。NP问题可以在多项式时间内被验证，但是不确定是否可以在多项式时间内找出解。

P问题：可以在多项式时间内被解决的问题。

即可以在确定性图灵机上在多项式时间内找出解的问题。如果一个问题是P问题，那么毫无疑问我们可以在多项式时间内验证它。

NP-Hard问题：如果可以证明某问题有一个子问题是NP-Hard问题，那么该问题是一个NP-Hard问题。

即已知一个NPC问题L'，如果我们可以把L'归约为L,则L是NP-Hard。通俗的讲，已经有一个很难的问题L',而L问题比L'更难解决，那么该问题就是NP-Hard问题。NP-Hard问题不确定是否可以在多项式时间内被验证。

NP-Complete问题：如果一个问题已经被证明是一个NP-Hard问题，并且可以证明该问题是一个NP问题，那么该问题是NPC问题。

即已知一个NPC问题L'，如果我们可以把L'归约为L，且L可以在多项式时间内被验证，那么L是一个NPC问题。

其中，P, NP, NP-Hard, NP-Complete是不同的复杂性类，用于将所有的算法问题进行分类，以确定当前算法的难度。

多项式时间可解的问题：如果对于某个确定的常数k,存在一个能在O(n^k)时间内求解出某具体问题的算法，就说该具体问题是一个多项式时间可解问题。

多项式时间内可被验证的问题：是一个判定问题，答案只有是或否。例如，存在某具体问题，我们猜想该问题有一个可行解x，如果对于某个确定的常数k，存在一个能在O(n^k)时间内验证x是否是该具体问题可行解的算法，就说该具体问题是一个多项式时间可被验证的问题。

一般来说，大家往往将多项式时间内可解的问题称作易处理的问题，将超多项式时间内解决的问题称作不易处理的问题。

NPC问题的鼻祖SAT问题：著名的古克-李芬定理（由Leonid Levin与Cook独立证出SAT问题是NPC问题，简化过但依旧艰深的证明在此）。

References:
维基百科：P/NP问题
维基百科：NP-Complete
维基百科：NP-hardness
维基百科：计算复杂性理论
《算法导论》第3版 第34章

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