动态规划法(二)找零钱问题

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动态规划法(二)找零钱问题

jclian91 2018-05-28 17:26:51 浏览1599
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  本次博客尝试以storyline的方式来写作,如有不足之处,还请多多包涵~~

问题的诞生

  我们故事的主人公叫做丁丁,他是一个十几岁的小男孩,机智聪颖,是某某杂货店的小学徒。在他生活的国度里,只流通面额为1,3,4的硬币。复杂这家店的店长,叫做老王,是个勤奋实干的中年人,每天都要跟钱打交道。
  有一天,他心血来潮,叫住正在摆放货物的丁丁,对他说道:“丁丁,你不是学过计算机方面的算法吗?我这里正好有个问题,不知你能解答不?”
  一听到算法,丁丁的眼睛里闪出光芒,这正是自己的兴趣所在。于是,他连忙凑到柜台,好奇地问题:“什么问题啊?”
  老王也不多说废话,他知道丁丁的聪慧之处,直接了当地说道:“你看啊,每次顾客们买完东西付款后,我们都要找零给他们,我们这边所有的硬币(1,3,4)都是充足的,我想知道一共有多少种找零方式?比如说找零为4的话,就有4=1+1+1+1=3+1=1+3=4共4种方式。”
  乍听到这个问题,丁丁有点蒙圈了,因为4的情况是简单的,但是随着找零的面额增加,数量的变化就没有什么规律了。他示意掌柜出去走走,掌柜也欣然同意。

递归?动态规划?

  此时我们的主人公正坐在湖边静静地思考,脑海中涌现出各种各样的计算机算法。突然,递归法进入了他的视野,对,就是递归法!他认真地整理着思路:

  1. 考虑面额为n的情况,假设n=x1+x2+...+xmn=x1+x2+...+xm.那么,只需考虑最后一个数xm=1,3,4xm=1,3,4的情形。当xm=1,3,4xm=1,3,4,剩下的面额为n1,n3,n4.n−1,n−3,n−4.
  2. 假设面额为n的找零方式为f(n)f(n),则f(n)=f(n1)+f(n3)+f(n4)f(n)=f(n−1)+f(n−3)+f(n−4),这样就能按照递归法来做了。
  3. 最后,只需要确定初值即可,f(0)=f(1)=f(2)=1,f(3)=2.f(0)=f(1)=f(2)=1,f(3)=2.

  问题似乎到这就解决了,因为有了这个递推式,那么,直接定义一个函数就能解决问题了。等等,他想起昨天看到的博客“动态规划法(一)从斐波那契数列谈起”。对了,对于递推式,可以用动态规划法解决啊。于是,他顺手写了一下Python代码:

import time

# calculate the number of ways of integer n can be write the sum of 1,3,4
def sum_part_dp(n):
    if n <= 2:
        return 1
    elif n == 3:
        return 2

    first = 1
    second = 1
    third = 1
    fourth = 2

    # repeat n-3 times
    for _ in range(n-3):
        answer = first + second + fourth
        first = second
        second = third
        third = fourth
        fourth = answer

    return fourth

n = 40
t1 = time.time()
s = sum_part_dp(n)
t2 = time.time()
print('面额:%s,方法数:%s,耗时:%s'%(n, s, t2-t1))

  他迅速地敲完了以上代码,运行,得到结果:

面额:40,方法数:119814916,耗时:0.0

Bingo,搞定!他满怀欣喜地将这个结果告诉了掌柜老王,老王看了,也禁不住点点头,心想:计算机算法真有用啊!

再一次的挑战

  可是老王也是一个有想法的人,他看着丁丁这么干脆利落地解决了这个问题,决心再出一个难题考考他。他清了清喉咙,对丁丁说道:“刚才的问题解答得很棒啊,值得表扬 !但是现在呢,我这又有个麻烦事。每次找零,怎样找零才能使得找零的硬币数最少呢?”
  丁丁笑而不语,他点了点头,就抱着他的电脑离开了。老王望着他离去的背影,心想:这个问题要是能解决,以后找零也就省了不少麻烦。不知这次丁丁要用多长时间?
  有了上个问题的积累,丁丁对于解决这个问题满怀信心。还是跟刚才的解答方法一样,先用递归,假设面额为nn的找零所用最少硬币数为f(n)f(n),则f(n)=min{f(n1)+1,f(n3)+1,f(n4)+1}.f(n)=min{f(n−1)+1,f(n−3)+1,f(n−4)+1}.采用自底向上的动态规划法,记录每个子问题的解,避免重复求解,这样就能得到f(n)f(n)的值了。那么,怎样才能记录每个子问题的解呢?用Python中的字典啊!这样,硬币数量是得到了,可是具体的找零方式呢?不难,只要用一个变量记录刚才表达式中是取f(n1)f(n−1)还是f(n3)f(n−3)还是f(n4)f(n−4),对应面额为1,3,4,再递归地求解下去即可。
  他写下了Python代码:

# 找零钱问题
# 找零钱字典,key为面额,value为最小硬币数
change_dict = {}

# 动态规划法解决问题
# 时间复杂度:多项式时间
# 只求解最小的硬币数量
def rec_change(M, coins):
    change_dict[0] = 0
    s = 0

    for money in range(1, M+1):
        num_of_coins = float('inf')

        for coin in coins:
            if money >= coin:
                # 记录每次所用的硬币数量
                if change_dict[money-coin]+1 < num_of_coins:
                    num_of_coins = change_dict[money-coin]+1
                    s = coin #记录每次找零的面额

        change_dict[money] = num_of_coins
    return change_dict[M],s

# 求出具体的找零方式
# 用path变量记录每次找零的面额
def method(M, coins):
    print('Total denomination is %d.'%M)
    nums, path = rec_change(M, coins)
    print('The smallest number of coins is %d.'%nums)
    print('%s'%path, end='')

    while M-path > 0:
        M -= path
        nums, path = rec_change(M, coins)
        print(' -> %s'%path, end='')
    print()

coins = (1, 3, 4)
method(50, coins)

运行结果如下:

Total denomination is 50.
The smallest number of coins is 13.
3 -> 3 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4

  几分钟后,当掌柜老王看到这个结果后,惊讶得目瞪口呆!在这家小小的杂货店里,也许藏着一位计算机天才,他这样想到。
  而我们的主人公呢?此时,他已经向着斜阳,走在县城的小道上,踌躇满志,准备着去外面的世界看一看~~

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