1.2 logistic 回归

视频：第二周 神经网络基础

整理：飞龙

logistic 回归属于广义线性回归。所谓广义线性回归，就是在线性回归的模型上加一些东西，使其适应不同的任务。

logitic 回归虽然名字里有回归，但是它解决的是二元分类问题。二元分类问题中，标签只有两个值。一个典型的二元分类是输入一张图片，判断是不是猫。

首先来看假设，我们的假设是这样的：

某个样本 (x,y) 是正向分类的概率是 x 乘权重 θ 再套个 sigmoid 函数，非常简单。这两个东西都是列向量。

sigmoid 函数用 σ(x) 表示，图像是 S 型的，值域是 (0,1)，正好符合概率的要求。它的导数用函数值来表达更加方便，dσdx=σ(1−σ)。

注：

我的习惯是，把 w（权重）和 b（偏置）打包在一起，称为 θ，因为这样节省很多计算。而且易于扩展，如果你需要偏置项，给 w 多加一项，给 x 添加一个 1，如果不需要，保持原样即可。

为了找出最优的 θ，像通常一样，我们需要一个损失函数，然后使其最小。

这个函数为什么能用，需要解释一下。当 y 是 1 的时候，l=−log(a)。如果我们要使 l 最小，就是使 a 最大。因为 sigmoid 函数最大值为 1，所以实际上，我们使 a 接近 1。

当 y 是 0 的时候，l=−log(1−a)。同理，我们使 a 最小，因为 sigmoid 函数最小值为 0，就是使 a 接近 0。

无论如何，我们都使 a 尽可能接近 y。

我们需要一个大的损失函数，衡量模型在所有样本上的表现。我们用 x(i) 表示第 i 个样本的特征。

然后我们需要求 J 对 θ 的导数。

注：

（1）如果你拆成了 w 和 b，那么 dJdb 就是 ∑idJdz(i)，dJdw 和 dJdθ 一样。

（2）所有导数以及 J 都需要除以 ndata，但为了简洁我省略了，下同。

（3）在机器学习（以及数值计算）中，没有必要区分导数和偏导数，导数可以看出偏导数的一元特例。所以这里我都使用了导数的符号。

我们可以看到最终的导数和线性回归一样，仍然是损失乘以特征再求和。

向量化

我的习惯是，将 x(i) 按行堆叠变成 X，也就是行是样本，列是特征，和咱们能够获得的绝大多数数据集一致。

由于 X 按行堆叠，我们需要把它放在矩阵乘法的左边。这样出来的 Z 也是按行堆叠的。

A 相当于对 Z 的每个元素应用 sigmoid 函数，也是类似的结构：

接下来是损失函数 J：

其中 ∗ 表示逐元素相乘。

接下来是导数：

这个还是比较好求的。

这里有一个方法，就是核对矩阵的维数。我们已经知道 dJdθ 是两个导数相乘，并且 dJdZ 是n_data x 1的矩阵，dZdθ 是n_data x x_feature的矩阵，dJdθ 是n_feature x 1的矩阵。根据矩阵乘法，它只能是 XT(A−Y)。

注：

严格来讲，向量化的导数应该称为梯度。这个笔记中不区分这两个术语。

梯度下降法

在代数中，如果我们需要求出一个凸函数的最值，我们可能会使导数等于 0，然后解出方程。但在机器学习中，我们使用梯度下降法来求凸函数的最值。

梯度下降法是，对于每个自变量 x，迭代执行以下操作：

其中 α 是学习率，一般选取 0 ~ 1 之间的值。

下面直观地解释一下。这是一个一元函数，它的形状是一个碗，或者山谷。

我们可以随便选一个点作为初始值。你可以选0，也可以选1或者随机值。这个无所谓，因为函数是凸的，沿任意路径下降都会达到全局最优值。

如果你的初始值在右侧，那么导数为正，减去它的一部分相当于向左移动了一小步。如果你的初始值在左侧，导数为负，减去它的一部分相当于向右移动了一小步。总之，这样会使 x 向着全局最优的方向移动。

多元的凸函数是这样。如果你的每个自变量都减去它的导数（梯度）的一部分，那么所有自变量就相当于向着最陡的方向移动了一小步。如果你在一个山谷中，沿着最陡的方向向下走，就会到达谷底。

代码

向量化的公式很容易用 NumPy 代码来表示。

theta = np.random.rand(n_features, 1)

for _ in range(max_iter):
    Z = np.dot(X, theta)
    A = sigmoid(Z)
    dJ_dZ = (A - Y) / n_data
    dJ_dtheta = np.dot(X.T, dJ_dZ)
    theta -= alpha * dJ_dtheta