数据结构之图(存储结构、遍历)

  1. 云栖社区>
  2. 博客列表>
  3. 正文

数据结构之图(存储结构、遍历)

graylee 2015-03-10 10:28:00 浏览76 评论0

摘要:   新学期开始了,开始专心于技术上了,上学期的寒假总是那么短暂,飘飘乎就这样逝去,今天补补上学期还没学完的数据结构---图,希望能和大家一起探讨,共同进步~ 定义:   图是由顶点集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构。

  新学期开始了,开始专心于技术上了,上学期的寒假总是那么短暂,飘飘乎就这样逝去,今天补补上学期还没学完的数据结构---图,希望能和大家一起探讨,共同进步~

定义:

  图是由顶点集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构。

  

图的存储结构:

1.1 邻接矩阵

    图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

    设图G有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n的方阵,定义为:

    

    看一个实例,下图左就是一个无向图。

    

    从上面可以看出,无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴,右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

    从这个矩阵中,很容易知道图中的信息。

    (1)要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了;

    (2)要知道某个顶点的度,其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或(第i列)的元素之和;

    (3)求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍,arc[i][j]为1就是邻接点;

    而有向图讲究入度和出度,顶点vi的入度为1,正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2,即第i行的各数之和。

    若图G是网图,有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n的方阵,定义为:

    

    这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值,也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图,右图就是它的邻接矩阵。

    

    那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢?代码如下。

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <stdlib.h>
  3 #include <curses.h>
  4  
  5 typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义
  6 typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义
  7  
  8 #define MAXVEX  100             //最大顶点数,应由用户定义
  9 #define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大
 10 #define DEBUG
 11  
 12 typedef struct
 13 {
 14     VertexType vexs[MAXVEX];            //顶点表
 15     EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //邻接矩阵,可看作边
 16     int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
 17 }Graph;
 18  
 19 //定位
 20 int locates(Graph *g, char ch)
 21 {
 22     int i = 0;
 23     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
 24     {
 25         if(g->vexs[i] == ch)
 26         {
 27             break;
 28         }
 29     }
 30     if(i >= g->numVertexes)
 31     {
 32         return -1;
 33     }
 34      
 35     return i;
 36 }
 37  
 38 //建立一个无向网图的邻接矩阵表示
 39 void CreateGraph(Graph *g)
 40 {
 41     int i, j, k, w;
 42     printf("输入顶点数和边数:\n");
 43     scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
 44      
 45     #ifdef DEBUG
 46     printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
 47     #endif
 48  
 49     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
 50     {
 51         g->vexs[i] = getchar();
 52         while(g->vexs[i] == '\n')
 53         {
 54             g->vexs[i] = getchar();
 55         }
 56     }
 57      
 58     #ifdef DEBUG
 59     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
 60     {
 61         printf("%c ", g->vexs[i]);
 62     }
 63     printf("\n");
 64     #endif
 65  
 66  
 67     for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
 68     {
 69         for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
 70         {
 71             g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
 72         }
 73     }
 74     for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
 75     {
 76         char p, q;
 77         printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权值:\n");
 78          
 79         p = getchar();
 80         while(p == '\n')
 81         {
 82             p = getchar();
 83         }
 84         q = getchar();
 85         while(q == '\n')
 86         {
 87             q = getchar();
 88         }
 89         scanf("%d", &w);    
 90          
 91         int m = -1;
 92         int n = -1;
 93         m = locates(g, p);
 94         n = locates(g, q);
 95         if(n == -1 || m == -1)
 96         {
 97             fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
 98             return;
 99         }
100         //getchar();
101         g->arc[m][n] = w;
102         g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图,矩阵对称
103     }
104 }
105  
106 //打印图
107 void printGraph(Graph g)
108 {
109     int i, j;
110     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
111     {
112         for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
113         {
114             printf("%d  ", g.arc[i][j]);
115         }
116         printf("\n");
117     }
118 }
119  
120 int main(int argc, char **argv)
121 {
122     Graph g;
123      
124     //邻接矩阵创建图
125     CreateGraph(&g);
126     printGraph(g);
127     return 0;
128 }

     从代码中可以得到,n个顶点和e条边的无向网图的创建,时间复杂度为O(n + n2 + e),其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。

 

1.2 邻接表

    邻接矩阵是不错的一种图存储结构,但是,对于边数相对顶点较少的图,这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此,找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

    邻接表的处理方法是这样的:

    (1)图中顶点用一个一维数组存储,当然,顶点也可以用单链表来存储,不过,数组可以较容易的读取顶点的信息,更加方便。

    (2)图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表,由于邻接点的个数不定,所以,用单链表存储,无向图称为顶点vi的边表,有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

    例如,下图就是一个无向图的邻接表的结构。

    

    从图中可以看出,顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示,data是数据域,存储顶点的信息,firstedge是指针域,指向边表的第一个结点,即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域,存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标,next则存储指向边表中下一个结点的指针。

    对于带权值的网图,可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域,存储权值信息即可。如下图所示。

    

    对于邻接表结构,图的建立代码如下。

  1 /* 邻接表表示的图结构 */
  2 #include <stdio.h>
  3 #include<stdlib.h>
  4  
  5 #define DEBUG
  6 #define MAXVEX 1000         //最大顶点数
  7 typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义
  8 typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
  9  
 10 typedef struct EdgeNode         //边表结点
 11 {
 12     int adjvex;         //邻接点域,存储该顶点对应的下标
 13     EdgeType weigth;        //用于存储权值,对于非网图可以不需要
 14     struct EdgeNode *next;      //链域,指向下一个邻接点
 15 }EdgeNode;
 16  
 17 typedef struct VertexNode       //顶点表结构
 18 {
 19     VertexType data;        //顶点域,存储顶点信息
 20     EdgeNode *firstedge;        //边表头指针
 21 }VertexNode, AdjList[MAXVEX];
 22  
 23 typedef struct
 24 {
 25     AdjList adjList;
 26     int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数
 27 }GraphList;
 28  
 29 int Locate(GraphList *g, char ch)
 30 {
 31     int i;
 32     for(i = 0; i < MAXVEX; i++)
 33     {
 34         if(ch == g->adjList[i].data)
 35         {
 36             break;
 37         }
 38     }
 39     if(i >= MAXVEX)
 40     {
 41         fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");
 42         return -1;
 43     }
 44     return i;
 45 }
 46  
 47 //建立图的邻接表结构
 48 void CreateGraph(GraphList *g)
 49 {
 50     int i, j, k;
 51     EdgeNode *e;
 52     EdgeNode *f;
 53     printf("输入顶点数和边数:\n");
 54     scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);
 55      
 56     #ifdef DEBUG
 57     printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
 58     #endif
 59      
 60     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
 61     {
 62         printf("请输入顶点%d:\n", i);
 63         g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息
 64         g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表
 65         while(g->adjList[i].data == '\n')
 66         {
 67             g->adjList[i].data = getchar();
 68         }
 69     }
 70     //建立边表
 71     for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
 72     {
 73         printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
 74         char p, q;
 75         p = getchar();
 76         while(p == '\n')
 77         {
 78             p = getchar();
 79         }
 80         q = getchar();
 81         while(q == '\n')
 82         {
 83             q = getchar();
 84         }
 85         int m, n;
 86         m = Locate(g, p);
 87         n = Locate(g, q);
 88         if(m == -1 || n == -1)
 89         {
 90             return;
 91         }
 92         #ifdef DEBUG
 93         printf("p = %c\n", p);
 94         printf("q = %c\n", q);
 95         printf("m = %d\n", m);
 96         printf("n = %d\n", n);
 97         #endif
 98      
 99         //向内存申请空间,生成边表结点
100         e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
101         if(e == NULL)
102         {
103             fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
104             return;
105         }
106         //邻接序号为j
107         e->adjvex = n;
108         //将e指针指向当前顶点指向的结构
109         e->next = g->adjList[m].firstedge;
110         //将当前顶点的指针指向e
111         g->adjList[m].firstedge = e;
112          
113         f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
114         if(f == NULL)
115         {
116             fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
117             return;
118         }
119         f->adjvex = m;
120         f->next = g->adjList[n].firstedge;
121         g->adjList[n].firstedge = f;
122     }
123 }
124  
125  
126 void printGraph(GraphList *g)
127 {
128     int i = 0;
129     #ifdef DEBUG
130     printf("printGraph() start.\n");
131     #endif
132      
133     while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)
134     {
135         printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);
136         EdgeNode *e = NULL;
137         e = g->adjList[i].firstedge;
138         while(e != NULL)
139         {
140             printf("%d  ", e->adjvex);
141             e = e->next;
142         }
143         i++;
144         printf("\n");
145     }
146 }
147  
148 int main(int argc, char **argv)
149 {
150     GraphList g;
151     CreateGraph(&g);
152     printGraph(&g);
153     return 0;
154 }

     对于无向图,一条边对应都是两个顶点,所以,在循环中,一次就针对i和j分布进行插入。

     本算法的时间复杂度,对于n个顶点e条边来说,很容易得出是O(n+e)。

1.3 十字链表

    对于有向图来说,邻接表是有缺陷的。关心了出度问题,想了解入度就必须要遍历整个图才知道,反之,逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法:十字链表,就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

    重新定义顶点表结点结构,如下所示。

    

    其中firstin表示入边表头指针,指向该顶点的入边表中第一个结点,firstout表示出边表头指针,指向该顶点的出边表中的第一个结点。

    重新定义边表结构,如下所示。

    

    其中,tailvex是指弧起点在顶点表的下表,headvex是指弧终点在顶点表的下标,headlink是指入边表指针域,指向终点相同的下一条边,taillink是指边表指针域,指向起点相同的下一条边。如果是网,还可以增加一个weight域来存储权值。

    比如下图,顶点依然是存入一个一维数组,实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说,firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以,v0边表结点hearvex = 3,而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0,由于v0只有一个出边顶点,所有headlink和taillink都是空的。

    

    重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说,它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点,如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2,如上图圆圈2。对于顶点v1,它有一个入边顶点v2,所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点,如上图圆圈3。

    十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起,这样既容易找到以v为尾的弧,也容易找到以v为头的弧,因而比较容易求得顶点的出度和入度。

    而且除了结构复杂一点外,其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的,因此,在有向图应用中,十字链表是非常好的数据结构模型。

    这里就介绍以上三种存储结构,除了第三种存储结构外,其他的两种存储结构比较简单。

 

二、图的遍历

    图的遍历和树的遍历类似,希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点,且使每一个顶点仅被访问一次,这一过程就叫图的遍历。

    对于图的遍历来说,如何避免因回路陷入死循环,就需要科学地设计遍历方案,通过有两种遍历次序方案:深度优先遍历和广度优先遍历。

2.1 深度优先遍历

    深度优先遍历,也有称为深度优先搜索,简称DFS。其实,就像是一棵树的前序遍历。

    它从图中某个结点v出发,访问此顶点,然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直至图中的所有顶点都被访问到为止。

    我们用邻接矩阵的方式,则代码如下所示。

 1 #define MAXVEX  100     //最大顶点数
 2 typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型,其值是TRUE 或FALSE
 3 Boolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组
 4 #define TRUE 1
 5 #define FALSE 0
 6  
 7 //邻接矩阵的深度优先递归算法
 8 void DFS(Graph g, int i)
 9 {
10     int j;
11     visited[i] = TRUE;
12     printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点,也可以其他操作
13     for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
14     {
15         if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
16         {
17             DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用
18         }
19     }
20 }
21  
22 //邻接矩阵的深度遍历操作
23 void DFSTraverse(Graph g)
24 {
25     int i;
26     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
27     {
28         visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
29     }
30     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
31     {
32         if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS,若是连通图,只会执行一次
33         {
34             DFS(g,i);
35         }
36     }
37 }

    如果使用的是邻接表存储结构,其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的,只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同,代码如下。

 1 //邻接表的深度递归算法
 2 void DFS(GraphList g, int i)
 3 {
 4     EdgeNode *p;
 5     visited[i] = TRUE;
 6     printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点,也可以其他操作
 7     p = g->adjList[i].firstedge;
 8     while(p)
 9     {
10         if(!visited[p->adjvex])
11         {
12             DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用
13         }
14         p = p->next;
15     }
16 }
17  
18 //邻接表的深度遍历操作
19 void DFSTraverse(GraphList g)
20 {
21     int i;
22     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
23     {
24         visited[i] = FALSE;
25     }
26     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
27     {
28         if(!visited[i])
29         {
30             DFS(g, i);
31         }
32     }
33 }

     对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法,对于n个顶点e条边的图来说,邻接矩阵由于是二维数组,要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素,因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时,找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量,所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说,邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

 

2.2 广度优先遍历

    广度优先遍历,又称为广度优先搜索,简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

    邻接矩阵做存储结构时,广度优先搜索的代码如下。

 1 //邻接矩阵的广度遍历算法
 2 void BFSTraverse(Graph g)
 3 {
 4     int i, j;
 5     Queue q;
 6     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
 7     {
 8         visited[i] = FALSE;
 9     }
10     InitQueue(&q);
11     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
12     {
13         if(!visited[i])               //若是未访问过
14         {
15             visited[i] = TRUE;
16             printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点,也可以其他操作
17             EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列
18             while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列,赋值给
19             {
20                 int m;
21                 DeQueue(&q, &m);        
22                 for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
23                 {
24                     //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
25                     if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
26                     {
27                         visited[j] = TRUE;
28                         printf("%c ", g.vexs[j]);
29                         EnQueue(&q, j);
30                     }
31                 }
32             }
33         }
34     }
35 } <span style="line-height:2;font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;">  </span>

    对于邻接表的广度优先遍历,代码与邻接矩阵差异不大, 代码如下。

 1 //邻接表的广度遍历算法
 2 void BFSTraverse(GraphList g)
 3 {
 4     int i;
 5     EdgeNode *p;
 6     Queue q;
 7     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
 8     {
 9         visited[i] = FALSE;
10     }
11     InitQueue(&q);
12     for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
13     {
14         if(!visited[i])
15         {
16             visited[i] = TRUE;
17             printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点,也可以其他操作
18             EnQueue(&q, i);
19             while(!QueueEmpty(q))
20             {
21                 int m;
22                 DeQueue(&q, &m);
23                 p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针
24                 while(p)
25                 {
26                     if(!visited[p->adjvex])
27                     {
28                         visited[p->adjvex] = TRUE;
29                         printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
30                         EnQueue(&q, p->adjvex);
31                     }
32                     p = p->next;
33                 }
34             }
35         }
36     }
37 }<span style="font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;line-height:1.5;">   </span>

   对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法,会发现,它们在时间复杂度上是一样的,不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的,只是不同的情况选择不同的算法。

 

  版权所有,转载请注明转载地址:http://www.cnblogs.com/lihuidashen/p/4325282.html

用云栖社区APP,舒服~

【云栖快讯】诚邀你用自己的技术能力来用心回答每一个问题,通过回答传承技术知识、经验、心得,问答专家期待你加入!  详情请点击

网友评论

graylee
文章220篇 | 关注13
关注
构建在阿里云飞天分布式系统之上的NoSQL数据存储服务,提供海量结构化数据的存储和实时访问。 查看详情
支持以数据库为核心的结构化存储产品之间的数据传输。 它是一种集数据迁移、数据订阅及数据实时同... 查看详情
作为阿里云数据存储产品体系的重要组成部分,致力于提供低成本、高可靠的数据归档服务,适合于海量... 查看详情
为您提供简单高效、处理能力可弹性伸缩的计算服务,帮助您快速构建更稳定、安全的应用,提升运维效... 查看详情
阿里云总监课正式启航

阿里云总监课正式启航