哈夫曼(huffman)树和哈夫曼编码

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哈夫曼(huffman)树和哈夫曼编码

ghost丶桃子 2016-05-19 15:39:19 浏览1228
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哈夫曼树

哈夫曼树也叫最优二叉树(哈夫曼树)   

问题:什么是哈夫曼树?

例:将学生的百分制成绩转换为五分制成绩:≥90 分: A,80~89分: B,70~79分: C,60~69分: D,<60分: E。

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    if (a < 60){
        b = 'E';
    }
    else if (a < 70) {
        b = ‘D’;
    }
    else if (a<80) {
        b = ‘C’;
    }
    else if (a<90){
        b = ‘B’;
    }
    else {
      b = ‘A’;
    }
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判别树:用于描述分类过程的二叉树。

如果每次输入量都很大,那么应该考虑程序运行的时间

如果学生的总成绩数据有10000条,则5%的数据需 1 次比较,15%的数据需 2 次比较,40%的数据需 3 次比较,40%的数据需 4 次比较,因此 10000 个数据比较的

次数为:  10000 (5%+2×15%+3×40%+4×40%)=31500次

此种形状的二叉树,需要的比较次数是:10000 (3×20%+2×80%)=22000次,显然:两种判别树的效率是不一样的。

问题:能不能找到一种效率最高的判别树呢? 

那就是哈夫曼树

回忆树的基本概念和术语

路径:若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是ki+1的双亲,则称该结点序列是从k1到kj的一条路径。
路径长度:等于路径上的结点数减1。
结点的权:在许多应用中,常常将树中的结点赋予一个有意义的数,称为该结点的权。
结点的带权路径长度:是指该结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和,通常记作:
其中,n表示叶子结点的数目,wi和li分别表示叶子结点ki的权值和树根结点到叶子结点ki之间的路径长度。
赫夫曼树(哈夫曼树,huffman树)定义:
在权为w1,w2,…,wn的n个叶子结点的所有二叉树中,带权路径长度WPL最小的二叉树称为赫夫曼树或最优二叉树。

例:有4 个结点 a, b, c, d,权值分别为 7, 5, 2, 4,试构造以此 4 个结点为叶子结点的二叉树。

WPL=7´2+5´2+2´2+4´2= 36

WPL=7´3+5´3+2´1+4´2= 46

WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35 

WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35 

后两者其实就是最有二叉树(也就是哈夫曼树)

哈夫曼树的构造(哈夫曼算法)
1.根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.
2.在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.
3.在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.
4.重复2、3,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

例:有4 个结点 a, b, c, d,权值分别为 7, 5, 2, 4,构造哈夫曼树。

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

重复,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

关于哈夫曼树的注意点:

1、满二叉树不一定是哈夫曼树  

2、哈夫曼树中权越大的叶子离根越近  (很好理解,WPL最小的二叉树)

3、具有相同带权结点的哈夫曼树不惟一

4、哈夫曼树的结点的度数为 0 或 2, 没有度为 1 的结点。

5、包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有 2n – 1 个结点。

6、包含 n 棵树的森林要经过 n–1 次合并才能形成哈夫曼树,共产生 n–1 个新结点

再看一个例子:如权值集合W={7,19,2,6,32,3,21,10 }构造赫夫曼树的过程。

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

在F中选取两棵根结点权值最小的树

作为左右子树构造一棵新的二叉树,置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

重复,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

 

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

构造完毕(哈夫曼树,最有二叉树),也就是最佳判定树

哈夫曼编码

哈夫曼树的应用很广,哈夫曼编码就是其在电讯通信中的应用之一。广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%~90%之间。在电讯通信业务中,通常用二进制编码来表示字母或其他字符,并用这样的编码来表示字符序列。 

例:如果需传送的电文为 ‘ABACCDA’,它只用到四种字符,用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00, 01,10, 11,则上述电文便为 ‘00010010101100’(共 14 位),译码员按两位进行分组译码,便可恢复原来的电文。

能否使编码总长度更短呢?

实际应用中各字符的出现频度不相同,用短(长)编码表示频率大(小)的字符,使得编码序列的总长度最小,使所需总空间量最少

数据的最小冗余编码问题

在上例中,若假设 A, B, C, D 的编码分别为 0,00,1,01,则电文 ‘ABACCDA’ 便为 ‘000011010’(共 9 位),但此编码存在多义性:可译为: ‘BBCCDA’、‘ABACCDA’、‘AAAACCACA’ 等。

译码的惟一性问题

要求任一字符的编码都不能是另一字符编码的前缀,这种编码称为前缀编码(其实是非前缀码)。 在编码过程要考虑两个问题,数据的最小冗余编码问题,译码的惟一性问题,利用最优二叉树可以很好地解决上述两个问题

用二叉树设计二进制前缀编码

以电文中的字符作为叶子结点构造二叉树。然后将二叉树中结点引向其左孩子的分支标 ‘0’,引向其右孩子的分支标 ‘1’; 每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的 0, 1 序列。如此得到的即为二进制前缀编码。

 

编码: A:0, C:10,B:110,D:111 

任意一个叶子结点都不可能在其它叶子结点的路径中。

用哈夫曼树设计总长最短的二进制前缀编码

假设各个字符在电文中出现的次数(或频率)为 wi ,其编码长度为 li,电文中只有 n 种字符,则电文编码总长为:

设计电文总长最短的编码,设计哈夫曼树(以 n 种字符出现的频率作权),

由哈夫曼树得到的二进制前缀编码称为哈夫曼编码   

例:如果需传送的电文为 ‘ABACCDA’,即:A, B, C, D 

的频率(即权值)分别为 0.43, 0.14, 0.29, 0.14,试构造哈夫曼编码。

编码: A:0, C:10,  B:110, D:111 。电文 ‘ABACCDA’ 便为 ‘0110010101110’(共 13 位)。

例:如果需传送的电文为 ‘ABCACCDAEAE’,即:A, B, C, D, E 的频率(即权值)分别为0.36, 0.1, 0.27, 0.1, 0.18,试构造哈夫曼编码。

编码: A:11,C:10,E:00,B:010,D:011 ,则电文 ‘ABCACCDAEAE’ 便为 ‘110101011101001111001100’(共 24 位,比 33 位短)。

译码
从哈夫曼树根开始,对待译码电文逐位取码。若编码是“0”,则向左走;若编码是“1”,则向右走,一旦到达叶子结点,则译出一个字符;再重新从根出发,直到电文结束。

电文为 “1101000” ,译文只能是“CAT”

哈夫曼编码算法的实现

由于哈夫曼树中没有度为1的结点,则一棵有n个叶子的哈夫曼树共有2×n-1个结点,可以用一个大小为2×n-1 的一维数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息,所以构成一个静态三叉链表。

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  1 //haffman 树的结构
  2 typedef struct
  3 {
  4     //叶子结点权值
  5     unsigned int weight;
  6     //指向双亲,和孩子结点的指针
  7     unsigned int parent;
  8     unsigned int lChild;
  9     unsigned int rChild;
 10 } Node, *HuffmanTree;
 11 
 12 //动态分配数组,存储哈夫曼编码
 13 typedef char *HuffmanCode;
 14 
 15 //选择两个parent为0,且weight最小的结点s1和s2的方法实现
 16 //n 为叶子结点的总数,s1和 s2两个指针参数指向要选取出来的两个权值最小的结点
 17 void select(HuffmanTree *huffmanTree, int n, int *s1, int *s2)
 18 {
 19     //标记 i
 20     int i = 0;
 21     //记录最小权值
 22     int min;
 23     //遍历全部结点,找出单节点
 24     for(i = 1; i <= n; i++)
 25     {
 26         //如果此结点的父亲没有,那么把结点号赋值给 min,跳出循环
 27         if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
 28         {
 29             min = i;
 30             break;
 31         }
 32     }
 33     //继续遍历全部结点,找出权值最小的单节点
 34     for(i = 1; i <= n; i++)
 35     {
 36         //如果此结点的父亲为空,则进入 if
 37         if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
 38         {
 39             //如果此结点的权值比 min 结点的权值小,那么更新 min 结点,否则就是最开始的 min
 40             if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
 41             {
 42                min = i;
 43             }
 44         }
 45     }
 46     //找到了最小权值的结点,s1指向
 47     *s1 = min;
 48     //遍历全部结点
 49     for(i = 1; i <= n; i++)
 50     {
 51         //找出下一个单节点,且没有被 s1指向,那么i 赋值给 min,跳出循环
 52         if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
 53         {
 54             min = i;
 55             break;
 56         }
 57     }
 58     //继续遍历全部结点,找到权值最小的那一个
 59     for(i = 1; i <= n; i++)
 60     {
 61         if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
 62         {
 63             //如果此结点的权值比 min 结点的权值小,那么更新 min 结点,否则就是最开始的 min
 64             if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
 65             {
 66                min = i;
 67             }
 68         }
 69     }
 70     //s2指针指向第二个权值最小的叶子结点
 71     *s2 = min;
 72 }
 73 
 74 //创建哈夫曼树并求哈夫曼编码的算法如下,w数组存放已知的n个权值
 75 void createHuffmanTree(HuffmanTree *huffmanTree, int w[], int n)
 76 {
 77     //m 为哈夫曼树总共的结点数,n 为叶子结点数
 78     int m = 2 * n - 1;
 79     //s1 和 s2 为两个当前结点里,要选取的最小权值的结点
 80     int s1;
 81     int s2;
 82     //标记
 83     int i;
 84     // 创建哈夫曼树的结点所需的空间,m+1,代表其中包含一个头结点
 85     *huffmanTree = (HuffmanTree)malloc((m + 1) * sizeof(Node));
 86     //1--n号存放叶子结点,初始化叶子结点,结构数组来初始化每个叶子结点,初始的时候看做一个个单个结点的二叉树
 87     for(i = 1; i <= n; i++)
 88     {
 89        
 90         //其中叶子结点的权值是 w【n】数组来保存
 91         (*huffmanTree)[i].weight = w[i];
 92         //初始化叶子结点(单个结点二叉树)的孩子和双亲,单个结点,也就是没有孩子和双亲,==0
 93         (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
 94         (*huffmanTree)[i].parent = 0;
 95         (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
 96     }// end of for
 97     //非叶子结点的初始化
 98     for(i = n + 1; i <= m; i++)
 99     {
100         (*huffmanTree)[i].weight = 0;
101         (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
102         (*huffmanTree)[i].parent = 0;
103         (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
104     }
105     
106     printf("\n HuffmanTree: \n");
107     //创建非叶子结点,建哈夫曼树
108     for(i = n + 1; i <= m; i++)
109     {
110         //在(*huffmanTree)[1]~(*huffmanTree)[i-1]的范围内选择两个parent为0
111         //且weight最小的结点,其序号分别赋值给s1、s2
112         select(huffmanTree, i-1, &s1, &s2);
113         //选出的两个权值最小的叶子结点,组成一个新的二叉树,根为 i 结点
114         (*huffmanTree)[s1].parent = i;
115         (*huffmanTree)[s2].parent = i;
116         (*huffmanTree)[i].lChild = s1;
117         (*huffmanTree)[i].rChild = s2;
118         //新的结点 i 的权值
119         (*huffmanTree)[i].weight = (*huffmanTree)[s1].weight + (*huffmanTree)[s2].weight;
120         
121         printf("%d (%d, %d)\n", (*huffmanTree)[i].weight, (*huffmanTree)[s1].weight, (*huffmanTree)[s2].weight);
122     }
123     
124     printf("\n");
125 }
126 
127 //哈夫曼树建立完毕,从 n 个叶子结点到根,逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
128 void creatHuffmanCode(HuffmanTree *huffmanTree, HuffmanCode *huffmanCode, int n)
129 {
130     //指示biaoji
131     int i;
132     //编码的起始指针
133     int start;
134     //指向当前结点的父节点
135     int p;
136     //遍历 n 个叶子结点的指示标记 c
137     unsigned int c;
138     //分配n个编码的头指针
139     huffmanCode=(HuffmanCode *)malloc((n+1) * sizeof(char *));
140     //分配求当前编码的工作空间
141     char *cd = (char *)malloc(n * sizeof(char));
142     //从右向左逐位存放编码,首先存放编码结束符
143     cd[n-1] = '\0';
144     //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
145     for(i = 1; i <= n; i++)
146     {
147         //初始化编码起始指针
148         start = n - 1;
149         //从叶子到根结点求编码
150         for(c = i, p = (*huffmanTree)[i].parent; p != 0; c = p, p = (*huffmanTree)[p].parent)
151         {
152             if( (*huffmanTree)[p].lChild == c)
153             {
154                 //从右到左的顺序编码入数组内
155                  cd[--start] = '0';  //左分支标0
156             }
157             else
158             {
159                 cd[--start] = '1';  //右分支标1
160             }
161         }// end of for
162         //为第i个编码分配空间
163         huffmanCode[i] = (char *)malloc((n - start) * sizeof(char));
164         
165         strcpy(huffmanCode[i], &cd[start]);
166     }
167     
168     free(cd);
169     //打印编码序列
170     for(i = 1; i <= n; i++)
171     {
172          printf("HuffmanCode of %3d is %s\n", (*huffmanTree)[i].weight, huffmanCode[i]);
173     }
174     
175     printf("\n");
176 }
177 
178 int main(void)
179 {
180     HuffmanTree HT;
181     HuffmanCode HC;
182     int *w,i,n,wei,m;
183     
184     printf("\nn = " );
185     
186     scanf("%d",&n);
187     
188     w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
189     
190     printf("\ninput the %d element's weight:\n",n);
191     
192     for(i=1; i<=n; i++)
193     {
194         printf("%d: ",i);
195         fflush(stdin);
196         scanf("%d",&wei);
197         w[i]=wei;
198     }
199     
200     createHuffmanTree(&HT, w, n);
201     creatHuffmanCode(&HT,&HC,n);
202     
203     return 0;
204 }
复制代码

补充:树的计数

已知先序序列和中序序列可确定一棵唯一的二叉树;

已知后序序列和中序序列可确定一棵唯一的二叉树;

已知先序序列和后序序列不能确定一棵唯一的二叉树。

 

辛苦的劳动,转载请注明出处,谢谢……http://www.cnblogs.com/kubixuesheng/p/4397798.html

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