从如何判断浮点数是否等于0说起——浮点数的机器级表示

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从如何判断浮点数是否等于0说起——浮点数的机器级表示

ghost丶桃子 2016-05-19 15:12:00 浏览2113
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题目中针对的0,对于浮点类型,具体指的是0.0,自然对于指针类型就是NULL,对于整型就是0,一些常见笔试面试题中常出现,不要较真,十分欢迎提出改进意见。

本文很大程度上收到林锐博士一些文章的启发,lz也是在大学期间读过,感觉收益良多,但是当时林锐也是说了结论,lz也只是知其然,而不知其所以然,为什么要那样写?为什么要这样用?往往一深究起来就稀里糊涂了,现在有幸还是继续读书,我发现了很多问题理解的还不透彻,亡羊补牢。

比如:有int d;  int *d; bool d; double d;几个变量,经过一系列的计算之后,那么去判断这个四个变量是否等于0该怎么做?

很多菜鸟或者编程功底不扎实的就会出错,一些烂书,尤其国内的一部分大学教材,教授编程语言的书籍,比如谭xx的,都存在很多不规范的误导,甚至是错误,这样的地方简直太多了,并不是程序出了想要的正确结果,就算完事儿了。

一些类似我这样的读过几本经典书籍,看过一些经典技术手册,码过若干行的代码等等,就会说这还不简单,会类似的写出:

复制代码
 1     void isZero(double d)
 2     {
 3         if (d >= -DBL_EPSILON && d <= DBL_EPSILON)
 4         {
 5             //d是0处理
 6         }
 7     }
 8 
 9     void isZero(int d)
10     {
11         if (0 == d)
12         {
13             //d是0处理
14         }
15     }
16 
17     void isZero(int *d)
18     {
19         if (NULL == d)
20         {
21             //d是空指针处理
22         }
23     }
24 
25     void isZero(bool d)
26     {
27         if (!d)
28         {
29             //d就认为是false 也就是0
30         }
31     }
复制代码

没错,很多经典的教科书或者指南,一些技术类的讲义,都会这样教授。但是为什么要这样写?

可能一部分人就糊涂了,不知道咋回答,搞技术或者做学问不是诗词歌赋,结论经不起严谨的推敲就不能服众,不可以说,书上是这样写的,或者老师告诉我的,那样太low了。尤其是浮点数比较的问题,不只是0,类似的和其他的浮点数比较大小的问题也是一样的。

要解决这个疑惑,必须先理解计算机是如何表示和存储浮点数据的,期间参考了IEEE单双精度的规范文档,和MSDN的一些文档,以及《深入理解计算机操作系统》一书。

1、先看看双精度的伊布西龙(高等数学或者初等数学里的数学符号就是它,epsilon)的值是多少

printf("%.40lf", DBL_EPSILON);

折合为科学计数法:

2、再看一些例子

    printf("%0.100f\n", 2.7);
    printf("%0.100f\n", 0.2);

 printf("%0.100f\n", sin(3.141592653589793 / 6));

这个计算结果不是0.5,而是:

printf("%0.100f\n", 0.0000001);

打印结果是:

这样的结果在不同机器或者编译器下,有可能不同,但是能说明一个问题,浮点数的比较,不能简单的使用==,而科学的做法是依靠EPISILON,这个比较小的正数(英文单词episilon的中文解释)。

EPSILON被规定为是最小误差,换句话说就是使得EPSILON+1.0不等于1.0的最小的正数,也就是如果正数d小于EPISILON,那么d和1.0相加,计算机就认为还是等于1.0,这个EPISILON是变和不变的临界值。

官方解释:

For EPSILON, you can use the constants FLT_EPSILON, which is defined for float as 1.192092896e-07F, or DBL_EPSILON, which is defined for double as 2.2204460492503131e-016. You need to include float.h for these constants. These constants are defined as the smallest positive number x, such that x+1.0 is not equal to 1.0. Because this is a very small number, you should employ user-defined tolerance for calculations involving very large numbers.

一般可以这样写,防止出错:

复制代码
 1     double dd = sin(3.141592653589793 / 6);
 2     /*if (dd == 0.5)
 3     {取决于不同的编译器或者机器平台……这样写,即使有时候是对的,但是就怕习惯,很容易出错。
 4     }*/
 5 
 6     if (fabs(dd - 0.5) < DBL_EPSILON)
 7     {
 8         //满足这个条件,我们就认为dd和0.5相等,否则不等
 9         puts("ok");//打印了ok
10     }
复制代码

为什么浮点数的表示是不精确的?(简单的分析,否则里面的东西太多了)

这得先说说IEEE(Institute of Electrical and Electronic Engineers )754标准,此标准规定了标准浮点数的格式,目前,几乎所有计算机都支持该标准,这大大改善了科学应用程序的可移植性。下面看看浮点数的表示格式:n是浮点数,s是符号位,m是尾数,e是阶数,回忆高中的指数表示。

             

IEEE标准754规定了三种浮点数格式:单精度、双精度、扩展精度。

前两者正好对应C、C++的float、double,其中,单精度是32位,S是符号位,占1位,E是阶码,占8位,M是尾数,占23位,双精度是64位,其中S占1位,E占11位,M占52位。拿intel架构下的32位机器说话,之前在计算机存储的大小端模式解析说过处理器的两类存储方式,intel处理器是小端模式,为了简单说明,以单精度的20000.4为例子。

20000.4转换为单精度的2进制是多少?

此单精度浮点数是正数,那么尾数符号s=0,指数(阶数)e是8位,30到23位,尾数m(科学计数法的小数部分)23位长,22位到0位,共32位,如图

先看整数部分,20000先化为16进制(4e20)16,则二进制是(100 1110 0010 0000)2,一共15位。

再看小数部分,0.4化为二进制数,这里使用乘权值取整的计算方法,使用0.X循环乘2,每次取整数部分,但是我们发现,无论如何x2,都很难使得0.X为0.0,就相当于十进制的无限循环小数0.33333……一样,10进制数,无法精确的表达三分之一。也就是人们说的所谓的浮点数精度问题。因单精度浮点数的尾数规定长23位,那现在乘下去,凑够24位为止,即再续9位是(1.011001100)2

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这里解释下为什么是1. ……  且 尾数需要凑够24位,而不是23位?

尾数M,单精度23位、双精度52位,但只表示小数点之后的二进制位数,也就是假定M为 “010110011...” , 二进制是 “ . 010110011...” 。而IEEE标准规定,小数点左边还有一个隐含位,这个隐含位绝大多数情况下是1,当浮点数非常非常非常小的时候,比如小于 2^(-126) (单精度)的时候隐含位是0。这个尾数的隐含位等价于一位精度,于是M最后结果可能是"1.010110011...”或“0.010110011...”。也就是说尾数的这个隐含位占了一位精度!且尾数的隐含位这一位并不存放在内存里。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

则20000.4表示为二进制 = 100 1110 0010 0000 . 0110 0110 0

科学计数法为1.00 1110 0010 0000   0110 0110 0 x 2^14(此时尾数的隐含位是1,但是不放在内存)小数点左移了14位,单精度的阶码按IEEE标准长度是8位,可以表示范围是-128 ~ 127,又因为指数可以为负的,为了便于表示和便于计算,那么IEEE的754标准就人为的规定,指数都先加上1023(双精度的阶码位数是11位,范围是-1024~1023)或者加上127。

那么单精度的浮点,阶码的十进制就是14+127=141,141的二进制=10001101,那么阶码就是10001101,符号位是0,合并为32位就是:

0,10001101,00111000100000011001100

(1.00 1110 0010 0000   0110 0110 0尾数的小数点左边的1不存入内存)

简单的看,纵观整个过程,浮点数的表示在计算机里经常是不精确的!除非是0. ……5的情形。

因为乘不尽,且IEEE754标准规定了精度,实数由一个整数或定点数(即尾数)乘以某个基数(计算机中通常是2)的整数幂得到,这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。

所以浮点数运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。但是这种设计的好处是可以在固定的长度上存储更大范围的数。

总之就是一句话:浮点数无法精确的表示所有二进制小数。好比:用10进制数不能精确表示某些三进制小数0.1(3)=0.33333333333……(10),同理,用二进制小数也不能精确表示某些10进制小数。

有一个问题,为什么8位二进制的表达范围是-128到127?

必须知道:计算机里的一切数都是用补码来表示!大部分补码反码原码相关的知识在《计算机组成原理》课程都有讲授

我只说书上没有的,思考和复习了下,大概是这样的:

二进制直接表达0,有正0和负0的情况,比如原码的0000 0000和1000 0000。且计算机进行原码减法比较不爽。因为计算机里进位容易,借位比较复杂!具体怎么不爽这里不再考证。

那么最后人们决定使用补码来表达计算机里的一切数,这里不得不提一个概念——模:一个系统的计量范围,比如时钟的计量范围是12、 8位二进制数的计量范围是2^8.

对时钟:从中午12点调到下午3点,有两种方法,往前拨9个小时,或者往后拨3个小时,9+3=12,同理在计算机使用补码就是这个道理,可以使用补码代替原码,把减法化为加法。方便运算加减,且补码的0只有一种表达方式,比如四字节的补码(1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000),可以规定为-0,也可以看成0x8000 0001 - 1的结果,因为补码没有正负0,那么人为规定是后者的含义!它就是四字节负数的最小的数。那么对一字节,如下:

+127=0111 1111(原码=反码=补码)

……

+1  = 0000 0001

0    = 0000 0000

……

-126= 1111 1110(原码)= 1000 0001(反码)=1000 0010(补码)

-127= 1111 1111(原码)= 1000 0000(反码)=1000 0001(补码),显然,还差一个数,1000 0000(补码),根据前面说的,它就是一字节负数最小的数了!

就是原码-128,针对补码1000 0000求原码,记住方法,和原码求补码是一样的,都是符号位不变,取反加1,则1000 0000(补码) = 1111 1111 + 1 = 1 1000 0000(原码),精度多了一位,则舍弃,为1000 0000(原码),和补码一样。

故取值范围是1000 0000到0000 0000到0111 1111,-128到0到+127,其他位数同理,有公式曰:-2^(n-1)到+2^(n-1) - 1,其它可以套这个公式。

还有一个问题,浮点数用==比较怎么了?完全可以运行!

这个问题,其实已经呗讨论了很多年,浮点数的比较,千万不能钻牛角尖,“我就用==比较,完全能运行啊!”,我靠,没人说这句代码是错的好么?

那么到低是对还是错的,关键还是看你想要什么?!你想要的结果 和 你所做的东西反映的结果,是不是保持了一致?!明白了这个,就明白==该不该用。

其实个人认为,林锐博士 说的这是错误,感觉也不太准确,因为有钻牛角尖的会想不通。

还有一个问题,逼逼了那么多,浮点数无法精确表达实数,那为啥epsilon的大小是尼玛那样的?

1 #define DBL_EPSILON      2.2204460492503131E-16 
2 #define FLT_EPSILON     1.19209290E-07F 
3 #define LDBL_EPSILON     1.084202172485504E-19 

前面已经说了,数学上学的实数可以用数轴无穷尽的表示,但是计算机不行,在计算机中实数和浮点数还是不一样的,我个人理解。浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示,在计算机中用以近似表示任意某个实数。

在计算机中,整数和纯小数使用定点数表示,叫定点小数和定点正数,对混合有正数和小数的数,使用浮点数表示,所谓浮点,浮点数依靠小数点的浮动(因为有指数的存在)来动态表示实数。灵活扩大实数表达范围。但在计算过程中,难免丢失精度。

至于epsilon的大小,前面也贴出了官方定义,它就规定了,当x(假如x是双精度)落在了+- DBL_EPSILON之内,x + 1.0 = 1.0,就是这么规定的。x在此范围之内的话,都呗计算机认为是0.0 。

浮点数表达的有效位数(也就是俗称的精度)和表达范围不是一个意思

经常说什么单精度一般小数点精度是7-8位,双精度是15-16位,到低怎么来的呢?前面说了,单精度数尾数23位,加上默认的小数点前的1位1,2^(23+1) = 16777216。关键: 10^7 < 16777216 < 10^8,所以说单精度浮点数的有效位数是7-8位,这个7-8位说的是十进制下的,而我们前面说的尾数位数那是二进制下的,需要转换。

又看,双精度的尾数52位存储,2^(52+1) = 9007199254740992,那么有10^16 < 9007199254740992 < 10^17,所以双精度的有效位数是16-17位。

貌似实际编码中,大部分直接用double了,省的出错。

 

关键是要宏观的理解为什么不精确,具体怎么算倒是次要。总之应付笔试面试足够了。抛砖引玉,如有错误,欢迎指出。

 

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