题目来自lintcode, 链接：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/longest-palindromic-substring/
最长回文子串
给出一个字符串（假设长度最长为1000），求出它的最长回文子串，你可以假定只有一个满足条件的最长回文串。
样例
给出字符串 "abcdzdcab"，它的最长回文子串为 "cdzdc"。
挑战
O(n2) 时间复杂度的算法是可以接受的，如果你能用 O(n) 的算法那自然更好。
一. 首先给出O(n^2)的算法
思路：dp[i][k]表示第i个位置开始长度为k的串的最大回文串的长度, j=i+k-1
当 s[i] == s[j] && dp[i+1][k-2] == k-2, dp[i][k] = dp[i+1][k-2] + 2;
否则 dp[i][k] = max(dp[i+1][k-1], dp[i][k-1]);
并记录dp[i][k]的最大值，最后找到最长回文子串的区间。
int dp[1005][1005]; string longestPalindrome(string& s) { // Write your code here O(n^2) int len = s.size(); memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(int i=0; i<len; ++i) dp[i][1] = 1; int ld=0, rd=0, maxL = 1; for(int k=2; k<=len; ++k){ for(int i=0, j; i<len && (j=i+k-1)<len; ++i){ if(s[i] == s[j] && dp[i+1][k-2] == k-2) dp[i][k] = dp[i+1][k-2] + 2; else dp[i][k] = max(dp[i+1][k-1], dp[i][k-1]); if(maxL<dp[i][k]){ maxL = dp[i][k]; ld = i; rd = j; } } } return s.substr(ld, rd-ld+1);
}
二.然后看一下复杂度为O(n)的Manacher算法
2.1 先说一下这个算法的思想：
用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]）。
2.2 算法基本要点：
这个算法不能求出最长回文串长度为偶数回文串。用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在相邻两个字符之间插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 a#b#b#a。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$a#b#b#a。
2.3 具体说一个例子：
S[] 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1
P[] 1 1 2 1 2 1 4 1 2 1 5 1 2 1 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
2.4 为啥要对字符串进行处理（插入'#'）
如果不对字符进行处理, 对于最长回文串为偶数的情况下：
S[] 1 2 1 1 2 1
P[] 1 2 1 1 2 1
对字符进行处理，对于最长回文串为偶数的情况下：
S[] 1 # 2 # 1 # 1 # 2 # 1
P[] 1 1 3 1 2 6 2 1 3 1 1
可见不对字符进行处理，对于最长回文串为偶数的情况是不能得到最大的回文串的长度。
2.5 如何计算P数组的值:
算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。
2.6 寻找最大长度的回文子串：
看一种情况：
S[] 1 # 2 # 2
P[] 1 1 2 2 1
首先， P中的最大值为2，但是最大值有两个，我们应该选择哪一个？其实，如果P中的最大值对应的字符不是'#'，显然不能得到最大长度的回文串。所以当我们遇到这种情况时(maxP == P[i] && S[i]=='#')要更新最大值所在位置。
2.7 最后代码：
class Solution { public: /** * @param s input string * @return the longest palindromic substring */ string manacher(string& str){ int *p = new int[str.size()](); memset(p, 0, sizeof(p)); int mx = 0, id = 0; for(int i=1; i<str.size(); i++){ if(mx > i) p[i] = min(p[2*id-i], mx-i); else p[i] = 1; while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]]) ++p[i]; if(i + p[i] > mx){ mx = i + p[i]; id = i; } } //寻找数组P中的最大值的位置 int maxP = 0; for(int i=1; i<str.size(); ++i) if(maxP < p[i] || (maxP == p[i] && str[i]=='#')){ maxP = p[i]; id = i; } //根据id，确定最长回文串的区间 int ld = id-p[id]+1, rd = id+p[id]-1; string ans = ""; for(int i=ld; i<=rd; ++i) if(str[i]!='#') ans += str[i]; return ans; } string longestPalindrome(string& s) { // Write your code here //采用manacher算法，O(n)的时间复杂度 int len = s.size();
//首先预处理字符串，每两个字符之间插入'#' int k = -1; for(int i=1; i<len; ++i) s.insert(k+=2, 1, '#'); s.insert(0, 1, '$'); return manacher(s); } };
