来源：http://vivid.name/tech/mason.html
不得不纪念一下这道题，因为我今天一整天的时间都花到这道题上了。因为这道题，我学会了快速幂，学会了高精度乘高精度，学会了静态查错，学会了一个小小的变量的使用可能会导致整个程序挂掉。。
Description
形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000 < P < 3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
Input
只包含一个整数P（1000 < P < 3100000）
Output
第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。
Sample Input
1279
Sample Output
386 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000104079321946643990819252403273640855 38615262247266704805319112350403608059673360298012 23944173232418484242161395428100779138356624832346 49081399066056773207629241295093892203457731833496 61583550472959420547689811211693677147548478866962 50138443826029173234888531116082853841658502825560 46662248318909188018470682222031405210266984354887 32958028878050869736186900714720710555703168729087
看到这题第一感觉是简单，很容易就看懂了。然后，就没有然后了。不知道怎么做了，直接不断乘2肯定不仅超时而且超出范围。。明显用高精度。然后不知道用高精度乘这么多次会不会超时，于是想到快速幂。
想归想，这俩算法我都不会。于是问百度，看题解，看了好久，终于在上午似懂非懂地编出了快速幂（求a^b%m)。下午继续研究，终于又编出了高精度乘高精度的程序。这可完全是我自己蒙出来的，我没找到高精度乘高精度的例程。所以毫无悬念地在2^p，p上万时挂掉了。
就是因为自己想的高*高用了t、tt以及计算时处理进位，程序在次数较高的时候才挂掉了。这三个全部改掉才可以，只改掉任何一个仍然会挂。
本题分两问，第一问求位数，可以证明：当x有n位时，必有10^(n-1)<=x<10^n（如x有3位时必有100=10^2<=x<1000=10^3），取常用对数，n-1<=lgx<n，即lgx的整数部分是n-1，也就是说数x的位数是lg(x)的整数部分+1。故欲求x的位数只需求floor(log10(x)+1).
PS：注意：原文这里描述是“故欲求x的位数只需求floor(log10(x)+1+0.5)（floor(x+0.5)是计算x的整数部分，这样可以避免浮点误差）。”
其实这个浮点数x加上0.5的最主要功能是四舍五入。这里多加0.5的话，会使得有些情况下的计算结果比正确结果多1.
然后第二问是去掉了取模运算、用上高精度的快速幂：
while(p>0)
{ if(p==1)
{
mul(ans,a);
break;
} else
{ if(p%2) mul(ans,a); p/=2; mul(a,a);
} }
话说我看了很多题解，都发现里面有一句“末位不要忘了减1”，一直百思不得其解。直到最后我才明白，原来是因为题目让算2^p-1。。还有，写这个程序的时候除了很多小错，比如递减的for循环写成了i++，x[i]*y[j]写成了x[i]*y[i]……这些都是编译器查不出来的，只有静态查错，也就是传说中的用眼睛自己看，才可以查到。从此以后我再也不敢完全依靠编译器了。
废话不多说，直接贴AC程序：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #include<string.h> 4 #include<math.h> 5 6 void mul(int x[],int y[]) 7 { 8 /* x*y->x */ 9 int tmp[520]={0},lx=500,ly=500,i,j,len; 10 memset(tmp,0,sizeof(tmp)); 11 while(x[lx]==0&&lx>0) lx--; //计算x首位位置 12 while(y[ly]==0&&ly>0) ly--; //计算y首位位置 13 len=lx+ly; 14 for(i=1;i<=ly;i++) 15 for(j=1;j<=lx;j++) 16 if(i+j-1<=500) tmp[i+j-1]+=y[i]*x[j]; 17 for(i=1;i<=500;i++) {tmp[i+1]+=tmp[i]/10; tmp[i]%=10; if(i<500&&tmp[i+1]==0) {len=i; break;}} 18 for(i=500;i>0;i--) x[i]=tmp[i]; 19 } 20 int main() 21 { 22 long p; 23 int ans[501]={0},a[501]={0},i; 24 scanf("%ld",&p); 25 printf("%ld\n",(long)floor(p*log10(2)+1)); 26 /*快速幂求2^p,同时用高精度乘法*/ 27 ans[1]=1; a[1]=2; 28 while(p>0){ 29 if(p==1) {mul(ans,a); break;} 30 else{ 31 if(p%2) mul(ans,a); 32 p/=2; 33 mul(a,a);} 34 } 35 ans[1]-=1; 36 for(i=500;i>0;i--) {printf("%d",ans[i]); if((i-1)%50==0) printf("\n");} 37 //system("pause"); 38 return 0; 39 }
参考原文的代码，简化了一些地方：
1 #include<stdio.h> 2 #include<math.h> 3 //#include<string.h> 4 void mul(int x[],int y[]); 5 int main() 6 { 7 long p; 8 int num=0; 9 int ans[501]={0},a[501]={0},i; 10 freopen("Mason.in","r",stdin); 11 freopen("Mason.out","w",stdout); 12 scanf("%ld",&p); 13 num=(int)floor(p*log10(2)+1); 14 printf("%d\n",num); 15 16 /*快速幂求2^p,同时用高精度乘法*/ 17 ans[1]=1; a[1]=2; 18 while(p>0) 19 { 20 if(p&1) //if(p%2==1) 21 mul(ans,a); 22 p=p>>1; //p=p/2; 23 mul(a,a); //a*a -> a 24 } 25 ans[1]-=1; //这个地方其实直接减1会有bug。当ans[1]为0的时候是错误的结果。所以可以采用下面的方法减1。但是对这个题目而言，2^p-1必然是奇数，也即个位是不可能为0。(ans[1]不会为0.) 26 /*for(i=1;i<=500;i++) 27 { 28 if(ans[i]>0) {ans[i]--;break;} 29 } 30 for(;i>=1;i--) ans[i]=9;*/ 31 for(i=500;i>0;i--) {printf("%d",ans[i]); if((i-1)%50==0) printf("\n");} 32 printf("\n"); 33 return 0; 34 } 35 void mul(int x[],int y[]) 36 { 37 /* x*y->x */ 38 int tmp[520]={0},lx=500,ly=500,i,j,len; //tem[]一定要清零。 39 //memset(tmp,0,sizeof(tmp)); 40 while(x[lx]==0&&lx>0) lx--; //计算x首位位置 41 while(y[ly]==0&&ly>0) ly--; //计算y首位位置 42 len=lx+ly; 43 for(i=1;i<=ly;i++) 44 for(j=1;j<=lx;j++) 45 if(i+j-1<=500) tmp[i+j-1]+=y[i]*x[j]; //if语句是保证只保留500位 46 for(i=1;i<=500;i++) 47 { 48 tmp[i+1]+=tmp[i]/10; //把进位的值加到高位 49 tmp[i]%=10; 50 /*if(i<500&&tmp[i+1]==0) 51 {len=i; break;}*/ //这个地方没理解其用意，似乎只是优化循环次数。但len没有使用的机会，所以干脆删除掉比较好。 52 } 53 for(i=500;i>0;i--) x[i]=tmp[i]; //把结果复制到x数组 54 }
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