0是一个神奇的数字，这里简单介绍一些关于0的特点和性质。

0的性质：

     *0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。国际标准ISO 31-11:1992中，从集合论角度规定：符号N所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-1993参照国际标准作出同样规定。

     *0是平方数。

     *0是高斯整数（高斯整数是实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数）。

     *0是偶数。

     *0非正非负，0的相反数和绝对值都是其本身。

     *0乘以任何实数都等于0（0*10=0），任何实数加上0等于其本身（x+0=x）。

     *0没有倒数和负倒数，任何数（包括0）除以0无意义。

     *0不能做对数的底。

     *0的正数次方等于0，0的负数次方无意义（因为分母不可为0）。

     *0的0次方目前数学家没有给予正式的定义，部分领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为1。

     *0!定义为1。

     *0和任何整数的最大公约数是另一个整数。

     *0是任何整数的倍数。

几点阐述：

     1.任何数（包括0）除以0无意义：

证明：（反证法）

     假设非零实数除以0成立，于是设有非零实数x，有a=x/0。

     从而有x=a*0=0，从而与题设x非零矛盾，从而有假设错误。

     因此，任何非0实数除以0无意义。

     那么，为什么0除以0也没有意义呢？

     首先，这里先阐述一下现实生活中0除以0的无意义：

     举个例子，假设有0块钱，现在要把这0块钱均分给0个人，那么每个人应该分得多少块钱？

     提出这个问题时，不是说这个问题有谬论，而是这个问题本身就没有意义。对于这个问题，从哲学上说，0个人总共获得0块钱，那么每个人分得的可以是任何数值的钱。为什么呢？因为这个问题所描述的事件是一件不可能发生的事情，那么，如果一件不可能发生的事情发生了，这件事情就具有无限的可能性。

     这个概念可以结合到香农的信息论，香农认为，一个码元携带的信息量为-log(pi),其中pi为该码元出现的概率。根据这个公式，pi越小，那么信息量越大，当pi=0时，携带信息量为无限大，也就是说这样一个事件所带来的是无限的可能性，有可能是宇宙爆炸等等。既然一件已经认为是不可能发生的事情都发生了，那么还有什么事情不会发生呢？因此，0人分0块钱，每个人可能分得任何数值的钱。

     然后，阐述一些关于数学上的概念：

     在极限理论中，认为任何非零实数除以0，其结果为无穷大（可能为正无穷大或负无穷大）。

     对于0/0，由极限理论，其值可能为任何值。

     举个例子，0/0型洛必达法则：

     洛必达法则中有，

     设函数f(x)和g(x)满足：

     当x=>oo，lim f(x)=lim g(x)=0；同时f(x)和g(x)均可导。

     那么，就有 lim( f(x)/g(x) ) = lim (f’(x)/g’(x) ) =A。

     从这里，我们可以看出，由于函数f(x)和g(x)的多种可能性，其f’(x)和g’(x)也会有多种可能性，其结果A也会有多种可能性。

     即是有，0/0的结果可以为任意值，这是没有意义的。

     2.零是高斯整数：

     高斯整数是实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数。

证明：

     设0 = a + b * j，有 a = b = 0。由0为整数，于是有满足高斯整数的定义。

     3.零是任何整数的倍数：

证明：

     设任意整数为a，则有

对于任意非零整数a，有0/a = 0，由于0为整数，从而有0是a的倍数。

而对于a为0的情况，前面提及过0/0无意义，因此不必考虑。

     4.零和任何数的最大公约数是另一个数：

     由于前面有一条准则：0是任何整数的倍数。

     所以对于a和0，有0是a的倍数，那么，a和0的最大公约数自然为a。

0所起的作用

     1.零的作用：占位

     例如，用十进制表示的1024，其中的0起到了什么作用呢？1024的0，表示百位“没有”。虽说没有，但是这个0不能省略，因为如果省略了0，写成124，那就变成了另一个数了。

     在按位计数法中，数位具有很重要的意义。即使百位的数“没有”，也不能不写数字。这时就轮到0出场了，即0的作用就是占位。换言之，0占着一个位置以保证数位高于它的数字不会产生错位。

     正因为有了表示“没有”的0，数值才能正确地表现出来，可以说在按位计数法中0是不可或缺的。

     2.零的作用：表示“没有”

     我们需要用一个数字来表示“无”、“没有”。0在其本身的定义中就是“没有”与“无”。

     一方面，0代表了自然界中物质存在的一种状态——无，这种状态咋看没有意义，但是其作为“有”的补充，其代表着自然界的普遍规律：有无相生。

     另一方面，正是0所代表的“没有”这种状态，它能够很好地描述我们所接触到的“没有”，让“没有”能够以“0”的方式存在于“有”的世界中。

日常生活中的0

     在我们的日常生活中，有时也会遇到像0那样表示“没有”的情况。

     *没有计划的计划

     我们常常使用日程表来管理计划。在日程表中填入“案头工作”、“出差”、“研讨会”等计划。那么，和“0”相当的计划是什么呢？

     通常情况下，如果我们在某一天没有上面所提及的什么“研讨会”的日程计划，此时，所有的时间都是有自己支配，所以现在自己处于没有安排的情景之下，在这种情况下，我们可以用0来表示没有安排与计划，0就相当于空计划，日程表中没有任何安排，是空着的，就是0。

     在这里，0所起到的作用也是一种占位的作用。

     *没有药效的药

     假设现在必须有规律的服用某一种胶囊，每四天停用一次，也就是3天服用，1天停用。但是对于这样一种周期进行循环是很有难度的。

     灵机一动，妙法自然来。那就是每天都吃药。只是，每4粒胶囊中有一粒是“没有药效”的假胶囊。事先准备好标有日期的盒子，并在其中放入每天需要服用的药，不是更好吗？

     这样一来，就无需判断“今天是服药日还是停药日”了。正因为有了“没有”药效的药，才形成了“每天服用一粒胶囊”的简单规则。在这里，0的作用依然是占位的作用。