【练练脑子】时钟直角问题

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【练练脑子】时钟直角问题

老朱教授 2017-11-26 13:33:00 浏览1125
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问:24小时时针和分针互成直角多少次?

答:首先是一个常识性问题,分针和时针通过运动重合时,一定伴随两次成为直角(可以试着把时针视为静止,然后想象一下)。我们看看在第一个12小时内,分针和时针重合了几次。分针与时针在00:00重合,因为这是开始所以不算。时针和分针在00:00--12:00重合了十一次,11*2=22。那么后一个12小时同理,也为22,加起来为44.

网上还有其他解法:

解法1:假设不考虑时针的旋转,那有48次,然而时针是有旋转的。但三点整合九点整的时候恰好为直角,也就是说我们把两点的后一次和三点的前一次算重了,把八点的后一次和九点的前一次算重了,所以48-4=44。

解法2:分针每小时转一圈,就是360度,所以分针的速度是360度/小时 
同理,时针是30度 /小时 
他们的速度差是330度/小时 
所以,设他们互相垂直的时点为T,那么T满足90+360K=330T或者 -90+360K=330T 
其中K为0,1,2…… 
那么我们主要从0开始代入不同的K,求出不同的T,只要T在0和24之间就可以啦,最后数一下有多少个T就可以了 
当K=0的时候,T有1个值满足 
K=1.2.3.4.5.6.7一直到21的时候,每个K都有2个T对应 
当 K=22的时候,T也只有1个值满足 
所以全部的T共有1+21*2+1=44 
即一昼夜共垂直44次

附: 数学运算之时钟问题专题 (转) 
基本思路:封闭曲线上的追及问题。 
关键问题: 
①确定分针与时针的初始位置; 
②确定分针与时针的路程差; 
基本方法:从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/12*60度,即0.5度,故分针和时针的角速度差为 5.5°/分钟。 
【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有: 
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 
【解析】 
时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为2次,还要验证: 
根据角度差/速度差 =分钟数,可得 90/5.5= 16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/5.5 = 49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。经验证,选B可以。 
【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为 
A.10点15分: 
B.10点19分 
C.10点20分 
D.10点25分 
【解法1】时针10―11点之间的刻度应和分针20―25分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以答案为A。 
【解法2】常规方法 
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为0.5(X+3)度,以0点为起始来算此时时针的角度为 0.5(X―3)+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0.5(X―3)+10×30―6(X+6)=180度,解得X=15分钟。 
【例题3】 现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合? 
解析:2点的时候分针和时针的角度差为60°,而分针和时针的角速度差为5.5°/分钟,所以时间为60/5.5=120/11 分。即经过120/11分钟后时针与分针第一次重合。 
【例题4】 在7点与8点之间,时针与分针在什么时刻相互垂直? 
解析:在7点与8点之间,时针与分针会有两次垂直的机会。在7点的时候,分针与时针的角度为210°,第一次垂直时分针需要追及的角度为120°,则时间为120/5.5=240/11分,第二次垂直时分针需要追及的角度为300°,则时间为300/5.5=600/11分。 
【例题5】晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片,开始时分针与时针正好成一条直线,结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间? 
解析:7点的时候分针与时针的角度差为210°,重合的时候分针追及的角度为30°,则时间为30/5.5=60/11 分钟。重合的时候分针追及的角度为210°,则时间为210/5.5=420/11,时间差为360/11分钟。 
【例题6】3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等,并且在“3”的两边? 
解析:时针和分针离3的距离相等,即时针和分针与3的角度相等。列方程如下:0.5X=90-6X X=180/13分钟。 
【例题7】小王去开会,会前会后都看了表,发现前后时针和分针位置刚好互换,问会开了1小时几分() 
A.51  B  49  C47  D45   
解析:时间大于1小时小于两小时,又因为时针和分针的位置互换,则分针与时针共同转过的角度和为720°,则时间为720/6.5=1440/13约等于 1小时51分钟。 
【例题8】会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开? 
【解析】会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束。 
那么会议开始的大致时间我们可以得到是3点25-30之间。会议结束的时间大致是5点15-20分。会议结束时时针的位置就是会议开始时分钟的位置,15-20分,时针转的格数是15/12-20/12=5/4-5/3之间,那么分钟就在这个位置。5点位置分针是25分,加上5/4-5/3就是分钟的位置。 
常规解法:会议持续的时间为720/6.5=1440/13分钟=24/13小时 
假设会议开始的时间为3点X分。那么会议开始时时针的格数为15+1/12 *X格 
会议结束时时针的格数为X格。得X=15+X/12+5*(24/13)

 




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