前序：
(二叉)堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个节点与数组中存放该节点值的那个元素对应。
树的每一层都是填满的，最后一层除外。
树的根为a[1] （在这里是从1开始的，也可以从0开始），给定了某个节点的下标i，其父节点为i/2，左二子为2*i，右儿子为2*i+1。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。
当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。
保持堆的性质：
MaxHeap是对最大堆进行操作的最重要的子程序。
以i为根的子树：
在算法每一步中，从a[i], a[Left(i)], a[Right(i)]找出最大值，并将其下标存在LargestIndex中。如果a[i]是最大的，则以i为根的子树已是最大堆,程序结束。
否则i的某个子结点中有最大元素则交换a[i],a[LargetIndex],从而使i及子女满足堆性质。下标为LargestIndex的结点在交换后的值为a[i],以该结点为根的子树又有可能违反最大堆的性质，因而又要对该子树递归调用MaxHeap，重新使子树平衡。
- //调整以index为根的子树
- //n：堆中元素个数
- int MaxHeap(int a[],int index,int n){
- int LargestIndex = index;
- //左子节点
- int LeftIndex = 2*index;
- //右子节点
- int RightIndex = 2*index+1;
- if(LeftIndex <= n && a[LeftIndex] > a[LargestIndex]){
- LargestIndex = LeftIndex;
- }
- if(RightIndex <= n && a[RightIndex] > a[LargestIndex]){
- LargestIndex = RightIndex;
- }
- //如果a[index]是最大的，则以index为根的子树已是最大堆否则index的子节点有最大元素
- //则交换a[index],a[LargetIndex],从而使index及子女满足堆性质
- int temp;
- if(LargestIndex != index){
- //交换a[index],a[LargetIndex]
- temp = a[index];
- a[index] = a[LargestIndex];
- a[LargestIndex] = temp;
- //重新调整以LargestIndex为根的子树
- MaxHeap(a,LargestIndex,n);
- }
- return 0;
- }
建堆：
我们可以自底向上的用MaxHeap来将一个数组a[1-n]变成一个最大堆，子数组a[n/2+1,........n]中的元素是树中的叶子，因此每个都可以看做只含一个元素的堆，满足最大堆的要求，不用调整。所以只需调整以a[n/2........1]中元素为根的子树使之成为最大堆。
- //建堆：将一个数组a[1-n]变成一个最大堆
- int BuildMaxHeap(int a[],int n){
- int i;
- //子数组a[(n/2+1,n/2+2......n)]中的元素都是树中的叶子
- for(i = n/2;i >= 1;i--){
- //调整以i为根节点的树使之成为最大堆
- MaxHeap(a,i,n);
- }
- return 0;
- }
a数组
| 16 | 7 | 3 | 20 | 17 | 8 |
自底向上从最后一个非叶节点开始调整：
（a） （b） （c） （d）
每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。
堆排序：
开始时，堆排序先用BuildMaxHeap将输入数组a[1-n]构造成一个最大堆。又因为数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置。现在，如果从堆中”去掉“结点n(不是真的删除，而是通过修改堆的元素个数n)，可以很容易的将a[1-(n-1)]建成最大堆。原来根的子女依旧是最大堆，二新交换的根元素很有可能违背最大堆的性质。这时调用MaxHeap重新调整一下。在a[1-(n-1)]中构造出最大堆。堆排序不断重复这一过程，堆的大小由n-1一直降到2.从而完成排序的功能
- //堆排序
- int HeapSort(int a[],int n){
- int temp;
- //BulidMaxHeap将输入数组构造一个最大堆
- BuildMaxHeap(a,n);
- //数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置
- for(int i = n;i >= 2;i--){
- //交换
- temp = a[i];
- a[i] = a[1];
- a[1] = temp;
- //a[i]已达到正确位置，从堆中去掉
- n--;
- //重新调整，保持最大堆的性质
- MaxHeap(a,1,n);
- }
- return 0;
- }
（a） （b） （c） （d）
（e） （f） （g）
（h） （i） （j） （k）
红色为排序后的结果；
代码：
- #include<stdio.h>
- #include<stdlib.h>
- //调整堆
- int MaxHeap(int a[],int index,int n){
- int LargestIndex = index;
- //左子节点
- int LeftIndex = 2*index;
- //右子节点
- int RightIndex = 2*index+1;
- if(LeftIndex <= n && a[LeftIndex] > a[LargestIndex]){
- LargestIndex = LeftIndex;
- }
- if(RightIndex <= n && a[RightIndex] > a[LargestIndex]){
- LargestIndex = RightIndex;
- }
- //如果a[index]是最大的，则以index为根的子树已是最大堆否则index的子节点有最大元素
- //则交换a[index],a[LargetIndex],从而使index及子女满足堆性质
- int temp;
- if(LargestIndex != index){
- //交换a[index],a[LargetIndex]
- temp = a[index];
- a[index] = a[LargestIndex];
- a[LargestIndex] = temp;
- //重新调整以LargestIndex为根的子树
- MaxHeap(a,LargestIndex,n);
- }
- return 0;
- }
- //建堆：将一个数组a[1-n]变成一个最大堆
- int BuildMaxHeap(int a[],int n){
- int i;
- //子数组a[(n/2+1,n/2+2......n)]中的元素都是树中的叶子
- for(i = n/2;i >= 1;i--){
- //调整以i为根节点的树使之成为最大堆
- MaxHeap(a,i,n);
- }
- return 0;
- }
- //堆排序
- int HeapSort(int a[],int n){
- int temp;
- //BulidMaxHeap将输入数组构造一个最大堆
- BuildMaxHeap(a,n);
- //数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置
- for(int i = n;i >= 2;i--){
- //交换
- temp = a[i];
- a[i] = a[1];
- a[1] = temp;
- //a[i]已达到正确位置，从堆中去掉
- n--;
- //重新调整，保持最大堆的性质
- MaxHeap(a,1,n);
- }
- return 0;
- }
- int main(){
- int n = 6;
- //a[0]不用，堆的根结点是从1开始的
- int a[] = {0,3,17,8,7,16,20};
- HeapSort(a,n);
- for(int i = 1;i <= n;i++){
- printf("%d ",a[i]);
- }
- return 0;
- }
