动态查找树主要有二叉查找树（Binary Search Tree），平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree）， 红黑树 (Red-Black Tree )，
都是典型的二叉查找树结构，查找的时间复杂度 O(log2-N) 与树的深度相关，降低树的深度会提高查找效率，于是有了多路的B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。
关于这B树以及B树的两种变体，其实很好区分，
相比B树，B+树不维护关键字具体信息，不考虑value的存储，所有的我们需要的信息都在叶子节点上，
B*树在B+树的基础上增加了非叶子节点兄弟间的指针，在某些场景效率更高，
主要掌握B树的操作，也就掌握了这两种变体树的操作。
B树（B-tree），即B-树
注意B树也就是B-树，B树的英文是B-tree，很多地方直译成了B-树，其实B-树和B树是同一种树。
B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。
（1）B-Tree的接点结构
B-tree中，每个结点包含：
本结点所含关键字的个数；
指向父结点的指针；
关键字；
指向子结点的指针数组；
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#define Max l000 //结点中关键字的最大数目：Max=m-1，m是B-树的阶
#define Min 500 //非根结点中关键字的最小数目：Min=m/2-1
typedef
int
KeyType；
//KeyType关键字类型由用户定义
typedef
struct
node{
//结点定义中省略了指向关键字代表的记录的指针
int
keynum；
//结点中当前拥有的关键字的个数，keynum<<Max
KeyType key[Max+1]；
//关键字向量为key[1..keynum]，key[0]不用。
struct
node *parent；
//指向双亲结点
struct
node *son[Max+1]；
//指向孩子结点的指针数组，孩子指针向量为son[0..keynum]
}BTreeNode；
typedef
BTreeNode *BTree；
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（2）B-tree的特点
- B-tree是一种多路搜索树（并不是二叉的），对于一棵M阶树：
- 定义任意非叶子结点最多只有M个孩子；且M>2；
- 根结点的孩子数为[2, M]，除非根结点为叶子节点；
- 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
- 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
- 每个非叶子结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；
- 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
- 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
- 所有叶子结点位于同一层；
以M=3的一棵3阶B树为例：
一棵包含了24个英文字母的5阶B树的结构：
（3）B-tree高度与复杂度
B树的高度是
，而不是其它几种树的H=log2n，其中T为度数（每个节点包含的元素个数），即所谓的阶数，n为总元素个数或总关键字数。
B树查找的时间复杂度为O(Log2-N)，下面是参考推导过程：
其中M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有AVL树平衡的问题。
B-tree的基本操作
（1）查找操作
在B-树中查找给定关键字的方法类似于二叉排序树上的查找。不同的是在每个结点上确定向下查找的路径不一定是二路而是keynum+1路的。
对结点内的存放有序关键字序列的向量key[l..keynum] 用顺序查找或折半查找方法查找。若在某结点内找到待查的关键字K，则返回该结点的地址及K在key[1..keynum]中的位置；否则，确定K在某个key[i]和key[i+1]之间结点后，从磁盘中读son[i]所指的结点继续查找。直到在某结点中查找成功；或直至找到叶结点且叶结点中的查找仍不成功时，查找过程失败。
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BTreeNode *SearchBTree(BTree T，KeyType K，
int
*pos)
{
//在B-树T中查找关键字K，成功时返回找到的结点的地址及K在其中的位置*pos
//失败则返回NULL，且*pos无定义
int
i；
T→key[0]=k;
//设哨兵．下面用顺序查找key[1..keynum]
for
(i=T->keynum；K<t->key[i];i--)；
//从后向前找第1个小于等于K的关键字
if
(i>0 && T->key[i]==1){
//查找成功，返回T及i
*pos=i；
return
T；
}
//结点内查找失败，但T->key[i]<K<T->key[i+1]，下一个查找的结点应为
//son[i]
if
(!T->son[i])
//*T为叶子，在叶子中仍未找到K，则整个查找过程失败
return
NULL；
//查找插入关键字的位置，则应令*pos=i，并返回T，见后面的插入操作
DiskRead(T->son[i])；
//在磁盘上读人下一查找的树结点到内存中
return
SearchBTree(T->Son[i]，k，pos)；
//递归地继续查找于树T->son[i]
}
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（2）查找操作的时间开销
B-树上的查找有两个基本步骤：
1.在B-树中查找结点，该查找涉及读盘DiskRead操作，属外查找；
2.在结点内查找，该查找属内查找。
查找操作的时间为：
1.外查找的读盘次数不超过树高h，故其时间是O(h)；
2.内查找中，每个结点内的关键字数目keynum<m(m是B-树的阶数)，故其时间为O(nh)。
注意：
1.实际上外查找时间可能远远大于内查找时间。
2.B-树作为数据库文件时，打开文件之后就必须将根结点读人内存，而直至文件关闭之前，此根一直驻留在内存中，故查找时可以不计读入根结点的时间。
（3）插入操作
插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素，注意：如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作），而且当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层。
（4）删除操作
首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除，如果删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的某相近元素到父节点中，然后是移动之后的情况；如果没有，直接删除后，移动之后的情况。
B+树（B+-tree）
B+-tree是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。
（1）B树和B+树的对比
一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字；
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
（2）为什么说B+-tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
- B+-tree的磁盘读写代价更低
B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。
如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。
一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。
一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
- B+-tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
B*树（B*-tree）
B*-tree是B+-tree的变体，在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，
B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。
下图是一棵典型的B*树：
