R语言的矩阵运算

创建矩阵向量；矩阵加减，乘积；矩阵的逆；行列式的值；特征值与特征向量；QR分解；奇异值分解；广义逆；backsolve与fowardsolve函数；取矩阵的上下三角元素；向量化算子等。

1、创建向量

> x=c(1,2,3,4)
> x
[1] 1 2 3 4

2、创建矩阵

在R中可以用函数matrix()来创建一个矩阵。

> args(matrix)
function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL) 
NULL
> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=T)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 5 6
[3,] 7 8 9
[4,] 10 11 12

3、矩阵转置

A为m×n矩阵，求A’的转置矩阵在R中可用函数t()，例如：

> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> t(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 5 6
[3,] 7 8 9
[4,] 10 11 12
> x
[1] 1 2 3 4
> x=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
> x
 [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
> t(x)
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
> class(x)
[1] "numeric"
> class(t(x))
[1] "matrix"
> t(t(x))
 [,1]
 [1,] 1
 [2,] 2
 [3,] 3
 [4,] 4
 [5,] 5
 [6,] 6
 [7,] 7
 [8,] 8
 [9,] 9
[10,] 10
> y=t(t(x))
> t(t(y))
 [,1]
 [1,] 1
 [2,] 2
 [3,] 3
 [4,] 4
 [5,] 5
 [6,] 6
 [7,] 7
 [8,] 8
 [9,] 9
[10,] 10

4、矩阵相加减

> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A+B
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
> A-B
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0
[3,] 0 0 0 0

5、数与矩阵相乘

A为m×n矩阵，c>0，在R中求cA可用符号：“*”，例如：

> c=2
> c*A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24

6、矩阵相乘

A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，在R中求AB可用符号：“％*％”，例如：

> c=2
> c*A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> A%*%B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 70 158 246
[2,] 80 184 288
[3,] 90 210 330

若A为n×m矩阵，要得到A’B，可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。例如：

> A=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> t(A)%*%B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 30 70 110
[2,] 70 174 278
[3,] 110 278 446
> crossprod(A,B)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 30 70 110
[2,] 70 174 278
[3,] 110 278 446

矩阵Hadamard积：若A={aij}m×n, B={bij}m×n, 则矩阵的Hadamard积定义为：
A⊙B={aij bij }m×n,R中Hadamard积可以直接运用运算符“*”例如：

> A=matrix(1:16,4,4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
> B=A
> A*B
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 25 81 169
[2,] 4 36 100 196
[3,] 9 49 121 225
[4,] 16 64 144 256

7、矩阵对角元素相关运算

例如要取一个方阵的对角元素，

> A=matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
> diag(A)
[1] 1 6 11 16
> diag(diag(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 0 0
[2,] 0 6 0 0
[3,] 0 0 11 0
[4,] 0 0 0 16
> diag(3)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1

8、矩阵求逆

矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax = b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，例如：

> a=matrix(rnorm(16),4,4)
> a
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.71928674 0.4029735 0.3695724 -0.8464934
[2,] -1.06569049 0.4087710 0.8507104 0.5379580
[3,] 0.06346143 0.5549962 1.5030082 -1.2253291
[4,] 1.60231999 0.5628075 1.3339055 -1.6211637
> solve(a)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.3641840 0.2762240 -0.96264575 1.0094194
[2,] 3.4975449 1.2420380 -0.93560875 -0.7069340
[3,] -1.7608293 0.3153284 0.03335861 0.9988433
[4,] -0.5945571 0.9636571 -1.24881708 0.9572800
> solve(a)%*%a
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.000000e+00 -1.110223e-16 0.000000e+00 0.000000e+00
[2,] -6.661338e-16 1.000000e+00 -6.661338e-16 8.881784e-16
[3,] 0.000000e+00 2.220446e-16 1.000000e+00 -4.440892e-16
[4,] 0.000000e+00 -1.110223e-16 2.220446e-16 1.000000e+00

9、矩阵的特征值和特征向量

矩阵A的谱分解为A=UΛU’,其中Λ是由A的特征值组成的对角矩阵，U的列为A的特征值对应的特征向量，在R中可以用函数eigen()函数得到U和Λ，

> args(eigen)
function (x, symmetric, only.values = FALSE, EISPACK = FALSE) 
NULL
> A=diag(4)+1
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> A.eigen=eigen(A,symmetric=T)
> A.eigen
$values
[1] 5 1 1 1

$vectors
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.5 0.8660254 0.0000000 0.0000000
[2,] -0.5 -0.2886751 -0.5773503 -0.5773503
[3,] -0.5 -0.2886751 -0.2113249 0.7886751
[4,] -0.5 -0.2886751 0.7886751 -0.2113249

> A.eigen$vectors%*%diag(A.eigen$values)%*%t(A.eigen$vectors)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> t(A.eigen$vectors)%*%A.eigen$vectors
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.000000e+00 -5.551115e-17 -1.110223e-16 -9.714451e-17
[2,] -5.551115e-17 1.000000e+00 -5.551115e-17 -5.551115e-17
[3,] -1.110223e-16 -5.551115e-17 1.000000e+00 0.000000e+00
[4,] -9.714451e-17 -5.551115e-17 0.000000e+00 1.000000e+00

10、矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，即：A=P’P，其中P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解，例如：

> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> chol(A)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005 0.2886751
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 1.1180340
> t(chol(A))%*%chol(A)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> crossprod(chol(A),chol(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> prod(diag(chol(A))^2)
[1] 5
> det(A)
[1] 5
> chol2inv(chol(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8
> solve(A)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8

11、矩阵的奇异值分解

A为m×n矩阵，rank(A)= r, 可以分解为：A=UDV’,其中U’U=V’V=I。在R中可以用函数scd()进行奇异值分解，例如：

> A=matrix(1:18,3,6)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18
> svd(A)
$d
[1] 4.589453e+01 1.640705e+00 1.366522e-15

$u
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.5290354 0.74394551 0.4082483
[2,] -0.5760715 0.03840487 -0.8164966
[3,] -0.6231077 -0.66713577 0.4082483

$v
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.07736219 -0.71960032 -0.4076688
[2,] -0.19033085 -0.50893247 0.5745647
[3,] -0.30329950 -0.29826463 -0.0280114
[4,] -0.41626816 -0.08759679 0.2226621
[5,] -0.52923682 0.12307105 -0.6212052
[6,] -0.64220548 0.33373889 0.2596585

> A.svd=svd(A)
> A.svd$u%*%diag(A.svd$d)%*%t(A.svd$v)
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18
> t(A.svd$u)%*%A.svd$u
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.000000e+00 3.330669e-16 1.665335e-16
[2,] 3.330669e-16 1.000000e+00 5.551115e-17
[3,] 1.665335e-16 5.551115e-17 1.000000e+00
> t(A.svd$v)%*%A.svd$v
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.000000e+00 2.775558e-17 2.775558e-17
[2,] 2.775558e-17 1.000000e+00 -2.081668e-16
[3,] 2.775558e-17 -2.081668e-16 1.000000e+00

12、矩阵QR值分解

A为m×n矩阵可以进行QR分解，A=QR，其中：Q’Q＝I，在R中可以用函数qr()进行QR分解，例如：

> A=matrix(1:16,4,4)
> qr(A)
$qr
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -5.4772256 -12.7801930 -2.008316e+01 -2.738613e+01
[2,] 0.3651484 -3.2659863 -6.531973e+00 -9.797959e+00
[3,] 0.5477226 -0.3781696 1.601186e-15 2.217027e-15
[4,] 0.7302967 -0.9124744 -5.547002e-01 -1.478018e-15

$rank
[1] 2

$qraux
[1] 1.182574e+00 1.156135e+00 1.832050e+00 1.478018e-15

$pivot
[1] 1 2 3 4

attr(,"class")
[1] "qr"

rank项返回矩阵的秩，qr项包含了矩阵Q和R的信息，要得到矩阵Q和R，可以用函数qr.Q()和qr.R()作用qr()的返回结果，例如：

> qr.R(qr(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -5.477226 -12.780193 -2.008316e+01 -2.738613e+01
[2,] 0.000000 -3.265986 -6.531973e+00 -9.797959e+00
[3,] 0.000000 0.000000 1.601186e-15 2.217027e-15
[4,] 0.000000 0.000000 0.000000e+00 -1.478018e-15
> qr.Q(qr(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.1825742 -8.164966e-01 -0.4000874 -0.37407225
[2,] -0.3651484 -4.082483e-01 0.2546329 0.79697056
[3,] -0.5477226 -1.665335e-16 0.6909965 -0.47172438
[4,] -0.7302967 4.082483e-01 -0.5455419 0.04882607
> qr.Q(qr(A))%*%qr.R(qr(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
> t(qr.Q(qr(A)))%*%qr.Q(qr(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.000000e+00 -5.551115e-17 0.000000e+00 2.081668e-17
[2,] -5.551115e-17 1.000000e+00 -2.775558e-17 -6.938894e-17
[3,] 0.000000e+00 -2.775558e-17 1.000000e+00 2.775558e-17
[4,] 2.081668e-17 -6.938894e-17 2.775558e-17 1.000000e+00
> qr.X(qr(A))
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16

13、矩阵的广义逆

n×m矩阵A+称为m×n矩阵A的Moore-Penrose逆，如果它满足下列条件：

① A A+A=A；②A+A A+= A+；③(A A+)H=A A+；④(A+A)H= A+A
在R的MASS包中的函数ginv()可计算矩阵A的Moore-Penrose逆，例如：

14 矩阵Kronecker积

n×m矩阵A与h×k矩阵B的kronecker积为一个nh×mk维矩阵，
在R中kronecker积可以用函数kronecker()来计算，例如：

> A=matrix(1:4,2,2)
> B=matrix(rep(1,4),2,2)
> A
 [,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4
> B
 [,1] [,2]
[1,] 1 1
[2,] 1 1
> kronecker(A,B)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 3 3
[2,] 1 1 3 3
[3,] 2 2 4 4
[4,] 2 2 4 4

15 矩阵的维数

在R中很容易得到一个矩阵的维数，函数dim()将返回一个矩阵的维数，nrow()返回行数，ncol()返回列数，例如：

> A=matrix(1:12,3,4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> nrow(A)
[1] 3
> ncol(A)
[1] 4

16 矩阵的行和、列和、行平均与列平均

在R中很容易求得一个矩阵的各行的和、平均数与列的和、平均数，例如：

> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> rowSums(A)
[1] 22 26 30
> rowMeans(A)
[1] 5.5 6.5 7.5
> colSums(A)
[1] 6 15 24 33
> colMeans(A)
[1] 2 5 8 11

上述关于矩阵行和列的操作，还可以使用apply()函数实现。
> args(apply)
function (X, MARGIN, FUN, …)
其中：x为矩阵，MARGIN用来指定是对行运算还是对列运算，MARGIN＝1表示对行运算，MARGIN＝2表示对列运算，FUN用来指定运算函数, …用来给定FUN中需要的其它的参数，例如：
> apply(A,1,sum)
[1] 22 26 30
> apply(A,1,mean)
[1] 5.5 6.5 7.5
> apply(A,2,sum)
[1] 6 15 24 33
> apply(A,2,mean)
[1] 2 5 8 11
apply()函数功能强大，我们可以对矩阵的行或者列进行其它运算，例如：
计算每一列的方差
> A=matrix(rnorm(100),20,5)
> apply(A,2,var)
[1] 0.4641787 1.4331070 0.3186012 1.3042711 0.5238485
> apply(A,2,function(x,a)x*a,a=2)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
注意：apply(A,2,function(x,a)x*a,a=2)与A*2效果相同，此处旨在说明如何应用alpply函数。

17 矩阵X’X的逆

在统计计算中，我们常常需要计算这样矩阵的逆，如OLS估计中求系数矩阵。R中的包“strucchange”提供了有效的计算方法。
> args(solveCrossprod)
function (X, method = c(“qr”, “chol”, “solve”))
其中：method指定求逆方法，选用“qr”效率最高，选用“chol”精度最高，选用“slove”与slove(crossprod(x,x))效果相同，例如：
> A=matrix(rnorm(16),4,4)
> solveCrossprod(A,method=”qr”)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
[2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
[3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
[4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
> solveCrossprod(A,method=”chol”)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
[2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
[3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
[4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
> solveCrossprod(A,method=”solve”)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
[2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
[3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
[4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
> solve(crossprod(A,A))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
[2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
[3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
[4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627

18 取矩阵的上、下三角部分

在R中，我们可以很方便的取到一个矩阵的上、下三角部分的元素，函数lower.tri()和函数upper.tri()提供了有效的方法。
> args(lower.tri)
function (x, diag = FALSE)
函数将返回一个逻辑值矩阵，其中下三角部分为真，上三角部分为假，选项diag为真时包含对角元素，为假时不包含对角元素。upper.tri()的效果与之孑然相反。例如：
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
> lower.tri(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] FALSE FALSE FALSE FALSE
[2,] TRUE FALSE FALSE FALSE
[3,] TRUE TRUE FALSE FALSE
[4,] TRUE TRUE TRUE FALSE
> lower.tri(A,diag=T)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] TRUE FALSE FALSE FALSE
[2,] TRUE TRUE FALSE FALSE
[3,] TRUE TRUE TRUE FALSE
[4,] TRUE TRUE TRUE TRUE
> upper.tri(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] FALSE TRUE TRUE TRUE
[2,] FALSE FALSE TRUE TRUE
[3,] FALSE FALSE FALSE TRUE
[4,] FALSE FALSE FALSE FALSE
> upper.tri(A,diag=T)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[2,] FALSE TRUE TRUE TRUE
[3,] FALSE FALSE TRUE TRUE
[4,] FALSE FALSE FALSE TRUE
> A[lower.tri(A)]=0
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 0 6 10 14
[3,] 0 0 11 15
[4,] 0 0 0 16
> A[upper.tri(A)]=0
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 0 0
[2,] 2 6 0 0
[3,] 3 7 11 0
[4,] 4 8 12 16

19 backsolve&fowardsolve函数

这两个函数用于解特殊线性方程组，其特殊之处在于系数矩阵为上或下三角。
> args(backsolve)
function (r, x, k = ncol(r), upper.tri = TRUE, transpose = FALSE)
> args(forwardsolve)
function (l, x, k = ncol(l), upper.tri = FALSE, transpose = FALSE)
其中：r或者l为n×n维三角矩阵，x为n×1维向量，对给定不同的upper.tri和transpose的值，方程的形式不同
对于函数backsolve()而言，
例如：
 > A=matrix(1:9,3,3)
> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> x=c(1,2,3)
> x
[1] 1 2 3
> B=A
> B[upper.tri(B)]=0
> B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 5 0
[3,] 3 6 9
> C=A
> C[lower.tri(C)]=0
> C
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 0 5 8
[3,] 0 0 9
> backsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=T)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
> solve(t(C),x)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
> backsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=F)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
> solve(C,x)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
> backsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=T)
[1] 1.111307e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
> solve(t(B),x)
[1] 1.110223e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
> backsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=F)
[1] 1 0 0
> solve(B,x)
[1] 1.000000e+00 -1.540744e-33 -1.850372e-17
对于函数forwardsolve()而言，
例如：
 > A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 5 0
[3,] 3 6 9
> C
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 0 5 8
[3,] 0 0 9
> x
[1] 1 2 3
> forwardsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=T)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
> solve(t(C),x)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
> forwardsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=F)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
> solve(C,x)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
> forwardsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=T)
[1] 1.111307e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
> solve(t(B),x)
[1] 1.110223e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
> forwardsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=F)
[1] 1 0 0
> solve(B,x)
[1] 1.000000e+00 -1.540744e-33 -1.850372e-17

20 row()与col()函数

在R中定义了的这两个函数用于取矩阵元素的行或列下标矩阵，例如矩阵A={aij}m×n，
row()函数将返回一个与矩阵A有相同维数的矩阵，该矩阵的第i行第j列元素为i，函数col()类似。例如：
> x=matrix(1:12,3,4)
> row(x)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 1 1
[2,] 2 2 2 2
[3,] 3 3 3 3
> col(x)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 1 2 3 4
[3,] 1 2 3 4
这两个函数同样可以用于取一个矩阵的上下三角矩阵，例如：
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> x[row(x)<col(x)]=0
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 0 0
[2,] 2 5 0 0
[3,] 3 6 9 0
> x=matrix(1:12,3,4)
> x[row(x)>col(x)]=0
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 0 5 8 11
[3,] 0 0 9 12

21 行列式的值

在R中，函数det(x)将计算方阵x的行列式的值，例如：
> x=matrix(rnorm(16),4,4)
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.0736375 0.2809563 -1.5796854 0.51810378
[2,] -1.6229898 -0.4175977 1.2038194 -0.06394986
[3,] -0.3989073 -0.8368334 -0.6374909 -0.23657088
[4,] 1.9413061 0.8338065 -1.5877162 -1.30568465
> det(x)
[1] 5.717667

22 向量化算子

在R中可以很容易的实现向量化算子，例如：
vec<-function (x){
 t(t(as.vector(x)))
}
vech<-function (x){
 t(x[lower.tri(x,diag=T)])
}
> x=matrix(1:12,3,4)
> x
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> vec(x)
 [,1]
[1,] 1
[2,] 2
[3,] 3
[4,] 4
[5,] 5
[6,] 6
[7,] 7
[8,] 8
[9,] 9
[10,] 10
[11,] 11
[12,] 12
> vech(x)
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 2 3 5 6 9

23 时间序列的滞后值

在时间序列分析中，我们常常要用到一个序列的滞后序列，R中的包“fMultivar”中的函数tslag()提供了这个功能。
 > args(tslag)
function (x, k = 1, trim = FALSE)
其中：x为一个向量，k指定滞后阶数，可以是一个自然数列，若trim为假，则返回序列与原序列长度相同，但含有NA值；若trim项为真，则返回序列中不含有NA值，例如：
> x=1:20
> tslag(x,1:4,trim=F)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] NA NA NA NA
[2,] 1 NA NA NA
[3,] 2 1 NA NA
[4,] 3 2 1 NA
[5,] 4 3 2 1
[6,] 5 4 3 2
[7,] 6 5 4 3
[8,] 7 6 5 4
[9,] 8 7 6 5
[10,] 9 8 7 6
[11,] 10 9 8 7
[12,] 11 10 9 8
[13,] 12 11 10 9
[14,] 13 12 11 10
[15,] 14 13 12 11
[16,] 15 14 13 12
[17,] 16 15 14 13
[18,] 17 16 15 14
[19,] 18 17 16 15
[20,] 19 18 17 16
> tslag(x,1:4,trim=T)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 5 4 3 2
[3,] 6 5 4 3
[4,] 7 6 5 4
[5,] 8 7 6 5
[6,] 9 8 7 6
[7,] 10 9 8 7
[8,] 11 10 9 8
[9,] 12 11 10 9
[10,] 13 12 11 10
[11,] 14 13 12 11
[12,] 15 14 13 12
[13,] 16 15 14 13
[14,] 17 16 15 14
[15,] 18 17 16 15
[16,] 19 18 17 16