类斐波那契数列的奇妙性质

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类斐波那契数列的奇妙性质

橘子红了呐 2017-11-08 03:15:00 浏览764
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1、1、2、3、5、8、13、21、……。这个数列称为斐波那契数列(Fibonacci Sequence)。

它有个奇妙的性质,记FN为斐波那契数列的第N项,则当N比较大的时候

FN/FN+1≈0.618

 

斐波那契数列有两个常见的通项公式(具体的推导过程就忽略了)

1、

FN=FN-1+FN-2(N>2),F1=1,F2=2

 

2、

clip_image002[4]

 

这个数列的前两项F1=1,F2=1才称为斐波那契数列,如果这个数列的前两项是其他数字(正数),并且还有FN=FN-1+FN-2(N>2)的递推关系,那么这样的数列,我称之为类斐波那契数列,它是否还有当N比较大的时候,FN/FN+1≈0.618这个奇妙的性质呢?

 

答案是肯定的,比方说前两项是2和7,这个数列就是

2、7、9、16、25、41、66、……

F16=5024,F17=8129,F16/F17=0.618034199

这不是巧合,你换什么数字(正数)都一样

 

下面就给出该性质的证明

假设数列为FN=FN-1+FN-2(N>2),F1=A,F2=B,(A>0,B>0),证明:

clip_image002[8]

 

1、利用特征方程求出该数列的通项公式

∵FN=FN-1+FN-2

∴特征方程为X2=X+1

∴ clip_image002[10]

∴该数列的通项公式为

clip_image002[12],其中C1和C2是常数,可以利用F1=A,F2=B求出。不过和本证明没啥太大的关系,没必要求出

 

题外话:想当年在高中的时候,费了九牛二虎之力求出斐波那契数列的通项公式,欢欣雀跃了很久。现在却发现在线性代数里用特征方程很简单的就求出了通项公式,真是悲哀啊。回头看看,有些年的高考数学压轴题,其实用大学里的数学知识去求解是很简单的。然而在高考中,却要使考生费九牛二虎之力,这算不算一种悲哀呢。再回头看看,有些小学奥数班的内容,用高中的知识很容易解决,但是非得把小学生绕得云里雾里,这算不算是一种悲哀呢

 

2、利用通项公式求出比值的极限

clip_image002[14]

clip_image002[16]

clip_image002[18]

得证

 

这就证明了类斐波那契数列也有当N比较大的时候,FN/FN+1≈0.618这个奇妙的性质

 

玩个游戏吧,现在你想两个正数,然后相加得到第三个数,第二个数和第三个数相加得到第四个数,第三个数和第四个数相加得到第五个数,以此类推。

然后告诉我第十个数是多少?是280?那我告诉你第十一个数是453。你仅仅告诉我第十个数,没有透露任何其他消息,你没透露第九个数,我是怎么知道第十一个数呢?这不是巧合,而是通过计算而来的,你想明白了么?不明白的话,看看上面的证明,呵呵。



    本文转自万仓一黍博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/grenet/archive/2013/04/30/3051984.html,如需转载请自行联系原作者

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