最小二乘法小结

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最小二乘法小结

文艺小青年 2017-11-15 00:05:00 浏览986
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 最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习,尤其是回归模型中,经常可以看到最小二乘法的身影,这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。

1.最小二乘法的原理与要解决的问题 

    最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的,原理的一般形式很简单,当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式:

      目标函数 = Σ(观测值-理论值)2

    观测值就是我们的多组样本,理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数,我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子,比如我们有m个只有一个特征的样本:

    (x(1),y(1)),(x(2),y(2),...(x(m),y(m))(x(1),y(1)),(x(2),y(2),...(x(m),y(m))

    样本采用下面的拟合函数:

    hθ(x)=θ0+θ1xhθ(x)=θ0+θ1x

    这样我们的样本有一个特征x,对应的拟合函数有两个参数θ0θ1θ0和θ1需要求出。

    我们的目标函数为:

    J(θ0,θ1)=i=1m(y(i)hθ(x(i))2=i=1m(y(i)θ0θ1x(i))2J(θ0,θ1)=∑i=1m(y(i)−hθ(x(i))2=∑i=1m(y(i)−θ0−θ1x(i))2 

    用最小二乘法做什么呢,使J(θ0,θ1)J(θ0,θ1)最小,求出使J(θ0,θ1)J(θ0,θ1)最小时的θ0θ1θ0和θ1,这样拟合函数就得出了。

    那么,最小二乘法怎么才能使J(θ0,θ1)J(θ0,θ1)最小呢?

2.最小二乘法的代数法解法

    上面提到要使J(θ0,θ1)J(θ0,θ1)最小,方法就是对θ0θ1θ0和θ1分别来求偏导数,令偏导数为0,得到一个关于θ0θ1θ0和θ1的二元方程组。求解这个二元方程组,就可以得到θ0θ1θ0和θ1的值。下面我们具体看看过程。

    J(θ0,θ1)θ0J(θ0,θ1)对θ0求导,得到如下方程:

    i=1m(y(i)θ0θ1x(i))=0∑i=1m(y(i)−θ0−θ1x(i))=0                                  ①

    J(θ0,θ1)θ1J(θ0,θ1)对θ1求导,得到如下方程:

    i=1m(y(i)θ0θ1x(i))x(i)=0∑i=1m(y(i)−θ0−θ1x(i))x(i)=0         ②

    ①和②组成一个二元一次方程组,容易求出θ0θ1θ0和θ1的值:

    

    θ0=i=1m(x(i))2i=1my(i)i=1mx(i)i=1mx(i)y(i)/mi=1m(x(i))2(i=1mx(i))2θ0=∑i=1m(x(i))2∑i=1my(i)−∑i=1mx(i)∑i=1mx(i)y(i)/m∑i=1m(x(i))2−(∑i=1mx(i))2

 

    θ1=mi=1mx(i)y(i)i=1mx(i)i=1my(i)/mi=1m(x(i))2(i=1mx(i))2θ1=m∑i=1mx(i)y(i)−∑i=1mx(i)∑i=1my(i)/m∑i=1m(x(i))2−(∑i=1mx(i))2

 

    这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。

    拟合函数表示为 hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 其中θiθi (i = 0,1,2... n)为模型参数,xixi (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化,我们增加一个特征x0=1x0=1 ,这样拟合函数表示为:

    hθ(x0,x1,...xn)=i=0nθixihθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixi

    损失函数表示为:

           J(θ0,θ1...,θn)=j=1m(hθ(x(j)0),x(j)1,...x(j)n))y(j)))2=j=1m(i=0nθix(j)iy(j))2J(θ0,θ1...,θn)=∑j=1m(hθ(x0(j)),x1(j),...xn(j)))−y(j)))2=∑j=1m(∑i=0nθixi(j)−y(j))2

    利用损失函数分别对θiθi(i=0,1,...n)求导,并令导数为0可得:

    j=0m(i=0nθix(j)iyj)xji∑j=0m(∑i=0nθixi(j)−yj)xij = 0   (i=0,1,...n)

    这样我们得到一个N+1元一次方程组,这个方程组有N+1个方程,求解这个方程,就可以得到所有的N+1个未知的θθ

    

    这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样,都是用损失函数对各个参数求导取0,然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。

 

3.最小二乘法的矩阵法解法

    矩阵法比代数法要简洁,且矩阵运算可以取代循环,所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。

    这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。

    

    假设函数hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn的矩阵表达方式为:

     hθ(x)=Xθhθ(x)=Xθ 

    其中, 假设函数hθ(X)hθ(X)为mx1的向量,θθ为nx1的向量,里面有n个代数法的模型参数。XX为mxn维的矩阵。m代表样本的个数,n代表样本的特征数。

    损失函数定义为J(θ)=12(XθY)T(XθY)J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)

    其中YY是样本的输出向量,维度为mx1. 1212在这主要是为了求导后系数为1,方便计算。

    根据最小二乘法的原理,我们要对这个损失函数对θθ向量求导取0。结果如下式:

    θJ(θ)=XT(XθY)=0∂∂θJ(θ)=XT(Xθ−Y)=0

    这里面用到了矩阵求导链式法则,和两个矩阵求导的公式。

      公式1:X(XXT)=2X∂∂X(XXT)=2X

      公式2:θ(Xθ)=XT∂∂θ(Xθ)=XT

    对上述求导等式整理后可得:

    XTXθ=XTYXTXθ=XTY

    两边同时左乘(XTX)1(XTX)−1可得:

    θ=(XTX)1XTYθ=(XTX)−1XTY

    这样我们就一下子求出了θθ向量表达式的公式,免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用θ=(XTX)1XTYθ=(XTX)−1XTY算出θθ

 

4.最小二乘法的局限性和适用场景  

    从上面可以看出,最小二乘法适用简洁高效,比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

    首先,最小二乘法需要计算XTXXTX的逆矩阵,有可能它的逆矩阵不存在,这样就没有办法直接用最小二乘法了,此时梯度下降法仍然可以使用。当然,我们可以通过对样本数据进行整理,去掉冗余特征。让XTXXTX的行列式不为0,然后继续使用最小二乘法。

    第二,当样本特征n非常的大的时候,计算XTXXTX的逆矩阵是一个非常耗时的工作(nxn的矩阵求逆),甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢?如果你没有很多的分布式大数据计算资源,建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。

    第三,如果拟合函数不是线性的,这时无法使用最小二乘法,需要通过一些技巧转化为线性才能使用,此时梯度下降仍然可以用。

    第四,讲一些特殊情况。当样本量m很少,小于特征数n的时候,这时拟合方程是欠定的,常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征说n的时候,用方程组求解就可以了。当m大于n时,拟合方程是超定的,也就是我们常用与最小二乘法的场景了。

 本文转自刘建平Pinard博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/pinard/p/5976811.html,如需转载请自行联系原作者


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