文本主题模型之非负矩阵分解(NMF)

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文本主题模型之非负矩阵分解(NMF)

文艺小青年 2017-11-22 22:29:00 浏览2176
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1. 非负矩阵分解(NMF)概述

    非负矩阵分解(non-negative matrix factorization,以下简称NMF)是一种非常常用的矩阵分解方法,它可以适用于很多领域,比如图像特征识别,语音识别等,这里我们会主要关注于它在文本主题模型里的运用。

    回顾奇异值分解,它会将一个矩阵分解为三个矩阵:

A=UΣVTA=UΣVT

    如果降维到kk维,则表达式为:

Am×nUm×kΣk×kVTk×nAm×n≈Um×kΣk×kVk×nT

    但是NMF虽然也是矩阵分解,它却使用了不同的思路,它的目标是期望将矩阵分解为两个矩阵:

Am×nWm×kHk×nAm×n≈Wm×kHk×n

    分解成两个矩阵是不是一定就比SVD省时呢?这里的理论不深究,但是NMF的确比SVD快。不过如果大家读过我写的矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用,就会发现里面的FunkSVD所用的算法思路和NMF基本是一致的,只不过FunkSVD聚焦于推荐算法而已。

    那么如何可以找到这样的矩阵呢?这就涉及到NMF的优化思路了。

2. NMF的优化思路

     NMF期望找到这样的两个矩阵W,HW,H,使WHWH的矩阵乘积得到的矩阵对应的每个位置的值和原矩阵AA对应位置的值相比误差尽可能的小。用数学的语言表示就是:

argminW,H12i,j(Aij(WH)ij)2argmin⏟W,H12∑i,j(Aij−(WH)ij)2

    如果完全用矩阵表示,则为:

argminW,H12||AWH||2Froargmin⏟W,H12||A−WH||Fro2

    其中,||||Fro||∗||Fro为Frobenius范数。

    当然对于这个式子,我们也可以加上L1和L2的正则化项如下:

    

argminW,H12||AWH||2Fro+αρ||W||1+αρ||H||1+α(1ρ)2||W||2Fro+α(1ρ)2||H||2Froargmin⏟W,H12||A−WH||Fro2+αρ||W||1+αρ||H||1+α(1−ρ)2||W||Fro2+α(1−ρ)2||H||Fro2

    其中,αα为L1&L2正则化参数,而ρρ为L1正则化占总正则化项的比例。||||1||∗||1为L1范数。

    我们要求解的有mk+knm∗k+k∗n个参数。参数不少,常用的迭代方法有梯度下降法和拟牛顿法。不过如果我们决定加上了L1正则化的话就不能用梯度下降和拟牛顿法了。此时可以用坐标轴下降法或者最小角回归法来求解。scikit-learn中NMF的库目前是使用坐标轴下降法来求解的,,即在迭代时,一次固定mk+kn1m∗k+k∗n−1个参数,仅仅最优化一个参数。这里对优化求W,HW,H的过程就不再写了,如果大家对坐标轴下降法不熟悉,参看之前写的这一篇Lasso回归算法: 坐标轴下降法与最小角回归法小结

3. NMF 用于文本主题模型

    回到我们本文的主题,NMF矩阵分解如何运用到我们的主题模型呢?

    此时NMF可以这样解释:我们输入的有m个文本,n个词,而AijAij对应第i个文本的第j个词的特征值,这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数,一般要比文本数少。NMF分解后,WikWik对应第i个文本的和第k个主题的概率相关度,而HkjHkj对应第j个词和第k个主题的概率相关度。  

    当然也可以反过来去解释:我们输入的有m个词,n个文本,而AijAij对应第i个词的第j个文本的特征值,这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数,一般要比文本数少。NMF分解后,WikWik对应第i个词的和第k个主题的概率相关度,而HkjHkj对应第j个文本和第k个主题的概率相关度。

    注意到这里我们使用的是"概率相关度",这是因为我们使用的是"非负"的矩阵分解,这样我们的W,HW,H矩阵值的大小可以用概率值的角度去看。从而可以得到文本和主题的概率分布关系。第二种解释用一个图来表示如下:

     和LSI相比,我们不光得到了文本和主题的关系,还得到了直观的概率解释,同时分解速度也不错。当然NMF由于是两个矩阵,相比LSI的三矩阵,NMF不能解决词和词义的相关度问题。这是一个小小的代价。

4. scikit-learn NMF的使用

    在 scikit-learn中,NMF在sklearn.decomposition.NMF包中,它支持L1和L2的正则化,而W,HW,H的求解使用坐标轴下降法来实现。

    NMF需要注意的参数有:

    1) n_components:即我们的主题数k, 选择k值需要一些对于要分析文本主题大概的先验知识。可以多选择几组k的值进行NMF,然后对结果人为的进行一些验证。

    2) init : 用于帮我们选择W,HW,H迭代初值的算法, 默认是None,即自动选择值,不使用选择初值的算法。如果我们对收敛速度不满意,才需要关注这个值,从scikit-learn提供的算法中选择一个合适的初值选取算法。

    3)alpha: 即我们第三节中的正则化参数αα,需要调参。开始建议选择一个比较小的值,如果发现效果不好在调参增大。

    4) l1_ratio: 即我们第三节中的正则化参数ρρ,L1正则化的比例,仅在α>0α>0时有效,需要调参。开始建议不使用,即用默认值0, 如果对L2的正则化不满意再加上L1正则化。

    从上面可见,使用NMF的关键参数在于主题数的选择n_components和正则化的两个超参数α,ρα,ρ

    此外,WW矩阵一般在调用fit_transform方法的返回值里获得,而HH矩阵则保存在NMF类的components_成员中。

    下面我们给一个例子,我们有4个词,5个文本组成的矩阵,需要找出这些文本和隐含的两个主题之间的关系。代码如下:

import numpy as np
X = np.array([[1,1,5,2,3], [0,6,2,1,1], [3, 4,0,3,1], [4, 1,5,6,3]])
from sklearn.decomposition import NMF
model = NMF(n_components=2, alpha=0.01)

    现在我们看看分解得到的W,HW,H

W = model.fit_transform(X)
H = model.components_
print W
print H

    结果如下:

[[ 1.67371185  0.02013017]
 [ 0.40564826  2.17004352]
 [ 0.77627836  1.5179425 ]
 [ 2.66991709  0.00940262]]
[[ 1.32014421  0.40901559  2.10322743  1.99087019  1.29852389]
 [ 0.25859086  2.59911791  0.00488947  0.37089193  0.14622829]]

    从结果可以看出, 第1,3,4,5个文本和第一个隐含主题更相关,而第二个文本与第二个隐含主题更加相关。如果需要下一个结论,我们可以说,第1,3,4,5个文本属于第一个隐含主题,而第二个问题属于第2个隐含主题。

5. NMF的其他应用

    虽然我们是在主题模型里介绍的NMF,但实际上NMF的适用领域很广,除了我们上面说的图像处理,语音处理,还包括信号处理与医药工程等,是一个普适的方法。在这些领域使用NMF的关键在于将NMF套入一个合适的模型,使得W,HW,H矩阵都可以有明确的意义。这里给一个图展示NMF在做语音处理时的情形:

 

6. NMF主题模型小结

    NMF作为一个漂亮的矩阵分解方法,它可以很好的用于主题模型,并且使主题的结果有基于概率分布的解释性。但是NMF以及它的变种pLSA虽然可以从概率的角度解释了主题模型,却都只能对训练样本中的文本进行主题识别,而对不在样本中的文本是无法识别其主题的。根本原因在于NMF与pLSA这类主题模型方法没有考虑主题概率分布的先验知识,比如文本中出现体育主题的概率肯定比哲学主题的概率要高,这点来源于我们的先验知识,但是无法告诉NMF主题模型。而LDA主题模型则考虑到了这一问题,目前来说,绝大多数的文本主题模型都是使用LDA以及其变体。下一篇我们就来讨论LDA主题模型。

 本文转自刘建平Pinard博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/pinard/p/6812011.html,如需转载请自行联系原作者

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