[LeetCode]4.Median of Two Sorted Arrays

题目

Median of Two Sorted Arrays Total Accepted: 4990 Total Submissions: 30805My Submissions
There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays.

The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

题意

有两个大小为m和n的已经排序的数组A，B。找到两个已排序的数组的中位数。总的运行时间复杂度应为O（log（M + N））。

思路一

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元素中第 k 大的元素。O(m + n) 的解法比较直观，直接 merge 两个数组，然后求第 k 大的元素。不过我们仅仅需要第 k 大的元素，是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器，记录当前已经找到第 m 大的元素了。同时我们使用两个指针 pA 和 pB，分别指向 A 和 B 数组的第一个元素，使用类似于 merge sort 的原理，如果数组 A 当前元素小，那么 pA++，同时 m++；如果数组 B 当前元素小，那么 pB++，同时 m++。最终当 m 等于 k 的时候，就得到了我们的答案，O(k)时间，O(1) 空间。但是，当 k 很接近 m + n 的时候，这个方法还是 O(m + n) 的。

代码一

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    *   日期：2015-04-03
    *   作者：SJF0115
    *   题目: 两个排序数组的中位数
    *   来源：百度
    *   博客：
    ------------------------------------*/
    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <climits>
    using namespace std;

    double MedianSortArray(vector<int> num1,vector<int> num2){
        int size1 = num1.size();
        int size2 = num2.size();
        if(size1 == 0 && size2 == 0){
            return -1;
        }//if
        // 中位数
        int mid = (size1 + size2 + 1) / 2 + 1;
        // mid1 mid2记录中间两位
        int a,b,mid1 = 0,mid2 = 0;
        int i = 0,j = 0,count = 0;
        // 寻找中位数
        while(i < size1 || j < size2){
            ++count;
            a = i < size1 ? num1[i] : INT_MAX;
            b = j < size2 ? num2[j] : INT_MAX;
            mid1 = mid2;
            if(a < b){
                ++i;
                mid2 = a;
            }//if
            else{
                ++j;
                mid2 = b;
            }//else
            if(count == mid){
                // 奇数
                if((size1 + size2) & 1){
                    return mid1;
                }
                return (mid1 + mid2) / 2.0;
            }//if
        }//while
    }

    int main(){
        vector<int> num1 = {1,4,8};
        vector<int> num2 = {3,5};
        cout<<MedianSortArray(num1,num2)<<endl;
        return 0;
    }

思路二

有没有更好的方案呢？我们可以考虑从 k 入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第 k 大元素之前的元素，那么我们需要进行 k 次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于 A 和 B 都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。假设 A 和 B 的元素个数都大于 k/2，我们将 A 的第 k/2 个元素（即 A[k/2-1]）和 B 的第 k/2个元素（即 B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设 k 为偶数，所得到的结论对于 k 是奇数也是成立的）：

A[k/2-1] == B[k/2-1]
A[k/2-1] > B[k/2-1]
A[k/2-1] < B[k/2-1]

如果 A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着 A[0] 到 A[k/2-1 的肯定在 A [ B 的 top k 元素的范围内，换句话说，A[k/2-1 不可能大于 A [ B 的第 k 大元素。留给读者证明。因此，我们可以放心的删除 A 数组的这 k/2 个元素。同理，当 A[k/2-1] > B[k/2-1] 时，可以删除 B 数组的 k/2 个元素。当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，说明找到了第 k 大的元素，直接返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]即可。因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？

当 A 或 B 是空时，直接返回 B[k-1] 或 A[k-1]；
当 k=1 是，返回 min(A[0], B[0])；
当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]

代码

/*-------------------------------------------------------------------
*   日期：2014-01-16
*   作者：SJF0115
*   题目: 4.Median of Two Sorted Arrays
*   来源：http://oj.leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/
*   结果：AC
*   来源：LeetCode
*   总结：
--------------------------------------------------------------------*/
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

class Solution {
public:
    //求中位数
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
        int total = (m + n);
        //判断奇偶性
        if(total &0x1){
            return find_kth(A,m,B,n,total/2+1);
        }
        else{
            double a = find_kth(A,m,B,n,total/2);
            double b = find_kth(A,m,B,n,total/2+1);
            return (a + b) / 2;
        }
    }
private:
    //求第k个元素
    static double find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k) {
        if (m > n) {
            return find_kth(B, n, A, m, k);
        }
        if (m == 0) {
            return B[k - 1];
        }
        if (k == 1) {
            return min(A[0], B[0]);
        }
        //++
        int pa = min(k / 2, m);
        int pb = k - pa;
        //删除A数组的pa个
        if (A[pa - 1] < B[pb - 1]) {
            return find_kth(A + pa, m - pa, B, n, k - pa);
        }
        //删除B数组的pb个
        else if (A[pa - 1] > B[pb - 1]) {
            return find_kth(A, m, B + pb, n - pb, k - pb);
        }
        //A[pa - 1] = B[pb - 1] 则A[pa - 1]，B[pb - 1]为第k个
        else {
            return A[pa - 1];
        }
    }
};
int main() {
    double result;
    Solution solution;
    //int A[] = {1,4,6,7,9,17};
    //int B[] = {2,3,5,8,11,14};
    int A[] = {};
    int B[] = {1};
    result = solution.findMedianSortedArrays(A,0,B,1);
    printf("Result:%lf\n",result);
    return 0;
}