面试题9:斐波那契数列

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面试题9:斐波那契数列

嗯哼9925 2017-12-19 13:56:00 浏览746
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题目1:写一个函数,输入n,其斐波那契数列的第n项。

斐波那契数列的定义如下:

  • F_0=0
  • F_1=1
  • F_n = F_{n-1}+ F_{n-2}

方法1:使用递归解,时间复杂度是n的指数级别

斐波那契数列的定义就是递归的,我们根据定义可以很简单的写出代码。代码如下:

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但是这样的方法存在明显的不足,该方法的时间复杂度是n的指数级别,随着n的增大,运算时间不可想象,比如说f(50)就要很久。时间复杂度之所以这么大,是因此计算过程中存在着重复计算。以f(10)为例,f(10)=f(9)+f(8),f(9)=f(8)+f(7)。其中的f(8)就是重复计算的。

方法2:开辟一个长度为(n+1)的数组,时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)

前面我们计算斐波那契数列是从后往前计算的,就是计算f(n)=f(n-1)+f(n-2),然后再递归计算f(n-1),又是从后往前计算,就是因为这样的从后往前计算,所以才会有很多的重复计算。那么我们可以逆转思路,考虑从前往后计算。比如我们要计算f(4),那么我们就计算f(0)、f(1)、f(2)、f(3),将这些计算出来的值保存在一个数组arry[n+1]上,这样计算斐波那契数列就相当于是一个填表的过程。时间复杂度大大降低。代码实例如下:

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注意点:

  1. 因为不知道要求的f(n)中的n有多大,因此不能事先开辟一个数组,需要动态创建数组。而动态数组与数组变量不同,动态分配的数组将一直存在,直到程序显式释放它为止。普通的数组变量,只要出了数组的作用于,其内存会自动释放。
  2. c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。delete [] arry;该语句回收了arry所指向的数组,把相应的内存返回给自由存储区。在关键字delete和指针arry之间的方括号[]是必不可少的:它告诉编译器该指针指向的是自由存储区中的数组,而非单个对象。delete arry只释放了arry指针所指向的内存地址,理论上来说会少释放了内存空间,从而产生内存泄露。

方法3:优化方法2,空间复杂度为O(1),时间复杂度为O(n)

在方法2中,我们保存了每一个中间变量,但是仔细观察我们可以发现没有必要保存每一个中间变量,我们只需要保存两个临时变量即可完成斐波那契数列的计算。具体代码试下如下:

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题目2:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这道题目的本质就是斐波那契数列。假设只有一个台阶,那么只有一种跳法,那就是一次跳一级,f(1)=1;如果有两个台阶,那么有两种跳法,第一种跳法是一次跳一级,第二种跳法是一次跳两级,f(2)=2。如果有大于2级的n级台阶,那么假如第一次跳一级台阶,剩下还有n-1级台阶,有f(n-1)种跳法,假如第一次条2级台阶,剩下n-2级台阶,有f(n-2)种跳法。这就表示f(n)=f(n-1)+f(n-2)。将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案。这列略之。

 

题目3:我们可以用2X1(2行1列)的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2X1的小矩形无重复地覆盖一个2X8的大矩形,总共有多少种方法。
               
               
 
 

 这道题目还是斐波那契数列的变种。设f(8)表示覆盖2X8大矩形的方法综述。假设第一个小矩形是竖着去覆盖大矩形,那么还剩下由7个2X1的小矩形组成的大矩形f(7);假设第一个小矩形是横着去覆盖大矩形,那么还剩下由6个2X1的小矩形组成的大矩形f(6)。即f(8)=f(7)+f(6)。依此类推,最后f(1)=1,f(2)=2。使用计算斐波那契数列的方法计算这道题目即可求出答案。

 

 

 本文转自xwdreamer博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/xwdreamer/archive/2012/05/15/2501606.html,如需转载请自行联系原作者

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