在写了本系列的前面几篇文章之后。有些网友质疑文章的正确性。在仔细的推敲之下，这些网友指正的不无道理。下面举一个反例，来质疑前面文章的正确性。
文本：A：481234781；B：4411327431
先按照LD算法，计算LD矩阵
| 4 | 4 | 1 | 1 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 8 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 |
| 4 | 6 | 5 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 7 | 7 | 6 | 5 | 5 | 5 | 4 | 4 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 8 | 8 | 7 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 9 | 8 | 7 | 6 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 |
可知，LD(A,B)=5，最佳匹配为
A：4812347_81
B：4411327431
再按照LCS算法，计算LCS矩阵
| 4 | 4 | 1 | 1 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 4 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
| 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 8 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
可知，LCS(A,B)=5，匹配为
A：4_81_234781
B：44113274_31
不是最佳匹配，而蓝色部分41241的确是最长公共子序列。只是和LD算法算出的最长公共子序列不一样而已。这个说明，最长公共子序列不是唯一的。问题出在哪？出在白色部分的第7行第8列这个单元格的回溯上，在这个单元格，有两个方向可以选，一个是向上，一个是向左，在前文中说到，回溯时优先考虑左上角、上方、下方的顺序。这个是不完全正确的。本例中，这个单元格向左回溯能得到最佳匹配。
然后看看，Nakatsu算法的L矩阵
| 4 | 8 | 1 | 2 | 3 | 4 | 7 | 8 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i=0 | i=1 | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | i=6 | i=7 | i=8 | i=9 | |
| k=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| k=1 | V | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| k=2 | V | V | V | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| k=3 | V | V | V | V | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 |
| k=4 | V | V | V | V | V | 9 | 8 | 7 | 7 | 7 |
| k=5 | V | V | V | V | V | V | V | V | V | 10 |
| k=6 | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| k=7 | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| k=8 | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| k=9 | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
正如网友Sumtec指正，红色部分才是最长公共子序列的下标。
出于好奇，我分析了L矩阵中那些数值
L（k，i）=j→LCS（i，j）=k
于是在LCS中，把这些对应值表示出来
| 4 | 4 | 1 | 1 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 4 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
| 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 8 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
可以看出，L矩阵的元素表示每一行每个值出现的最左边的位置。这个能求出最长公共子序列。不过，能否求出最佳匹配，还得思量一番。
最近在研究国外的两篇论文，估计研究完了，应该会有所收获。
《A longest common subsequence algorithm suitable for similar text strings》
《An almost-linear time and linear space algorithm for the longest common subsequence problem》
在这里打个广告。这两篇论文，在网上能找到下载页面，但因为没有帐号，所以一直无法下载。昨天在“小米粒资源网”上发帖求助，不过半小时而已，就有人帮你下载，共享给你。效果非常好，在这里也向帮我下载的网友致敬。如果，你需要找一些学术论文（无论是中文的还是英文的），不妨在“小米粒资源网”试试，也许会有意想不到的惊喜。
