正项级数的审敛法与人生态度这学期物电学院电信专学生的高等数学 II 还是我来上. 紧接着上学期的课程, 我们开始了真正的无穷之旅. 考虑正项级数 $$\bee\label{ps} \sum_{n=1}^\infty u_n\quad(u_n>0). \eee$$ 我们怎么判定它的敛散性呢? 课文中给出了下列几种办法:
1. (基本定理) 若部分和 $\dps{s_n=\sum_{k=1}^n u_k}$ 有上界, 则 \eqref{ps} 收敛. 否则发散. 这是最简单的判别法了. 那人生是否真是需要这样, 从小到大的事情都记住么? 不是的. 很多事情随着时间的流淌而不经意地在大脑里洗刷掉. 所谓留下的都是精华. 过去了就过去了, 时间从 $1$ 到 $n$ 真的没有那么必要.
2. (比较判别法---极限形式) 若还有正项级数 $$\bee\label{compare} \sum_{n=1}^\infty v_n\quad(v_n>0), \eee$$ 则 $$\bex \varlimsup_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=\rho\left\{\ba{ll} \in(0,\infty),&\eqref{ps},\eqref{compare}\mbox{ 同时敛散},\\ =0,&\eqref{compare}\mbox{ 收敛 }\ra \eqref{ps}\mbox{ 收敛},\\ =\infty,&\eqref{compare}\mbox{ 发散 }\ra \eqref{ps}\mbox{ 发散}. \ea\right. \eex$$ 这个真的很难, 特别是对初学者来说. 到底应该取跟哪个级数比较呢? 特别简单的、常用来作为比较对象是 $$\bex \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\left\{\ba{ll} p\leq 1\ra\mbox{发散},\\ p>1\ra\mbox{收敛}; \ea\right. \eex$$ $$\bex \sum_{n=1}^\infty q^n\left\{\ba{ll} |q|\geq 1\ra\mbox{发散},\\ |q|<1\ra\mbox{收敛}. \ea\right. \eex$$ 人生岂不是亦如此? 世间太多的榜样, 我们和谁去比呢, 树谁作为榜样呢? 难. 如果比较的对象太高大, 我们不免自己先自卑起来, 何来努力向前; 如果比较的对象太微小, 我们瞬息之间就超过了他, 何来精金美玉、开疆扩土、掀天揭地等等?
3. (比值判别法---极限形式) $$\bex \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} \left\{\ba{ll} <1,&\mbox{收敛},\\ =1,&\mbox{失效},\\ >1,&\mbox{发散}. \ea\right. \eex$$ 这下好了, 我们没有了榜样, 而只跟自己前一段时间比较, 这个一般人都可以看出来自己到底有没有进步, 有没有更幸福. 但是这个世界太疯狂、太离谱, 很多事情没有你想象的那么简单, 那么完美. 哪天不定就因为车祸啥的而上者九万里, 直抵云霄. 另外, 波动、变化是大自然的最基本的规律, 如果只看这个跟前一段时间比较, 你就会一会儿颓废至极, 一会儿兴高采烈. 人生不能够平缓地度过.
4. (根值判别法---极限形式) $$\bex \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} \left\{\ba{ll} <1,&\mbox{收敛},\\ =1,&\mbox{失效},\\ >1,&\mbox{发散}. \ea\right. \eex$$ 这下更好了好了, 好兆头! 著名的 ``活在当下'' 理论就这样诞生了. 以前的事情已经过去, 幸不幸福、有无成就都已是定局; 未来的事情无法掌控, 健康快乐、功成名就都犹未可知. 只要看现在---一秒定乾坤!
