[实变函数]1.3 对等与基数

  1. 云栖社区>
  2. 博客>
  3. 正文

[实变函数]1.3 对等与基数

张祖锦 2014-02-14 10:18:00 浏览236
展开阅读全文

1 集合按照元素的个数可以分为有限集与无限集. 有限集有个数的概念:  $$\beex \bea &\quad A,B\mbox{ 个数相同}\\ &\lra A,B\mbox{ 之间有一个一一对应 (bijection)}. \eea \eeex$$    

 

2 对无限集而言, 我们可以推广得到: $$\beex \bea &\quad A,B\mbox{ 基数相同}\quad\sex{\mbox{记作: }\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}}\\ &\lra A,B\mbox{ 对等}\quad\sex{\mbox{记作: }A\sim B}\\ &\lra A,B\mbox{ 之间有一个一一对应 (bijection)}. \eea \eeex$$

 

3 例 1: 正奇数集合、正偶数集合、整数集都与自然数集对等, 基数相同.    

 

4 例 2: $(-1,1)\sim \bbR$ 可通过正切函数 $\dps{y=\tan\frac{\pi}{2}x}$ 获得一一对应.    

 

5 例 3: 两个同心圆可通过圆心发出的射线与圆的交点作成一一对应.    

 

6 性质:    

    (1) 反射性 (reflexivity): $A\sim A$; 

    (2) 对称性 (symmetry): $A\sim B\ra B\sim A$; 

    (3) 传递性 (transitivity): $A\sim B, B\sim C\ra A\sim C$.    

 

7 思考: $\bbR$ 中有 $<$, $=$, $>$ 关系 (任意两个数 $a,b$, $a<b,a=b,a>b$ 三者必居其

    一且仅居其一), 集合的基数是否可以比较呢, 也有类似的性质么?  

    答案: 能! 有!   

    (1) 定义:    $$\bex    \overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}\lra\sedd{\ba{ll}    A,B\mbox{ 不对等}\\    A\mbox{ 与 }B\mbox{ 的某个真子集 }B^*\mbox{ 对等}    \ea}    \eex$$    

    (2) 推论:     $$\bex    \overline{\overline{A}}\leq \overline{\overline{B}}\lra A\mbox{ 与 }B\mbox{ 的某个子集 }B^*\mbox{ 对等}    \eex$$   

        证明: 

        $\ra$ 显然.

        $\la$ 若 $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$, 则成立; 不然, $A,B$ 不对等, 而 $B$ 中与 $A$ 对等的子集 

        $B^*$ 只能是真子集, 而 $\overline{\overline{B}}<\overline{\overline{A}}$. 

    (3) 对任何 $A,B$, $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}$, $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$, $\overline{\overline{A}}>\overline{\overline{B}}$ 三者必居其一且仅居其一. 

 

8 思考: $\bbR$ 中有 $a\leq b,b\leq a\ra a=b$, 集合的包含关系有 $A\subset B,B\subset A\ra A=B$. 

    对集合的基数而言有类似的关系么? 对!    

    (1) Bernstein 定理:    $$\bex    \overline{\overline{A}}\leq \overline{\overline{B}},\quad \overline{\overline{B}}\leq \overline{\overline{A}}\ra \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}.    \eex$$ 

    (2) 例 1:      $$\bex    A\subset B\subset C, A\sim C\ra A\sim B\sim C.    \eex$$    

        证明: 由传递性, 仅须证明 $A,B$ 对等. 我们利用 Bernstein 定理. 

        一方面,$A$与 $B$ 的子集 $A$ 对等; 

        另一方面, $B$ 通过$$\bex    \ba{ccc}    B&\subset&C\\    \wr&&\wr\\    A^*&\subset&A    \ea\eex$$    

        得到与 $A$ 的一个子集的一一对应. 

    (3) 例 2: $(0,1]\sim \bbR, [0,1]\sim \bbR$, 所有 (开、闭、半开半闭、无穷) 区间均与 $\bbR$ 

        对等. 

    (4) $\bbR^3$ 中的单位球 (地球仪) 去掉北极点与平面 $\bbR^2$ (墙上地图) 通过球极投影

        一一对应.    

 

网友评论

登录后评论
0/500
评论
张祖锦
+ 关注