[实变函数]2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

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[实变函数]2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

张祖锦 2014-02-14 10:24:00 浏览277
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   1 直线上开集的构造:    $$\bex \mbox{直线上的开集 }O\mbox{ 是有限个或可数个互不相交的开区间的并}.    \eex$$    

    证明: 设 $P\in O$, 则 $\exists\ P\in (\alpha,\beta)\subset O$. 取    $$\bex \alpha_0=\inf\sed{\alpha_0;P\in (\alpha,\beta)\subset O},\quad    \beta_0=\sup\sed{\beta;P\in (\alpha,\beta)\subset O}.       \eex$$    

    则称区间 $(\alpha_0,\beta_0)$ 为 $O$ 的构成区间, 具有性质:    $$\bex (\alpha_0,\beta_0)\subset O;\quad \alpha_0,\beta_0\not\in O;\quad \mbox{构成区间要么相同, 要么不交}.    \eex$$    

    于是 $\dps{O=\cup_{\lambda\in \vLa} (a_\alpha,b_\alpha)}$, 其中 $(a_\alpha,b_\alpha)$ 是 $O$ 的构成区间. 既然不同的构成区间

    不相交, 我们知道 $\overline{\overline{\vLa}}\leq a$.    

 

   2 直线上闭集的构造: 对闭集 $F$,    $$\bex F^c=\cup_{\lambda \in \vLa}(a_\lambda,b_\lambda),\quad \overline{\overline{\vLa}}\leq a.    \eex$$    

    称 $(a_\lambda,b_\lambda)$ 为 $F$ 的余区间或邻接区间. 

   

   3 直线上完备集的构造:    $$\beex \bea F\mbox{ 是完备集}&\lra F\mbox{ 是自密闭集}\\    &\lra F\mbox{ 是没有孤立点的闭集}\\    &\lra F\mbox{ 的邻接区间没有公共端点}.    \eea    \eeex$$    

 

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