1 Cantor 三分集的构造: $$\bex P=\cap_{n=1}^\infty F_n. \eex$$
2 Cantor 三分集的性质
(1) $P$ 是完备集.
(2) $P$ 没有内点: $$\bex x\in P\ra \forall\ n, x\in F_n\ra U\sex{x,3^{-n}}\not\subset F. \eex$$
(3) $[0,1]\bs P$ 是可数个互不相交的开区间的并, 总长为 $1$: $$\bex \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\cdots=1. \eex$$
(4) $P$ 的基数为 $c$: $$\bex P\ni 2\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{3^n}\ (a_n=0,1)\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}\in [0,1]. \eex$$
(5) 总结: Cantor 三分集是一个测度为零且基数为 $c$ 的疏朗完备集.
(这里, 一集 $E$ 是疏朗集 $\lra E^{-o}=\vno$, 有个等价的说法见疏集与稠集).
(6) 作业: Page 51 T 10.