1 可测集的例子:
(1) 零测度集可测: $$\bex E\mbox{ 是零测度集}\lra m^*E=0. \eex$$
证明: $$\bex m^*T\geq m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c). \eex$$
(2) (开、闭、半开半闭) 区间 $I$ 可测, 且 $mI=|I|$.
(3) 开集、闭集可测.
(4) Borel 集可测. $$\bex \ba{ll} \sigma\mbox{ 代数}: &\mbox{ 一个集族 }\Omega, \mbox{ 适合 }\bbR^n\in \Omega,\mbox{ 且对可数并、补运算封闭}.\\ &\mbox{例如: }\scrM\mbox{ 是 }\sigma\mbox{ 代数.}\\ \mbox{生成 }\sigma\mbox{ 代数}: &\mbox{包含集族 }\vSa\mbox{ 的最小的 }\sigma\mbox{ 代数 }\sex{=\cap_{\Omega\supset \vSa}\Omega}\mbox{ 称为由 }\vSa\mbox{ 生成的 }\sigma\mbox{ 代数}.\\ Borel \mbox{ 代数}:&\mbox{ 由 }\bbR^n\mbox{ 中所有开集生成的 }\sigma\mbox{ 代数, 记作 }\scrB.\\ Borel\mbox{ 集}:&\mbox{集族} \scrB\mbox{ 中的集合}. \ea \eex$$
证明: $$\bex \sed{\mbox{开集}}\subset \scrM\ra \scrB\subset \scrM. \eex$$
2 可测集的构造.
(1) 定义: $$\bex \ba{ll} G_\delta\mbox{ 集}:&G=\cap_{i=1}^\infty O_i\\ F_\sigma\mbox{ 集}:&F=\cup_{i=1}^\infty F_i. \ea \eex$$
(2) 可测集 $= G_\delta$ 集 $\bs$ 零测度集: $$\bex E\mbox{ 可测}\ra \exists\ G_\delta\mbox{ 集 }G,\mbox{ 零测度集 }Z_1,\st E=G\bs Z_1. \eex$$
证明: 由 $$\beex \bea E&=\cup_{i=1}^\infty E_n\quad\sex{E_i=E\cap B(0,i)}\\ &=\cup_{i=1}^\infty (G_i\bs Z_i)\\ &=\cup_{i=1}^\infty G_i\bs \cap_{i=1}^\infty Z_i \eea \eeex$$
知可仅考虑 $mE<\infty$ 的情形. 此时, 由外测度的定义, $$\bex \forall\ \ve>0, \ \exists\ \sed{I_i},\st \cup_{i=1}^\infty I_i\supset E,\ \sum_{i=1}^\infty |I_i|<mE+\ve. \eex$$
令 $\dps{O=\cup_{i=1}^\infty O_i}$, 则 $$\bex mE\leq mO\leq \sum_{i=1}^\infty mI_i =\sum_{i=1}^\infty |I_i|<mE+\ve \ra m(O\bs E)<\ve. \eex$$
然后对 $\forall\ i\in\bbZ^+$, $\dps{\exists\ O_i,\st m(O_i\bs E)<\frac{1}{i}}$; 令 $$\bex G=\cap_{i=1}^\infty O_i,\quad Z_1=G\bs E, \eex$$
则 $G\bs Z=E$, 且 $$\bex mZ_1=m\sex{\cap_{i=1}^\infty O_i\bs E}\leq m(O_i\bs E)<\frac{1}{i}\ra mZ_1=0. \eex$$
(3) 可测集 $=$ $F_\sigma$ 集 $\cup$ 零测度集: $$\bex E\mbox{ 可测}\ra \exists\ F_\sigma\mbox{ 集}, \mbox{零测度集 }Z_2,\st E=F\cup Z_2. \eex$$
证明: 由可测集的性质 (2), $$\bex E^c=G\bs Z_1=G\cap Z_1^c\ra E=G^c\cup Z_1. \eex$$
3 可测集的内、外正规性: $$\bex E\mbox{ 可测}\ra\sedd{\ba{ll} (\mbox{外正规性}): mE=\inf \sed{mO;\ O\supset E}\\ (\mbox{内正规性}): mE=\sup\sed{mK; K\subset E} \ea}. \eex$$
证明: 先证外正规性. 若 $mE=\infty$, 则结论显然成立. 往设 $mE<\infty$. 由可测
集的构造知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ O,\st m (O\bs E)<\ve. \eex$$
再证内正规性. 若 $E$ 有界, 则由外正规性, $$\bex \forall\ \ve>0, \ \exists\ O\supset E^c,\st m(O\bs E^c)=m(E\bs O^c)<\ve. \eex$$
取 $K=O^c\subset E$ 即知 $K$ 是紧集. 若 $E$ 无界, 则 $$\bex E=\lim_{i\to\infty} E_i,\quad E_i=E\cap B(0,n). \eex$$
对每个 $E_i$, 由已证的有界情形的内正规性知 $$\bex \exists\ K_i\subset E_i\subset E,\st mE_i-\frac{1}{i}<mK_i\leq mE_i. \eex$$
于是$$\bex \lim_{i\to\infty}mK_i=mE. \eex$$
4 作业: Page 75, T 10, T 11.
