1 (Lusin 定理) 设 $$\bex f\mbox{ 是可测集 }E\mbox{ 上 }\ae \mbox{ 有限的可测函数}, \eex$$
则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ \mbox{ 闭集 }F_\delta\subset E,\ m(E\bs F_\delta)<\delta, \st f\mbox{ 在 }F_\delta\mbox{ 上连续}. \eex$$
证明:
(1) 若 $f$ 是简单函数: $$\bex f=\sum_{i=1}^k c_i\chi_{E_i}(x),\quad E_i\cap E_j=\vno\ (i\neq j). \eex$$
则\footnote{在第 3.3 节中, 我们已经证得 $$\bex E\mbox{ 可测}\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ O\supset E, \st m(O\bs E)<\ve, \eex$$
而有 $$\bex E\mbox{ 可测}\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ F\subset E,\st m(E\bs F)<\ve. \eex$$ } $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ F_i\subset E_i,\st m(E_i\bs F_i)<\frac{\delta}{k}. \eex$$
令 $$\bex f=\sum_{i=1}^k c_i\chi_{F_i}, \eex$$
则 $f$ 在 $\dps{F_\delta=\cup_{i=1}^k F_i}$ 上连续\footnote{设 $x_0\in F_\delta$, 则 $\exists\ i_0,\st x_0\in F_{i_0}$.
由 $F_i$ 两两不交及第 2.3 节的结论 (正规性), $$\bex \exists\ O\supset F_{i_0},\ O'\supset F_\delta\bs F_{i_0}\st O\cap O'=\vno. \eex$$
因此, $$\bex \exists\ \delta>0,\st B(x_0,\delta)\subset O\ra B(x_0,\delta)\cap F_\delta=B(x_0,\delta)\cap F_{i_0}. \eex$$
这说明 $f(F_\delta\cap B(x_0,\delta))=c_{i_0}$.}, 且 $$\bex m(E\bs F_\delta) =m\sex{\cup_{i=1}^k E_i\bs \cup_{i=1}^k F_i} \leq m\sex{\cup_{i=1}^k (E_i\bs F_i)} <\delta. \eex$$
(2) 若 $f$ 有界可测, 有 $$\bex \exists\ \mbox{ 简单函数列 }\phi_k\rightrightarrows f. \eex$$
对 $\forall\ \ve>0$, 对每一 $\phi_k$, 由已证, $$\bex \exists\ \mbox{ 闭集 }F_k,\ m(E\bs F_k)<\frac{\delta}{2^k},\st \phi_k\mbox{ 在 }F_k\mbox{ 上连续}. \eex$$
取 $\dps{F_\delta=\cap_{k=1}^\infty F_k}$, 则 $F_\delta$ 为闭集; $f$ 作为一致收敛的连续函数列的极限, 在 $F_\delta$
上连续; 且 $$\bex m(E\bs F_\delta) \leq \sum_{k=1}^\infty m(E\bs F_k)<\delta. \eex$$
(3) 若 $f$ 可测, 用 $E\bs E[|f|=+\infty]$ 代替 $E$ 后可设 $f$ 是有限函数. 考虑有界
函数 $$\bex f=\frac{f}{1+|f|}, \eex$$
由已证, $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ \mbox{ 闭集 }F_\delta\subset E,\ m(E\bs F_\delta)<\delta, \st g\mbox{ 在 }F_\delta\mbox{ 上连续}. \eex$$
而 $f$ 在 $F_\delta$ 上连续\footnote{ $$\bex |g|=\frac{|f|}{1+|f|}\ra |f|=\frac{|g|}{1-|g|}\ra f=g(1+|f|)=\frac{g}{1-|g|}. \eex$$}.
2 Lusin 定理的意义: $$\bex \mbox{可测函数 ``基本上'' 连续}. \eex$$
3 Lusin 定理的另一形式: 设 $f$ 是 $E$ 上 $\ae$ 有限的可测函数, 则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ F\subset E: m(E\bs F)<\delta, g\in C(\bbR), \eex$$ $$\bex \st g|_F=f,\ \sup_{\bbR}g=\sup_Ff,\ \inf_{\bbR}g=\inf_Ff. \eex$$
注意 $E\subset \bbR$ 情形时的几何意义.
4 作业: Page 94 T 8.
