[家里蹲大学数学杂志]第047期18 世纪法国数学界的3L

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[家里蹲大学数学杂志]第047期18 世纪法国数学界的3L

张祖锦 2014-06-09 16:00:00 浏览728
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1 Lagrange---78岁

 约瑟夫·拉格朗日, 全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange 1735~1813) 法国数学家、物理学家.

 1736年1月25日生于意大利都灵,  1813年4月10日卒于巴黎. 他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,  其中尤以数学方面的成就最为突出.

 1.1 生平

拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵.

父亲 约瑟夫·拉格朗日是法国陆军骑兵里的一名军官, 后由于经商破产, 家道中落. 据拉格朗日本人回忆, 如果幼年时家境富裕, 他也就不会作数学研究了, 因为父亲一心想把他培养成为一名律师. 拉格朗日个人却对法律毫无兴趣.

 1.2 经历

1.2.1 青年时代

 到了青年时代, 在数学家雷维里 (Revelli) 的教导下,  拉格朗日喜爱上了几何学.  17岁时,  他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后, 感觉到“分析才是自己最热爱的学科”, 从此他迷上了数学分析,  开始专攻当时迅速发展的数学分析.

 18岁时, 拉格朗日用意大利语写了第一篇论文,  是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商,  他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉.  不久后, 他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了.  这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心,  相反, 更坚定了他投身数学分析领域的信心.

1.2.2 游历

 1755年拉格朗日19岁时, 在探讨数学难题“等周问题”的过程中,  他以欧拉的思路和结果为依据, 用纯分析的方法求变分极值.

 第一篇论文“极大和极小的方法研究”, 发展了欧拉所开创的变分法,  为变分法奠定了理论基础. 变分法的创立,  使拉格朗日在都灵声名大震,  并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授,  成为当时欧洲公认的第一流数学家. 1756年, 受欧拉的举荐, 拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士.

 1764年, 法国科学院悬赏征文,  要求用万有引力解释月球天平动问题, 他的研究获奖.  接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题 (木星的四个卫星的运动问题), 为此又一次于1766年获奖.

 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说,  在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”.  于是他应邀前往柏林, 任普鲁士科学院数学部主任,  居住达20年之久, 开始了他一生科学研究的鼎盛时期.  在此期间, 他完成了《分析力学》 一书, 这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作.  书中运用变分原理和分析的方法, 建立起完整和谐的力学体系,  使力学分析化了. 他在序言中宣称:力学已经成为分析的一个分支.

 1783年, 拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院",  他被任命为名誉院长. 1786年腓特烈大帝去世以后,  他接受了法王路易十六的邀请, 离开柏林, 定居巴黎, 直至去世.

 这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会,  并出任法国米制委员会主任.

 1799年, 法国完成统一度量衡工作,  制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位,  拉格朗日为此做出了巨大的努力.

 1791年, 拉格朗日被选为英国皇家学会会员,  又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授. 1795年建立了法国最高学术机构---法兰西研究院后,  拉格朗日被选为科学院数理委员会主席. 此后, 他才重新进行研究工作, 编写了一批重要著作:《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》,  总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作.

 1.2.3 年终

1813年4月3日, 拿破仑授予他帝国大十字勋章, 但此时的拉格朗日已卧床不起, 4月11日早晨, 拉格朗日逝世.

1.3 科学成就

 1.3.1 概述

拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛.

他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来, 使数学的独立性更为清楚, 从此数学不再仅仅是其他学科的工具.

 1.3.2 月球问题

拉格朗日总结了18世纪的数学成果, 同时又为19世纪的数学研究开辟了道路, 堪称法国最杰出的数学大师. 同时, 他的关于月球运动 (三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果, 在使天文学力学化、力学分析化上, 也起到了历史性的作用, 促进了力学和天体力学的进一步发展, 成为这些领域的开创性或奠基性研究.

 1.3.3 方程解法

在柏林工作的前十年, 拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上, 作出了有价值的贡献, 推动了代数学的发展. 他提交给柏林科学院两篇著名的论文:《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》. 把前人解三、四次代数方程的各种解法, 总结为一套标准方法, 即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解.

 1.3.4 置换群

他试图寻找五次方程的预解函数, 希望这个函数是低于五次的方程的解, 但未获得成功. 然而, 他的思想已蕴含着置换群概念, 对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用, 最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.

因而也可以说拉格朗日是群论的先驱.

 1.3.5 数论

在数论方面, 拉格朗日也显示出非凡的才能. 他对费马提出的许多问题作出了解答. 如, 一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等, 他还证明了圆周率的无理性. 这些研究成果丰富了数论的内容.

 1.3.6 幂级数

在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中, 在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试, 他企图把微分运算归结为代数运算, 从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量, 并想由此出发建立全部分析学. 但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题, 他自以为摆脱了极限概念, 其实只是回避了极限概念, 并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的.

不过, 他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响, 成为实变函数论的起点.

 1.3.7 分析力学

拉格朗日也是分析力学的创立者. 拉格朗日在其名著《分析力学》中, 在总结历史上各种力学基本原理的基础上, 发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果, 引入了势和等势面的概念, 进一步把数学分析应用于质点和刚体力学, 提出了运用于静力学和动力学的普遍方程, 引进广义坐标的概念, 建立了拉格朗日方程, 把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式, 改变为以能量为基本概念的分析力学形式, 奠定了分析力学的基础, 为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路.

 1.3.8 拉格朗日方法

他还给出刚体在重力作用下, 绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解, 对三体问题的求解方法有重要贡献, 解决了限制性三体运动的定型问题. 拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献, 提出了描述流体运动的拉格朗日方法.

 1.3.9 行星问题

拉格朗日的研究工作中, 约有一半同天体力学有关. 他用自己在分析力学中的原理和公式, 建立起各类天体的运动方程. 在天体运动方程的解法中, 拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解, 即拉格朗日平动解. 此外, 他还研究了彗星和小行星的摄动问题, 提出了彗星起源假说等.

 1.3.10 欧洲最大的数学家

近百余年来, 数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作. 所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一.

被誉为“欧洲最大的数学家”.

2 Laplace---78岁

皮埃尔--西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon marquis de Laplace, 1749年3月23日-1827年3月5日) , 法国著名的天文学家和数学家, 天体力学的集大成者.

拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化, 这就是著名拉普拉斯定理.

拉普拉斯的著名杰作《天体力学》, 集各家之大成, 书中第一次提出了“天体力学”的学科名称, 是经典天体力学的代表著作.

《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作.

在这部书中, 他独立于康德, 提出了第一个科学的太阳系起源理论---星云说.

康德的星云说是从哲学角度提出的, 而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说, 因此, 人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”.

皮埃尔--西蒙·拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献, 他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者.

这些数学工具今天已经在科学技术的各个领域得到了广泛的应用.

拉普拉斯是因果决定论的信徒. 1799年出版了巨著《天体力学》的头两卷, 主要论述行星运动、行星形状和潮汐. 1802年出版第三卷, 论摄动理论.  1805年出版第四卷, 论木星四颗卫星的运动及三体问题的特殊解. 1825年出版第五卷, 补充前几卷的内容. 由于这部巨著的出版, 拉普拉斯被誉为法国的牛顿.

据说, 当拿破仑看到这部书时, 问拉普拉斯, 为何在他的书中一句也不提上帝.

拉普拉斯明确地回答:“陛下, 我不需要那个假设” (法语: Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là.) . 拿破仑将这句话告诉拉格朗日, 拉格朗日却说:“这是个好假设!它可以解释许多事情” (法语:Ah! c'est une belle hypothèse; ?a explique beaucoup de choses.)

拉普拉斯给出了一个古怪的关于太阳会升起的概率的方程, 他声称这个概率是 $(d+1)/(d+2)$, $d$ 是过去太阳升起的天数.

拉普拉斯声称这个公式可以应用于所有我们不认识的事物上, 或是在我们已知, 但由于我们不知道的事物而陷入泥潭的事物上.

3. Legendre---81岁

 阿德里安-马里·勒让德  (Adrien-Marie Legendre, 1752年9月18日---1833年1月10日) ,  法国数学家. 他的主要贡献在统计学、数论、抽象代数与数学分析上. 勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等几何与天体

力学,  取得了许多成果, 导致了一系列重要理论的诞生. 勒让德是椭圆积分理论奠基人之一.

 勒让德对数论的主要贡献是二次互反律,  这是同余式论中的一条基本定理. 他还是解析数论的先驱者之一,  归纳出了素数分布律, 促使许多数学家研究这个问题. 其他贡献包括:椭圆函数论、最小二乘法、测地线理论等.

 1796年, 猜想素数分布的规律, 即后来的素数定理.

 1830年勒让德证明费马大定理 $n=5$ 的情况, 但1828年狄利克雷已做了同样的工作. 

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