定理. $$\bex \int_0^1\frac{\ln^2x}{x^x}\rd x<2\int_0^1 \frac{\rd x}{x^x}. \eex$$
证明: 由分部积分及 Fubini 定理, $$\beex \bea \int_0^1 x^m\ln^nx\rd x&=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}},\\ \int_0^1 \frac{\ln^2x}{x^x}\rd x &=\int_0^1 e^{-x\ln x} \ln^2x \rd x =\int_0^1\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} x^k\ln^{k+2}x\rd x\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\int_0^1 x^k\ln^{k+2}\rd x =\sum_{k=0}^\infty \frac{k+2}{(k+1)^{k+2}},\\ \int_0^1 \frac{\rd x}{x^x}&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)^{k+1}},\\ k+2&<2(k+1),\ (k>0). \eea \eeex$$ 而有结论成立.
2015年7月5号
张祖锦 赣南师范学院数学与计算机科学学院 邮箱: zhangzujin361@163.com
