2016-2017-2点集拓扑作业拾遗

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2016-2017-2点集拓扑作业拾遗

张祖锦 2017-03-04 12:20:00 浏览411
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有的时候不断会总结, 发现一些新的表达方法和题目. 除了pdf作业上的, 全都写于此. 以后并入 2017-2018-1点集拓扑作业中.

  • [杨忠道定理] 拓扑空间中每个子集的导集都是闭集当且仅当每个单点集的导集是闭集.
  • 设 $X=\sed{a,b,c},\ \scrT=\sed{\vno,\sed{a},\sed{a,b},\sed{a,c},X}$. 试求在上述拓扑空间中 $A=\sed{a,b}$ 的导集 $\rd(A)$.
  • 写出凝聚点和导集的定义, 并理解 $$\bex x\in \rd (A)\lra \forall\ x\mbox{ 的开邻域 }U,\ U\cap A\bs \sed{x}\neq \vno. \eex$$
  • 设 $X=\sed{a,b,c}$, $$\bex \scrT_1=\sed{\vno,\sed{a},\sed{b,c},X},\quad \scrT_2=\sed{\vno,\sed{a},\sed{a,b},\sed{a,c},X}. \eex$$ 试证: $i_X:(X,\scrT_1)\to (X,\scrT_2)$ 在点 $a$ 处连续, 但在点 $b$ 处不连续. (注意书中是说 $i_X:(X,\scrT)\to (X,\scrT)$ 连续)
  • 设 $X=\sed{a,b,c}$, $$\bex \scrU_a=\sed{\sed{a,b},X},\quad \scrU_b=\sed{\sed{b},\sed{a,b},\sed{b,c},X},\quad \scrU_c=\sed{X}. \eex$$ 试验证 $\scrU_a,\scrU_b,\scrU_c$ 满足邻域系的四条性质, 并求出 $X$ 上的唯一拓扑 $\scrT$ 使得 $\scrU_x$ 是 $x$ 在拓扑空间 $(X,\scrT)$ 中的邻域系, $x=a,b,c$.
  • 设 $(X,\scrT)$ 是一拓扑空间, $\infty\not\in X$. 令 $$\bex X^*=X\cup \sed{\infty},\quad \scrT^*=\scrT\cup \sed{X^*}. \eex$$ 试证: $(X^*,\scrT^*)$ 也是一拓扑空间.
  • 设 $A_n=\sed{m\in\bbZ_+;m\geq n}_{n=1}^\infty$. 试证: $\scrT=\sed{A_n;n\in\bbZ_+}\cup \sed{\vno}$ 是 $\bbZ_+$ 上的一个拓扑.
  • 设 $\sed{\rho_i}_{i=1}^\infty$ 是集 $X$ 上的一个度量列 (还记得吧, $\sed{x_i}_{i=1}^\infty$ 称为数列, $\sed{A_i}_{i=1}^\infty$ 称为集列), 试证: $$\bex \rho(x,y)=\vsm{i}\f{1}{2^i}\f{\rho_i(x,y)}{1+\rho_i(x,y)},\quad \forall\ x,y\in X \eex$$ 也是 $X$ 上的一个度量. (这里, 我们称 $1/2^i$ 为收敛因子)
  • 设 $(X,\rho)$ 是度量空间, $A$ 是 $X$ 的非空子集, 考虑 $$\bex f(x)=\dist(x,A)=\inf_{y\in A}\rho(x,y),\quad x\in X. \eex$$ 试证: $f$ 是 $X$ 上的一致连续函数.

  • 度量似绝值, 三角不等时. 球形邻两点, 开集包球形. 邻域含开集, 点态连续齐. 连续整从点, 开集回头是. 注记: 度量恰似以前的绝对值, 关键在于三角不等式. 有了度量, 就有球形邻域的概念, 而开集的定义就是包含了其中任一个点的一个球形邻域. 领域呢, 就是包含着开集 (等价于包含着球形邻域), 有了邻域, 点态连续的定义就可以按以前的 $\ve-\del$ 定义. 而整体连续可以按逐点连续来定义, 也等价于开集通过映射拉回去还是开集.

  • 试写出 $[0,1]$ 到 $(0,1)$ 之间的一个对等.
  • 设 $X,Y$ 是两个集合, $f:X\to Y$ 是映射. 考虑 $X$ 上的关系 $$\bex R=\sed{(x,y)\in X\times X;\ f(x)=f(y)}. \eex$$ 试证: $R$ 是 $X$ 上的等价关系; 考虑 $X/R$ 到 $Y$ 的映射 $$\bex \ba{lcccc} \tilde f:&X/R&\to&Y\\ &[x]&\mapsto& f(x), \ea \eex$$ 则 $\tilde f$ 是良定义 (well-defined) 的, 即: $[x]=[x_1]\ra f(x)=f(x_1)$, 且 $\tilde f$ 是单射.
  • 判断: 设 $R\subset X\times Y$, 若 $\forall\ x\in X,\ R(\sed{x})$ 是单点集; $\forall\ y\in Y$, $R^{-1}(\sed{y})$ 是 $\vno$ 或单点集, 则 $R$ 是从 $R^{-1}(Y)$ 到 $R(X)$ 的一一映射.
  • 判断: 设 $R\subset X\times Y$, 若 $\forall\ x\in X,\ R(\sed{x})$ 是单点集, 则 $R$ 是从 $R^{-1}(Y)$ 到 $R(X)$ 的满射.
  • 判断: 设 $R\subset X\times Y$, 若 $\forall\ x\in X,\ R(\sed{x})$ 是单点集, 则 $R$ 是从 $R^{-1}(Y)$ 到 $Y$ 的映射.
  • 设 $R_0$ 上 $X$ 上的一个关系, 考虑等价关系族 $$\bex \scrR=\sed{R\subset X\times X;\ R\mbox{ 是 }X\mbox{ 上的等价关系},\ R\supset R_0}. \eex$$ 试证: $\dps{\cap_{R\in \scrR}R}$ 是包含 $R_0$ 的最小的等价关系, 我们将其称为由关系 $R_0$ 生成的等价关系. [注意: 这种形式, 在实变函数中已经出现过, 比如由集族生成的 $\sigma$ 代数; 在点集拓扑的后续课程中也会出现类似情况, 所以在这里先预热一下]
  • 设 $\sed{R_\lm}_{\lm\in \vLm}$ 是 $X$ 上的等价关系族 (关于集族的定义, 见第 1.6 节), 也就是说, 对一个集合 $\vLm$, 它的每个元 $\lm$ 都指定 $X$ 的一个等价关系 $R_\lm$. 试证: $\dps{\cap_{\lm\in \vLm}R_\lm}$ 是 $X$ 上的一个等价关系.
  • 设 $R$ 是集 $X$ 的等价关系, 则 $\lap(X)\subset R\subset X^2$. 这表明 $\lap(X)$ 是 $X$ 上最小的等价关系, $X^2$ 是 $X$ 上最大的等价关系.
  • 设 $V$ 是数域 $\bbF$ 上的线性空间, $W$ 是 $V$ 的线性子空间. 考虑 $V$ 上的关系 $$\bex R=\sed{(\al,\be)\in V\times V;\ \al-\be\in W}. \eex$$ 试证: $R$ 是 $V$ 上的等价关系; $V/R$ 关于下述加法和数乘运算成为一个线性空间: $$\bex [\al]+[\be]=[\al+\be],\quad k[\al]=[k\al],\quad\forall\ \al,\be\in V,\ k\in \bbF. \eex$$ (注意需要验算上述运算与所选取的代表元无关, 即若 $[\al]=[\al_1],\ [\be]=[\be_1]\ra [\al+\be]=[\al_1+\be_1]$, $[k\al_1]=[k\al]$); $\dim W+\dim (V/R)=\dim V$.
  • 判断: 设 $R$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的关系, 则 $R$ 也是从 $R^{-1}(Y)$ 到 $R(X)$ 的关系; 即 $R\subset X\times Y\ra R\subset R^{-1}(Y)\times R(X)$.
  • 设 $R\subset X\times Y$, $A\subset X, B\subset Y$, 则按照定义, $R(A)$ 就是 $R$ 中第一个坐标在 $A$ 中的元素的第二个坐标全体; $R(X)$ 就是 $R$ 中的元素的第二个坐标全体; $R^{-1}(B)$ 就是 $R$ 中第二个坐标在 $B$ 中的元素的第一个坐标全体; $R^{-1}(Y)$ 就是 $R$ 中的元素的第一个坐标全体. (这是像, 值域, 原像, 定义域的具体求法)

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