参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
3.1.1 计算下列函数的指定导数: (1) $\dps{f(x)=\sqrt{\f{(1+x)\sqrt{x}}{\e^{x-1}}}+\arcsin\f{1-x}{\sqrt{1+x^2}} }$, 求 $f'(1)$. (中国人民大学) (2) $\dps{f(x)=x^{\sin (\sin x^x)}\ (x>0)}$, 求 $\dps{\f{\rd y}{\rd x}}$. (复旦大学) (3) $\dps{f(x)=\seddm{ \cos x,&x<0,\\ \ln(1+x^2),&x\geq 0. }}$ 求 $f'(x)$. (华东师范大学) (4) $\dps{f(x)=\f{x}{\sqrt{1+x^2}}}$, $f_n(x)=f(f(\cdots f(x)))$ ($n$ 个 $f$), 求 $\dps{\f{\rd f_n(x)}{\rd x}}$. (西北工业大学) (5) $f''(u)$ 存在, $y=f(x+y)$, 求 $\dps{\f{\rd y}{\rd x},\ \f{\rd^2y}{\rd x^2}}$. (中国地质大学) (6) $y=y(x)$ 为 $y=-y\e^x+2\e^y\sin x-7x$ 所确定的可微函数, 求 $y'(0)$. (浙江大学) (7) $f(x)$ 有任意阶导数, $f'(x)=[f(x)]^2$, 求 $f^{(n)}(x)\ (n>2)$. (数学一) (8) $x=a(1-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$, 求 $\dps{\f{\rd y}{\rd x},\f{\rd^2y}{\rd x^2}}$. (中国海洋大学) (9) $f^{-1}(x)$ 为 $f(y)$ 的反函数, $f'[f^{-1}(x)]$, $f''[f^{-1}(x)]$ 都存在, 且 $f'[f^{-1}(x)]\neq 0$, 证明: $\dps{\f{\rd ^2f^{-1}(x)}{\rd x}=-\f{f''[f^{-1}(x)]}{\sed{f'[f^{-1}(x)]}^3}}$. [湖南大学] (10) 对于 $\bbR$ 上的实函数, 若所论的导数存在, 试证有如结论: 奇函数的导数为偶函数, 偶函数的导数为奇函数. 如果将次结论简记作: (奇)'=偶, (偶)'=奇, 则显然有: (奇)$^{(2n)}=$ 奇, (奇)$^{(2n-1)}=$ 偶, (偶)$^{(2n-1)}=$ 奇, (偶)$^{2n}=$ 偶, (奇) $(0)=0$, (奇)$^{2n}$ $(0)=0$, (偶)$^{2n-1}$ $(0)=0$\ ($n=1,2,\cdots$). (11) 设 $\dps{f(x)=\f{x^5}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \f{\sin^4x}{1+\cos^2x}}$, 求 $f^{(6)}(0)$ 及 $\dps{\int_{-1}^1 f^{(6)}(x)\rd x}$. (中国人民大学) (12) 求 $\rd^n(x^2\ln x)$ ($x>0$, $x$ 为自变量). (南京大学) (13) $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上无穷次可微, 且 $\exists\ M>0$ 使得 $|g^{(n)}(x)|\leq n!M$, $\dps{g\sex{\f{1}{n}}=\ln (1+2n)-\ln n\ (n=1,2,3,\cdots)}$. 求 $g^{(k)}(0)\ (k=0,1,2,\cdots)$. (中国科学院) (14) $f(x)=x\sin \om x$, 证明: $$\bex f^{(2n)}(x)=(-1)^n(\om^{2n}x\sin \om x-2n\om^{2n-1} \cos \om x).\qwz{北京理工大学} \eex$$ (15) $\dps{f(x)=\seddm{ \f{\sin x}{x},&x\neq 0,\\ 1,&x=0 }}$ 求 $f^{(k)}(0)$. (华东师范大学)
3.1.2 讨论 $$\bex f(x)=\seddm{ \f{1}{x}-\f{1}{\e^x-1},&x\neq 0,\\ \f{1}{2},&x=0 } \eex$$ 在 $x=0$ 处的连续性与可微性. (东北大学)
3.1.3 设 $$\bex f(x)=\seddm{ x^2\sin \f{\pi}{x},&x<0,\\ A,&x=0,\\ ax^2+b,&x>0, } \eex$$ 其中 $A,a,b$ 为常数, 试问 $A,a,b$ 为何值时 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 为什么? 并求 $f'(0)$. (郑州工业大学)
3.1.4 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, $f(0)\neq 0$, $f'(0)\neq 0$, $$\bex af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h), \sex{\mbox{当 }h\to 0\mbox{ 时}}, \eex$$ 求 $a,b$. (数学一)
3.1.5 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上四次连续可微, $f'(0)=0$. 证明: 函数 $$\hj{ F(x)=\seddm{ \f{f(x)}{x^2},&0<x\leq 1,\\ \f{f''(0)}{2},&x=0 } }$$ 在 $[0,1]$ 上二次连续可微. (吉林大学)
3.1.6 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上满足 $$\bex |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\al,\ \forall\ x,y\in [a,b], \eex$$ 其中 $M>0$, $\al>1$ 为常数, 证明: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒为常数.
3.1.7 设 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导的充要条件为 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(1-\e^h)}{h}}$ 存在. (数学一) \zj{ 不妨尝试对该题作一个小小的推广: 设 $x=g(h)$ 为: 具有反函数 $g^{-1}$, 且使得 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{x}{g^{-1}(x)}}$ 存在的某一函数 (例如 $x=1-\e^h$), 那么任一函数 $f(x)$, 若 $f(0)=0$, 则 $f$ 在 $x=0$ 可导的充要条件是 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(g(h))}{h}}$ 存在. }
3.1.8 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义. (1) 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 试证: $$\bex \vlmc{h}{0}\f{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0); \eex$$ (2) 反之, 若上式左端之极限存在, 是否能推出 $f'(x_0)$ 存在? 若结论成立, 请证明, 不成立给出反例. (哈尔滨工业大学)
3.1.9 在什么条件下, 函数 $$\bex f(x)=\seddm{ x^n\sin\f{1}{x},&x\neq 0,\\ 0,&x=0 } \sex{n\mbox{ 为自然数}} \eex$$ (1) 在点 $x=0$ 处连续; (2) 在点 $x=0$ 处可导; (3) 在点 $x=0$ 处导函数连续. (中国科学院)
3.1.10 试作一函数在 $(-\infty,+\infty)$ 内二阶可微, 使得 $f''(x)$ 在 $x=0$ 处不连续, 其余处处连续.
3.1.11 对于函数 $f(x)=|\sin x|^3,\ x\in (-1,1)$. (1) 证明: $f'''(0)$ 不存在; (2) 说明点 $x=0$ 是不是 $f'''(x)$ 的可去间断点.
3.1.12 设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续, 且 $|f(x)|$ 在 $a$ 处可导, 证明: $f(x)$ 在 $a$ 处也可导. (长沙铁道学院)
3.1.13 函数 $f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|$ 不可导点的个数是多少? (数学一)
3.1.14 设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续, 分别讨论下面函数在 $x=a$ 处是否可导. (1) $f(x)=(x-a)\varphi(x)$; (2) $f(x)=|x-a|\varphi(x)$; (3) $f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$. (武汉水利电力大学)
3.1.15 设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件. (数学一)
3.1.16 求 $f(x)=[x]\sin \pi x$ 的单侧导数, 并讨论可微性. ($[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数)
3.1.17 证明: 函数 $$\bex f(x)=\seddm{ x^2\sev{\cos\f{\pi}{x}},&x\neq 0,\\ 0,&x=0 } \eex$$ 在 $x=0$ 的任何邻域内有不可微的点, 但在 $x=0$ 点可微.
3.1.18 证明: 切比雪夫 (Tschebyscheff) 多项式 $$\bex T_m(x)=\f{1}{2^{m-1}}\cos(m\arccos x),\ m=0,1,2,\cdots \eex$$ 满足方程 $$\bex (1-x^2)T_m''(x)-xT_m'(x)+m^2T_m(x)=0. \eex$$
3.1.19 证明: 切比雪夫-拉盖尔 (Tschebyscheff-Laguerre) 多项式 $$\bex L_m(x)=\e^x (x^m\e^{-x})^{(m)}, m=0,1,2,\cdots \eex$$ 满足方程 $$\bex xL_m''(x)+(1-x)L_m'(x)+mL_m(x)=0. \eex$$
3.1.20 设 $$\hj{ f(x)=\sevm{ u_{11}(x)&u_{12}(x)&\cdots&u_{1k}(x)\\ u_{21}(x)&u_{22}(x)&\cdots&u_{2k}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{k1}(x)&u_{k2}(x)&\cdots&u_{kk}(x) } }$$ ($u_{ij}(x)$ 为 $n$ 次可微函数). 试证: $$\hj{f^{(n)}(x)&=\sum_{r_1+r_2+\cdots+r_k=n} \f{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!} \sevm{ u_{11}^{(r_1)}(x)&u_{12}^{(r_1)}(x)&\cdots&u_{1k}^{(r_1)}(x)\\ u_{21}^{(r_2)}(x)&u_{22}^{(r_2)}(x)&\cdots&u_{2k}^{(r_2)}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{k1}^{(r_k)}(x)&u_{k2}^{(r_k)}(x)&\cdots&u_{kk}^{(r_k)}(x) }. }$$
3.1.21 设 $x=a\cos t+b\sin t,\ y=a\sin t-b\cos t$, 求证: $$\bex \f{\rd^mx}{\rd t^m} \f{\rd^ny}{\rd t^n} -\f{\rd^nx}{\rd t^n} \f{\rd^my}{\rd t^m} =(a^2+b^2)\sin\f{n-m}{2}\pi. \eex$$
3.1.22 对例 3.1.7 如下的证法给出评论, 认为正确请说明理由, 认为不正确请给出反例. 证. $$\hj{ &\quad \vlmc{x}{0}\f{f(2x)-f(x)}{x}=A\ra f(2x)-f(x)=Ax+o(x)\\ &\ra f\sex{\f{x}{2^{k-1}}}-f\sex{\f{x}{2^k}} =A\f{x}{2^k}+o\sex{\f{x}{2^k}}\\ &\ra \sum_{k=1}^n \sex{ f\sex{\f{x}{2^{k-1}}}-f\sex{\f{x}{2^k}} }=A\sum_{k=1}^n \f{x}{2^k}+o\sex{\sum_{k=1}^n \f{x}{2^k}}\\ &\ra f(x)-f\sex{\f{x}{2^n}} =Ax(1-2^{-n})+o((1-2^{-n})x)\\ &f(x)-f(0)=Ax+o(x)\quad\sex{n\to\infty}\\ &\ra f'(0)=\vlmc{x}{0}\f{f(x)-f(0)}{x}=A. }$$
3.2.1 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)\cdot f'(b)>0$. 证明: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使 $f(\xi)=0$. (哈尔滨工业大学, 华中理工大学, 华中师范大学)
3.2.2 设 $a,b,c$ 为三个实数, 证明: 方程 $\e^x=ax^2+bx+c$ 的根不超过三个. (浙江大学, 武汉汽车工业大学)
3.2.3 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上可微, $f(x)g'(x)\neq f'(x)g(x)$. 证明: $f(x)=0$ 的两个根之间至少夹 $g(x)=0$ 的一根. (上海交通大学)
3.2.4 设 $a^3-3b<0$, 试证: $x^3+ax^2+bx+c=0$ 仅有唯一实根.
3.2.5 设 $\dps{f(x)=\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x}x^n)}$, $x\in (0,+\infty)$. 证明: 函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恰有 $n$ 个零点. (清华大学)
3.2.6 证明 Tschebyscheff-Laguerre 多项式 $$\bex L_n(x)=\e^x\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x}x^n) \eex$$ 的所有实根都为正的.
3.2.7 证明: Tschebyscheff-Hermite 多项式 $$\bex H_n(x)=(-1)^n \e^{x^2}\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x^2}) \eex$$ 的所有根都是实数.
3.2.8 证明: 当 $\dps{\f{a_0}{n+1}+\f{a_1}{n}+\cdots+\f{a_{n-1}}{2}+a_n=0}$ 时, 方程 $$\bex a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n=0 \eex$$ 在 $(0,1)$ 内至少有一实根. (南京邮电大学)
3.2.9 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $x>a$ 时, $f'(x)>k>0$ ($k$ 为常数), 证明: 当 $f(a)<0$ 时方程 $f(x)=0$ 在区间 $\sex{a,a-\f{f(a)}{k}}$ 内有且只有一个根. (湘潭大学, 西安交通大学, 西安电子科技大学等)
3.2.10 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数, 且 $f''(x)>0$, $$\bex \vlmc{x}{+\infty}f'(x)=\al>0,\quad \vlmc{x}{-\infty}f'(x)=\be<0, \eex$$ 又存在一点 $x_0$, 使 $f(x_0)<0$, 试证明: 方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根. (上海交通大学, 浙江大学)
3.2.11 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内可微, 且满足不等式 $$\bex 0\leq f(x)\leq \ln\f{2x+1}{x+\sqrt{x^2+1}},\ \forall\ x\in (0,+\infty). \eex$$ 试证明存在一点 $\xi\in (0,+\infty)$, 使得 $\dps{f'(\xi)=\f{2}{2\xi+1}-\f{1}{\sqrt{1+\xi^2}}}$.
3.2.12 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 内可微, 且 $f(a)<0$, $f(b)<0$, 又有一点 $c\in(a,b)$, $f(c)>0$. 证明: 存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$. (西北大学)
3.2.13 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可微. 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)f(1-\xi)=f(\xi)f'(1-\xi)$. (华中理工大学)
3.2.14 假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在二阶导数, 并且 $g''(x)\neq 0$, $f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 试证: (1) 在开区间 $(a,b)$ 内 $g(x)\neq 0$; (2) $(a,b)$ 内至少存在 $\xi$, 使得 $\dps{\f{f(\xi)}{g(\xi)}=\f{f''(\xi)}{g''(\xi)}}$. (数学一)
3.2.15 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负且三阶可导, 方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有两个不同实根, 证明存在 $\xi\in(a,b)$, 使 $f^{(3)}(\xi)=0$. (华中师范大学)
3.2.16 (综合试题) 设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上可微, 且满足 $$\bex f(1)-2\int_0^\f{1}{2}f(x)\rd x=0. \eex$$ 求证: 在 $(0,1)$ 内至少有一点 $\xi$, 使得 $\dps{f'(\xi)=-\f{f(\xi)}{\xi}}$.
3.2.17 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, 过点 $A(a,f(a))$ 与 $B(b,f(b))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于 $C(c,f(c))$, 其中 $a<c<b$. 证明: 在 $(a,b)$ 中至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$. (华中师范大学)
3.2.18 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 上二阶可微, 并且 $f(a)=f(b)$. 证明: 若存在一点 $c\in (a,b)$, 使得 $f(c)>f(a)$, 则必存在三点 $\xi,\eta,\zeta\in (a,b)$, 使得 $f'(\xi)>0$, $f'(\eta)<0$, $f''(\zeta)<0$. (吉林大学, 北京师范大学, 国防科技大学)
3.2.19 函数 $f(x)$ 在 $[0,x]$ 区间上的拉格朗日中值公式为 $$\bex f(x)-f(0)=f'(\tt x)x,\qwz{其中 } 0<\tt<1, \eex$$ 且 $\tt$ 是与 $f(x)$ 与 $x$ 有关的量, 对 $f(x)=\arctan x$, 求当 $x\to 0^+$ 时 $\tt$ 的极限值. (武汉大学)
3.2.20 设 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续, 在 $(1,2)$ 内可微. 证明: 存在 $\xi\in (1,2)$ 使得 $$\bex f(2)-f(1)=\f{1}{2}\xi^2 f'(\xi). \qwz{北京科技大学} \eex$$
3.2.21 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有三阶导数. 试证: 存在点 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex f(b)=f(a)+\f{1}{2}(b-a)[f'(a)+f'(b)] -\f{1}{12}(b-a)^3f'''(\xi). \eex$$
3.2.22 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f''(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在, 试证: $\forall\ c:\ a<c<b$, $\exists\ \xi\in(a,b)$, 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \eex$$
3.2.23 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可微, $b>a>0$, 证明: 在 $(a,b)$ 内存在 $x_1,x_2,x_3$, 使得 $$\bex \f{f'(x_1)}{2x_1}=(b^2+a^2)\f{f'(x_2)}{4x_2^2} =\f{\ln \f{b}{a}}{b^2-a^2}x_3\cdot f'(x_3).\qwz{四川大学} \eex$$
3.2.24 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $a\geq 0$ (或 $b\leq0$). 试证: (1) $\exists\ x_1,x_2,x_3\in (a,b)$, 使得 $$\bex f'(x_1)=(b+a)\f{f'(x_2)}{2x_2} =(b^2+ba+a^2)\f{f''(x_3)}{3x_3^2};\qwz{南京航空航天大学} \eex$$ (2) $\forall\ n\in \sed{1,2,\cdots}$, $\exists\ x_1,x_2,\cdots,x_n\in (a,b)$, 使得 $$\bex f'(x_1)=(b+a)\f{f'(x_2)}{2x_2} =\cdots=(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+ba^{n-2} +a^{n-1})\f{f'(x_n)}{nx_n^{n-1}}. \eex$$
3.2.25 设 $f(x)$ 在有限区间 $(a,b)$ 内可微, 试证: (1) 若 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内亦有界; (北京师范大学) (2) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内无解, 则 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内亦无界. (华东师范大学)
3.2.26 设 $f$ 在 $[a,b]$ 中任意两点都具有介值性质: $c_1,c_2\in [a,b]$, $\forall\ r:f(c_1)<r<f(c_2)$, $\exists\ c$ 在 $c_1,c_2$ 之间, 使得 $f(c)=r$. 而且 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导, $|f'(x)|\leq k$ (正常数) $\forall\ x\in (a,b)$. 试证: $f$ 在点 $a$ 右连续. (同理在 $b$ 左连续) (华东师范大学)
3.2.27 设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的可微函数. (1) 若 $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 存在且有限, 问 $\dps{\vlmp{x}f'(x)}$ 是否必定存在? (云南大学) (2) 如果 $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 与 $\dps{\vlmp{x}f'(x)}$ 都存在且有限, 那么必有 $\dps{\vlmp{x}f'(x)=0}$, 试证明之. (云南大学, 哈尔滨工业大学等)
3.2.28 设 $f(x)$ 于 $(0,1)$ 内可微, 且满足 $|f'(x)|\leq 1$, 求证: $\dps{\vlm{n}f\sex{\f{1}{n}}}$. (哈尔滨工业大学)
3.2.29 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, 在 $(0,+\infty)$ 内可微, $f(0)=0$. 试证: (1) 若 $f'(x)$ 单调增加, 则 $\dps{g(x)=\f{f(x)}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加. (同济大学, 武汉水利电力大学, 成都科技大学等) (2) 若 $f'(x)$ 单调递减, 则 $\dps{\f{f(x)}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递减. (中国科学院)
3.2.30 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $(a,b)$ 内可微, 若存在极限 $\dps{\vlmc{x}{a^+}f'(x)=l}$, 则右导数 $f'_+(a)$ 存在且等于 $l$. (北京大学, 湖北大学)
3.2.31 设 $\dps{f(x)=\seddm{ |x|,&x\neq 0,\\ 1,&x=0. }}$ 证明: 不存在一个函数以 $f$ 为其导函数. (中国科学院)
3.2.32 证明: 若 $f''(0)$ 存在 (有限), 则 $$\bex \vlm{h}{0}\f{f(2h)-2f(0)+f(-2h)}{4h^2}=f''(0).\qwz{北京师范大学} \eex$$
3.2.33 将上题结果推广到一般情况, 即若 $f^{(n)}(0)$ 存在 (有限), 则 ($n$ 为自然数) $$\bex \vlmc{h}{0}\sum_{k=0}^n C_n^k\f{(-1)^kf[(n-2k)h]}{(2h)^n}=f^{(n)}(0).\qwz{北京师范大学} \eex$$
3.2.34 (Schwarz 定理) 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)$ 的广义二阶导数 $$\bex f^{[2]}(x)=\vlmc{h}{0^+}\f{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^2} \eex$$ 存在, 且恒为零. 试证: $$\bex f(x)=Ax+B,\ (A,B\mbox{ 为常数}). \eex$$
3.2.35 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)<f(b)$, 又设对一切 $x\in (a,b)$, $\dps{\vlmc{t}{0}\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示这一极限值. 试证: 存在 $c\in (a,b)$, 使得 $g(c)\geq 0$. (南开大学) (注意题目未假定导数存在)
3.3.1 求 $\e^{2x-x^2}$ 包含 $x^5$ 项的 Taylor 展开式. (北京大学).
3.3.2 设 $f(x)$ 在无穷区间 $(x_0,+\infty)$ 上可微分, 并且 $\dps{\vlmp{x}f(x)=\vlmc{x}{x_0^+}f(x)}$ 存在且有限, 试证: 在区间 $(x_0,+\infty)$ 内至少有一点 $\xi$, 满足 $f''(\xi)=0$. (山东大学)
3.3.3 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续二阶导数, 又设 $f(0)>0$, $f'(0)<0$, $f''(x)<0\ (x\in [0,+\infty))$. 试证: 在区间 $\dps{\sex{0,-\f{f(0)}{f'(0)}}}$ 内至少有一个点 $\xi$, 使得 $f(\xi)=0$. (厦门大学)
3.3.4 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域里存在四阶导数, 且 $|f^{(4)}(x)|\leq M$. 试证: 对于此邻域异于 $x_0$ 的任何 $x$ 均有 $$\bex \sev{f''(x_0)-\f{f(x)-2f(x_0)+f(x')}{(x-x_0)^2}} \leq \f{M}{12} (x-x_0)^2, \eex$$ 其中 $x'$ 与 $x$ 关于 $x_0$ 对称.
3.3.5 设 (1) $f(x),f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续; (2) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在; (3) $f(a)=f(b)=0$; (4) 在 $(a,b)$ 内存在点 $c$, 使 $f(c)>0$. 求证: 在 $(a,b)$ 内存在 $\xi$, 使 $f''(\xi)<0$. (四川联合大学)
3.3.6 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\min_{0\leq x\leq 1}f(x)=-1}$, 求证: $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f''(x)\geq 8}$. (华中师范大学, 湖南大学, 北京师范大学)
3.3.7 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有二阶导数, 且当 $0\leq x\leq 1$ 时, 恒有 $|f(x)|\leq a$, $|f'(x)|\leq b$. 证明: 当 $0<x<1$ 时, $\dps{|f'(x)|\leq 2a+\f{b}{2}}$. (数学一)
3.3.8 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二次可微, $|f''(x)|\leq M\ (0\leq x\leq 1)$, $M>0$, $\dps{f(0)=f(1)=f\sex{\f{1}{2}}=0}$. 证明: $\dps{|f''(x)|<\f{M}{2}\ (0\leq x\leq 1)}$. (华中理工大学)
3.3.9 设函数 $f(x),g(x),p(x)$ 有连续二阶导数, 试求 $$\bex \vlmc{h}{0}\f{1}{h^3}\sevm{ f(x)&g(x)&p(x)\\ f(x+h)&g(x+h)&p(x+h)\\ f(x+2h)&g(x+2h)&p(x+2h) }.\qwz{华中师范大学} \eex$$
3.3.10 若当 $x\to 0$ 时使 $\dps{\e^x-\f{1+ax}{1+bx}}$ 为尽可能高阶的无穷小量, 问数 $a,b$ 应取什么值? 用 $x$ 的幂级数写出此时的等价无穷小.
3.3.11 设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上二次可微, $\dps{f'\sex{\f{a+b}{2}}=0}$. (1) 试证 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex |f''(\xi)|\geq \f{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|; \eex$$ 说明常数 $4$ 是最好的 (即对任何 $M>4$, 总可找一具体的 $[a,b]$, 及其上满足条件的 $f(x)$, 使对一切 $\xi\in (a,b)$, 都有 $\dps{|f''(\xi)|<\f{M}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|}$). (2) 如果再设 $f(x)\neq$ 常数, 试证存在 $\eta\in (a,b)$, 使得 $$\bex |f''(\eta)|> \f{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|.\qwz{南开大学} \eex$$
3.4.1 (1) 设 $b>a>\e$, 证明: $a^b>b^a$; (数学一) (2) 比较 $\pi^\e$ 与 $\e^\pi$ 的大小. (复旦大学)
3.4.2 设 $0<b\leq a$, 证明: $\dps{\f{a-b}{a}\leq \ln \f{a}{b}\leq \f{a-b}{b}}$. (兰州大学, 四川大学, 华中理工大学等)
3.4.3 证明: $\dps{2^n\geq 1+n\sqrt{2^{n-1}}}$ ($n\geq 1$ 为自然数). (北京邮电大学)
3.4.4 设 $f(x)$ 定义在 $[0,c]$ 上, $f'(x)$ 存在且单调下降, $f(0)=0$, 请用 Lagrange 中值定理证明: 对于 $0\leq a\leq b\leq a+b\leq c$, 恒有 $f(a+b)\leq f(a)+f(b)$. (复旦大学)
3.4.5 试证: 当 $x>0$ 时, $(x^2-1)\ln x\geq (x-1)^2$. (数学一)
3.4.6 设在 $[0,1]$ 上, $f''(x)>0$, 则 $f'(0),f'(1),f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是 ( ). (数学一) A. $f(1)>f'(0)>f(1)-f(0)$ B. $f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0)$ C. $f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)$ D. $f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)$
3.4.7 已知在 $x>-1$ 里定义的可微函数 $f(x)$ 满足 $$\bex f'(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0 \eex$$ 和 $f(0)=1$. (1) 求 $f'(x)$; (2) 证明: $f(x)$ 在 $x\geq 0$ 满足 $ e^{-x}\leq f(x)\leq 1. $ (大连理工大学)
3.4.8 已知 $x<0$, 求证: $\dps{\f{1}{x}+\f{1}{\ln(1-x)}<1}$. (中国地质大学)
3.4.9 证明: $\dps{\f{\e^a-\e^b}{a-b}<\f{\e^a+\e^b}{2}}$. (国外赛题)
3.4.10 证明: 对自然数 $n$, 有 $$\bex 0<\f{\e}{\sex{1+\f{1}{n}}^n}-1<\f{1}{2n}. \eex$$
3.4.11 $x>1$, $r>1$, 证明: $$\bex x^r>1+r(x-1)+\f{1}{2}r(r-1)\sex{\f{x-1}{x}}^2. \eex$$
3.4.12 设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内二阶可导, 且 $\dps{|g''(x)|\geq m>0}$ ($m$ 为常数), 又 $g(a)=g(b)=0$. 证明: $\dps{ \max_{a\leq x\leq b}|g(x)|\geq \f{m}{8}(b-a)^2}$. (北京师范大学)
3.4.13 证明 $\dps{\sex{\f{\sin x}{x}}^3\geq \cos x\ \sex{0<|x|<\f{\pi}{2}}}$. (国外赛题)
3.4.14 设 $0<x<y<1$ 或 $1<x<y$, 则 $\dps{\f{y}{x}>\f{y^x}{x^y}}$. (中国科学院)
3.4.15 若 $p>1$, 则对于 $[0,1]$ 内任一 $x$ 有 $$\bex x^p+(1-x)^p\geq \f{1}{2^{p-1}}.\qwz{南京邮电大学} \eex$$
3.4.16 设 $n$ 为自然数, $0<x<1$, 证明: $$\bex x^n(1-x)<\f{1}{\e n}.\qwz{江西师范大学} \eex$$
3.4.17 设 $0<x<1$, 试证: $$\bex \sum_{i=1}^n x^i(1-x)^{2i}\leq \f{4}{23}. \qwz{中国科学院} \eex$$
3.4.18 求出使得下列不等式对所有自然数 $n$ 都成立的最大的数 $\al$ 及最小的数 $\be$: $$\bex \sex{1+\f{1}{n}}^{n+\al}\leq \e\leq \sex{1+\f{1}{n}}^{n+\be}.\qwz{中国科学院, 北京师范大学} \eex$$
3.4.19 证明: (1) 二凸函数之和仍为凸函数; (2) 二递增非负凸函数之积仍为凸函数.
3.4.20 设 $0<\al<1$, $x,y\geq 0$, 证明: $$\bex x^\al y^{1-\al}\leq \al x+(1-\al)y.\qwz{华中理工大学} \eex$$
3.4.21 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $\forall\ x_1,x_2\in [a,b]$, $0\leq \lm\leq 1$, 有 $f[\lm x_1+(1-\lm )x_2]\geq \lm f(x_1)+(1-\lm )f(x_2)$, 试证: 对任何 $T\in (0,b-a)$ 必存在 $x_0\in (a,b)$, 使 $x_0+T\in [a,b]$, $$\bex \f{f(x_0+T)-f(x_0)}{T} =\f{f(b)-f(a)}{b-a}. \eex$$ 即在 $[a,b]$ 上曲线 $y=f(x)$ 有任意长度 (不超过端点弦) 平行端点弦的弦. (广西大学)
3.4.22 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足 $f''(x)>0$, 试证: 对于 $[a,b]$ 上任意两个不同的点 $x_1,x_2$ 有 $$\hj{ \f{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]>f\sex{\f{x_1+x_2}{2}}.\qwz{陕西师范大学, 天津大学等} }$$
3.4.23 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的严格凹函数, 即 $$\bex f(\lm x_0+(1-\lm)x_1)>\lm f(x_0)+(1-\lm)f(x_1),\quad \forall\ x_0,x_1\in I,\ \forall\ \lm\in (0,1). \eex$$ 试证: 若 $f$ 有极大值 $f(x_0)$, 则 $f(x_0)$ 必为 $f$ 在 $I$ 上的严格最大值, 即 $\forall\ x\in I$, 有 $f(x)<f(x_0)$. 因而 $f$ 的极大值若有必唯一.
3.5.1 试确定 $a,b,c$ 使 $y=x^3+ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处有拐点, 在 $x=0$ 处有极大值 $1$. (无锡轻工业学院)
3.5.2 设 $\dps{F(x)=\int_0^x \e^{-t} \cos t\rd t}$. 试求 $F(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的极大值与极小值. (北方交通大学)
3.5.3 作函数 $f(x)=|x+2|\e^{-\f{1}{x}}$ 图. (清华大学)
3.5.4 写出下列函数的渐近线: (1) 曲线 $\dps{y=x\sin \f{1}{x}\ (x>0)}$. (数学一) (2) 曲线 $\dps{y=\f{1+\e^{-x^2}}{1-\e^{-x^2}}}$. (数学一)
3.5.5 已知一直线切曲线 $y=0.1x^3$ 于 $x=2$, 且交此此曲线于另一点, 求此点坐标. (上海科技大学)
3.5.6 试在一半径为 $R$ 的半圆内作一面积最大的矩形. (山东大学)
3.5.7 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 其导函数 $f'(x)$ 的图像如图所示, 问函数 $f(x)$ 由几个极大、极小值点. (数学一)
3.5.8 设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上定义的严格递增函数, $g(x)$ 是某区间 $I$ 上的函数, $x_0\in I$ 为内点 ($\exists\ \del>0$, 使得 $U(x_0,\del)\subset I$), 试证: (1) $x=x_0$ 为 $g(x)$ 的极大 (极小) 值点 $\lra f(g(x))$ 亦以 $x=x_0$ 为极大 (极小) 值点. (2) 函数 $g(x)$ 无极值 $\lra f(g(x))$ 亦无极值. $f$ 在 $\bbR$ 上严 $\searrow$ 有类似结论.
3.5.9 设 $g(x),h(x)$ 是某区间 $I$ 上的两函数, $g(x)\neq h(x)$, 且 $h\neq 0$, 试证: 只有如下两种可能性: (1) $\f{g(x)}{h(x)}$ 无极值 $\lra\f{g(x)-h(x)}{g(x)+h(x)}$ 亦无极值; (2) $\f{g(x)}{h(x)}$ 与 $\f{g(x)-h(x)}{g(x)+h(x)}$ 有相同的极大、极小值点.
3.5.10 证明: 函数 $\dps{f(x)=\f{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-2)}}$ 在 $(1,2)$ 内无极值.
3.5.11 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 且在 $I$ 上无恒等于零的子区间, 若 $f(x)$ 在 $I$ 上既有极大值又有极小值, 试证: 其极大、极小值只可能交替地出现, 并且每个极大值必比与之相邻的极小值大.
3.5.12 一个圆锥面如果沿某一母线剪开, 展平, 就会得到一个扇形. 反之, 每个扇形可卷成圆锥面, 问半径为 $R$ 的扇形中心角多大时, 卷成的圆锥面容积最大?
3.5.13 求椭圆 $x^2+\f{y^2}{4}=1$ 在第一象限部分的切线, 使它被坐标轴截下的线段最短.
