参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
4.1.1 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(x)>0$, 求极限 $\vlm{n}\sqrt[n]{f\sex{\f{1}{n}}f\sex{\f{2}{n}}\cdots f\sex{\f{n-1}{n}}f(1)}$.
4.1.2 考虑积分 $\dps{\int_0^1 (1-x)^n\rd x}$, 证明 $$\bex C_n^0-\f{1}{2} C_n^1+\f{1}{3}C_n^2-\cdots+\f{(-1)^n}{n+1}C_n^n =\f{1}{n+1}. \eex$$
4.1.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 而且对任何 $x\in (0,1)$ 有 $|f'(x)|\leq M$. 求证: 对任何正整数 $n$ 有 $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x-\f{1}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{\f{i}{n}}\leq \f{M}{n}}$, 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数. (南开大学)
4.1.4 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数, 且在 $[0,T]$ 上可积. 试证: $$\bex \vlm{n}\int_a^b f(x)g(\lm x)\rd x=\f{1}{T}\int_0^T g(x)\rd x\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$
4.1.5 设 $s(x)=4[x]-2[2x]+1$ 其中 $[x]$ 代表数 $x$ 的整数部分 (即不超过 $x$ 的整数之最大值), $n$ 代表自然数, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积. 证明 $$\bex \vlm{n}\int_0^1 f(x)s(nx)\rd x=0.\qwz{兰州大学} \eex$$
4.1.6 设 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, $f_0(x)>0$. $$\bex f_n(x)=\sqrt{\int_0^x f_{n-1}(t)\rd t},\ n=1,2,\cdots. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{n}f_n(x),\ (x\in [0,1])}$.
4.1.7 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$, $g(x)>0$. 求 $\dps{\vlm{p}\sex{\int_a^b g(x)f^p(x)\rd x}^\f{1}{p^2}}$.
4.1.8 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二次可微, 且 $f''(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $$\bex B_n=\int_a^b f(x)\rd x-\f{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{a+(2i-1)\f{b-a}{2n}}. \eex$$ 试证: $\dps{\vlm{n}n^2B_n=\f{(b-a)^2}{24}[f'(b)-f'(a)]}$.
4.1.9 设 $$\bex A_n=\f{1}{n+1}+\f{1}{n+2}+\cdots+\f{1}{2n},\quad B_n=\f{2}{2n+1}+\f{2}{2n+3}+\cdots+\f{2}{4n-1}. \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}n[\ln 2-A_n]=\f{1}{4},\quad \vlm{n}n^2[\ln 2-B_n]=\f{1}{32}. \eex$$
4.1.10 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $\dps{f_{in}=f\sex{a+i\f{b-a}{n}}}$. 试利用不等式 $$\bex |\ln(1+x)-x|\leq 2x,\ \sex{|x|<\f{1}{2}} \eex$$ 证明 $\dps{\vlm{n}\sex{1+f_{1n}\f{b-a}{n}} \sex{1+f_{2n}\f{b-a}{n}}\cdots \sex{1+f_{nn}\f{b-a}{n}}=\e^{\int_0^1 f(x)\rd x}}$.
4.1.11 设 $f(x)$ 是在 $[-1,1]$ 上可积在 $x=0$ 处连续的函数, 记 $\dps{\varphi_n(x)=\seddm{ (1-x)^n,&0\leq x\leq 1,\\ \e^{nx},&-1\leq x\leq 0. }}$ 证明: $\dps{\vlm{n}\f{n}{2}\int_0^1 f(x)\varphi_n(x)\rd x=f(0)}$. (浙江大学)
4.1.11 设 $\dps{f(x)=\int_x^{x^2} \sex{1+\f{1}{2t}}^t \sin\f{1}{\sqrt{t}}\rd t\ (x>0)}$. 求 $\dps{\vlm{n}f(n)\sin \f{1}{n}}$. (福建师范大学)
4.2.1 设函数 $f(u)$ 在区间 $[A,B]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 当 $x\in [a,b]$ 时, $A\leq g(x)\leq B$. 试用各种不同的方法证明 $f[g(x)]$ 在 $[a,b]$ 上可积.
4.2.2 试用多种方法证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, 设 (1) $\dps{f(x)=\sgn\sex{\sin\f{\pi}{x}}}$; (2) $\dps{f(x)=\seddm{ \f{1}{x}-\sez{\f{1}{x}},&x\neq 0\\ 0,&x=0 }}$.
4.2.3 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证 $\max\sed{f(x),g(x)}$ 及 $\min\sed{f(x),g(x)}$ 在 $[a,b]$ 上亦可积.
4.2.4 试用定理 3 重新证明 Riemann 函数在 $[0,1]$ 上可积.
4.2.5 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $[f(x)]$ 表示 $f(x)$ 的值取整数部分. 试问 $[f(x)]$ 在 $[a,b]$ 上是否一定可积.
4.2.6 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证: 对于 $[a,b]$ 上任一可积函数 $g(x)$, 恒有 $\dps{\int_a^b f(x)g(x)\rd x=0}$, 则函数 $f(x)$ 在连续点上恒为零.
4.2.7 设在 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足如下条件: 对 $[-1,1]$ 上的任意的偶连续函数 $g(x)$, 积分 $\dps{\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x=0}$. 试证: $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的奇函数. (武汉大学)
4.3.1 证明: (1) $\dps{\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}<\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \e^{-x^2}\rd x<\sqrt{2}}$; (2) $\dps{0<\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x}{x}\rd x<\frac{\pi^3}{144}}$; (3) $\dps{\frac{2}{9}\pi^2\leq \int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2}\frac{2x}{\sin x}\rd x\leq \frac{4}{9}\pi^2}$.
4.3.2 证明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$.
4.3.3 求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大学)
4.3.4 把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$: (1) $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负; (2) $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证明: $\dps{\inf_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0}$, 但不存在 $\varphi\in F$, 使 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$. (厦门大学)
4.3.5 若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续, 且 $f'(x)\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}. \eex$$ (东北师范大学)
4.3.6 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)\searrow$, $|f'(x)|\geq m>0$, 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{m}. \eex$$
4.3.7 $f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x. \eex$$
4.3.8 将条件 $f(x)\neq 0$ 换为 $f''(x)<0$, 重新证明例 4.3.5.
4.3.9 证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t<\frac{\pi^2n^2}{4}}$.
4.3.10 对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t<\frac{2+\ln n}{2}. \eex$$
4.3.11 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al<\beta\leq b$), 不等式 $$\bex \sev{\int_\al^\beta f(x)\rd x}\leq M|\beta-\al|^{1+\delta}\quad (M,\delta\mbox{ 是正常数}) \eex$$ 成立. 证明: 在 $[a,b]$ 上, $f(x)\equiv 0$. (国外赛题)
4.3.12 证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 则 $f(x)\equiv 0$. (上海师范大学)
4.3.13 证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数.
4.3.14 设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明: (1) $F(x)$ 对任何 $x$ 有连续导数; (2) 在任意闭区间 $[a,b]$ 上, 当 $\delta$ 足够小时, 可使 $F(x)$ 与 $f(x)$ 一致逼近 (即任给 $\ve>0$, 对一切 $x\in [a,b]$ 均有 $|F(x)-f(x)|<\ve$). (华东师范大学)
4.3.15 $[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$. 证明: 存在自然数 $N$ 及定数 $c_1,c_2,\cdots,c_N$ 使 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $\dps{\max_{x\in [a,b]} \sev{\sum_{k=1}^n c_k\varphi_k(x)}>100}$. (扬州师范学院)
4.3.16 按牛顿二项式展开及代换 $x=\sin t$ 两种方法计算积分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. \eex$$
4.3.17 设在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t. \eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函数表达式. (复旦大学)
4.3.18 设 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学)
4.3.19 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$. (中国科学技术大学)
4.3.20 设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x. \eex$$ (华中师范大学)
4.3.21 设 $f(x)$ 的一阶导数在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求证: $\dps{\sev{\int_0^1 f(x)\rd x}\leq \frac{1}{4}\max_{0\leq x\leq 1}|f'(x)|}$. (清华大学)
4.3.22 设 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$. (北京大学)
4.3.23 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证: (1) $F'(x)\geq 2$; (2) $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且仅有一个实根. (华中师范大学)
4.3.24 设 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\dps{|f(x)|<\frac{1}{x}}$. (北京工业大学)
4.3.25 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.
4.3.26 设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x\geq 0;\quad a_{2n+1}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos (2n+1)x\rd x\leq 0. \eex$$
4.3.27 设 $f(x)$ 是 $[0,2\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx\rd x\geq 0. \eex$$
4.3.28 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 试证: $f(x)$ 为凸的充分必要条件是 $$\bex f(x)\leq\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t \eex$$ 对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset [a,b]$ 时成立.
4.4.1 证明: $\dps{0.83<\int_0^1\frac{\rd x}{\sqrt{1+x^4}}<0.95}$.
4.4.2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=0$. 试证: $$\bex M^2\leq (b-a)\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 其中 $\dps{M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}$.
4.4.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 并且 $f(1)-f(0)=1$. 证明 $$\bex \int_0^1 f'^2(x)\rd x\geq 1. \eex$$ (国外赛题)
4.4.4 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微 ($0<a<b$), $f(a)=f(b)=0$, $\dps{\int_a^b f^2(x)\rd x=1}$. 试证: $$\bex \int_a^b x^2f'^2(x)\rd x>\frac{1}{4}. \eex$$
4.4.5 试证: $$\bex 0<q<p\ra \ln \frac{p}{q}\leq \frac{p-q}{\sqrt{pq}}. \eex$$
4.4.6 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数, $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\bex \int_a^b |f(x)f'(x)|\rd x\leq \frac{b-a}{4}\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 并且 $\dps{\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
4.4.7 若 $u_1,u_2,\cdots,u_n\geq 0$, $u_1\cdot u_2\cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+\cdots+u_n\geq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理).
4.4.8 设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是正数, 且 $n\geq 1$. 证明: $$\bex \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq \frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$ (中山大学)
4.4.9 设 $f(x)$ $\nearrow$ 连续 (当 $x\geq 0$ 时), $f(0)=0$, $a,b\geq 0$, 试证: $ab\leq af(a)+bf^{-1}(b)$.
4.4.10 若 $\forall\ i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0$, 则 $a_i,b_i$ 称为似序的. 若恒有相反的不等式, 则称之为反序的. 试证: $a_i,b_i$ 似序时 $$\bex \sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i\leq n \sum_{i=1}^n a_ib_i, \eex$$ $a_i,b_i$ 反序时不等式反号. 等号当且仅当 $a_1=\cdots=a_n$ 或 $b_1=\cdots =b_n$ 时成立. (Chebyshev)
4.5.1 计算 (1) $\dps{\int_a^b \frac{\rd x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\ (b>a)}$. (2) $\dps{\int_{-1}^1 \frac{\rd x}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}\ (a>1)}.$
4.5.2 计算 $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\rd x}{(x^2+2x+2)^n}}$. (中国科学院)
4.5.3 求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续).
4.5.4 计算 $\dps{\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x}$.
4.5.5 计算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.
4.5.6 证明 $\dps{\int_0^\infty f\sez{\sex{Ax-\frac{B}{x}}^2}\rd x=\frac{1}{A}\int_0^\infty f(y^2)\rd y}$ (其中左、右积分存在, 且 $A,B>0$).
4.5.7 研究下列积分的收敛性: (1) $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x}$ ($n$ 为自然数). (2) $\dps{\int_0^{+\infty} \sin^2\sez{\pi\sex{x+\frac{1}{x}}}\rd x}$.
4.5.8 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 时, $f'(x)$ 单调递增趋于 $+\infty$, 则 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \cos f(x)\rd x \eex$$ 都收敛.
4.5.9 设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<+\infty}$, 求证: $$\bex \frac{1}{n}\int_0^n xf(x)\rd x\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ (中国科学院)
4.5.10 证明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{\e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.
4.5.11 设 $f(x)$ 是 $0\leq x<\infty$ 上的非负连续函数并满足 (1) 在 $0\leq x<\infty$ 上存在有界导数 $f'(x)$; (2) $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<\infty}$. 求证: $\dps{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$. (山东大学)
4.5.12 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收敛. 问能否断定: $\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)
4.5.13 设 $f(x)$ 于任一有限区间 $[0,a]\ (a>0)$ 上正常可积, 于 $[0,\infty)$ 上绝对可积, 则 $$\bex \vlm{n}\int_0^\infty f(x)|\sin nx|\rd x =\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\rd x. \eex$$ (南京大学)
4.5.14 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to\infty$ 时, $$\bex \int_t^\infty p(\tau)\e^{\lm \tau}\rd \tau=o(t^{N+1})\e^{\lm t}. \eex$$ (北京师范大学)
4.5.15 $\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2,\quad \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{\e}. \eex$$
4.5.16 例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $\dps{\vlm{n}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}}}$ 存在, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$ 可以不收敛.
4.5.17 已知积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$. (华北电力学院)
4.5.18 证明: $$\bex \int_0^\infty \frac{\rd x}{1+x^4}=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\rd x=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}. \eex$$ (北京航空航天大学)
