浅析SkipList跳跃表原理及代码实现

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浅析SkipList跳跃表原理及代码实现

指尖的舞曲 2014-07-26 17:32:00 浏览576
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本文将总结一种数据结构:跳跃表。前半部分跳跃表性质和操作的介绍直接摘自《让算法的效率跳起来--浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》上海市华东师范大学第二附属中学 魏冉。之后将附上跳跃表的源代码,以及本人对其的了解。难免有错误之处,希望指正,共同进步。谢谢。

    跳跃表(Skip List)是1987年才诞生的一种崭新的数据结构,它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点,就是它的编程复杂度较同类的AVL树,红黑树等要低得多,这使得其无论是在理解还是在推广性上,都有着十分明显的优势。

    首先,我们来看一下跳跃表的结构

   跳跃表由多条链构成(S0,S1,S2 ……,Sh),且满足如下三个条件:

每条链必须包含两个特殊元素:+∞ 和 -∞(其实不需要)
S0包含所有的元素,并且所有链中的元素按照升序排列。
每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。
   操作

   一、查找
   目的:在跳跃表中查找一个元素x
   在跳跃表中查找一个元素x,按照如下几个步骤进行:
      1. 从最上层的链(Sh)的开头开始
      2. 假设当前位置为p,它向右指向的节点为q(p与q不一定相邻),且q的值为y。将y与x作比较
          (1) x=y  输出查询成功及相关信息
          (2) x>y  从p向右移动到q的位置
          (3) x<y  从p向下移动一格

      3. 如果当前位置在最底层的链中(S0),且还要往下移动的话,则输出查询失败

    二、插入
     目的:向跳跃表中插入一个元素x
     首先明确,向跳跃表中插入一个元素,相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定,即插入列的位置以及它的“高度”。
     关于插入的位置,我们先利用跳跃表的查找功能,找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则,x必然就插在y的后面。
     而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要,也更加难以确定。由于它的不确定性,使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后,保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质,我们引入随机化算法(Randomized Algorithms)。

     我们定义一个随机决策模块,它的大致内容如下:

 产生一个0到1的随机数r     r ← random() 
如果r小于一个常数p,则执行方案A,  if  r<p then do A 
否则,执行方案B         else do B 
     初始时列高为1。插入元素时,不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作,则将列的高度加1,并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次,模块要求执行的是B操作,我们结束决策,并向跳跃表中插入一个高度为i的列。


     我们来看一个例子:
     假设当前我们要插入元素“40”,且在执行了随机决策模块后得到高度为4
     步骤一:找到表中比40小的最大的数,确定插入位置

     步骤二:插入高度为4的列,并维护跳跃表的结构

    三、删除

    目的:从跳跃表中删除一个元素x
    删除操作分为以下三个步骤:

在跳跃表中查找到这个元素的位置,如果未找到,则退出 
将该元素所在整列从表中删除 
将多余的“空链”删除 


    我们来看一下跳跃表的相关复杂度:
 
       空间复杂度: O(n)       (期望)
       跳跃表高度: O(logn)  (期望)


    相关操作的时间复杂度:
      查找:  O(logn)    (期望)
      插入:  O(logn)    (期望)
      删除:  O(logn)   (期望)
  
    之所以在每一项后面都加一个“期望”,是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况,不过这种概率极其微小。

 

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    以下是自己学习时碰到的一些问题

    首先分配一个链表,用list.hdr指向,长度为跳跃表规定的最高层,说是链表,在以下代码中只是分配了一段连续的空间,用来指向每一层的开始位置。我们看到结构体nodeType中,有一个key,一个rec(用户数据),还有一个指向结构体的指针数组。


    一开始的那些图容易给人误解。如上图所示,例如每个节点的forward[2],就认为是跳跃表的第3层。List.hdr的forward[2]指向11,11的forward[2]指向30,30的forward[2]指向53。这就是跳跃表的第3层:11---30-----53。(准确的说每个forward都指向新节点,新节点的同层forward又指向另一个节点,从而构成一个链表,而数据只有一个,并不是像开始途中所画的那样有N个副本)。本人天资愚钝,看了挺长时间才把它在内存里的结构看清楚了,呵呵。  

 

SkipList在leveldb以及lucence中都广为使用,是比较高效的数据结构。由于它的代码以及原理实现的简单性,更为人们所接受。我们首先看看SkipList的定义,为什么叫跳跃表?

“     Skip lists  are data structures  that use probabilistic  balancing rather  than  strictly  enforced balancing. As a result, the algorithms  for insertion  and deletion in skip lists  are much simpler and significantly  faster  than  equivalent  algorithms  for balanced trees.   ”

译文:跳跃表使用概率均衡技术而不是使用强制性均衡,因此,对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。 

我们看一个图就能明白,什么是跳跃表,如图1所示:

                                                                 图1:跳跃表简单示例

如上图所示,是一个即为简单的跳跃表。传统意义的单链表是一个线性结构,向有序的链表中插入一个节点需要O(n)的时间,查找操作需要O(n)的时间。如果我们使用图1所示的跳跃表,就可以减少查找所需时间为O(n/2),因为我们可以先通过每个节点的最上面的指针先进行查找,这样子就能跳过一半的节点。比如我们想查找19,首先和6比较,大于6之后,在和9进行比较,然后在和12进行比较......最后比较到21的时候,发现21大于19,说明查找的点在17和21之间,从这个过程中,我们可以看出,查找的时候跳过了3、7、12等点,因此查找的复杂度为O(n/2)。查找的过程如下图2:

                                                                  图2:跳跃表查找操作简单示例

其实,上面基本上就是跳跃表的思想,每一个结点不单单只包含指向下一个结点的指针,可能包含很多个指向后续结点的指针,这样就可以跳过一些不必要的结点,从而加快查找、删除等操作。对于一个链表内每一个结点包含多少个指向后续元素的指针,这个过程是通过一个随机函数生成器得到,这样子就构成了一个跳跃表。这就是为什么论文“Skip Lists : A Probabilistic Alternative to Balanced Trees ”中有“概率”的原因了,就是通过随机生成一个结点中指向后续结点的指针数目。随机生成的跳跃表可能如下图3所示:

                                                                 图3:随机生成的跳跃表

跳跃表的大体原理,我们就讲述到这里。下面我们将从如下几个方面来探讨跳跃表的操作:

1、重要数据结构定义

2、初始化表

3、查找

4、插入

5、删除

6、随机数生成器

7、释放表

8、性能比较

(一)重要数据结构定义

      从图3中,我们可以看出一个跳跃表是由结点组成,结点之间通过指针进行链接。因此我们定义如下数据结构:

 

//定义key和value的类型
typedef int KeyType;
typedef int ValueType;
    
//定义结点
typedef struct nodeStructure* Node;
struct nodeStructure{
    KeyType key;
    ValueType value;
    Node forward[1];
};
    
//定义跳跃表
typedef struct listStructure* List;
struct listStructure{
    int level;
    Node header;
};

每一个结点都由3部分组成,key(关键字)、value(存放的值)以及forward数组(指向后续结点的数组,这里只保存了首地址)。通过这些结点,我们就可以创建跳跃表List,它是由两个元素构成,首结点以及level(当前跳跃表内最大的层数或者高度)。这样子,基本的数据结构定义完毕了。

 

(二)初始化表
     初始化表主要包括两个方面,首先就是header节点和NIL结点的申请,其次就是List资源的申请。

void SkipList::NewList(){
    //设置NIL结点
    NewNodeWithLevel(0, NIL_);
    NIL_->key = 0x7fffffff;
    //设置链表List
    list_ = (List)malloc(sizeof(listStructure));
    list_->level = 0;
    //设置头结点
    NewNodeWithLevel(MAX_LEVEL,list_->header);
    for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i){
        list_->header->forward[i] = NIL_;
    }
    //设置链表元素的数目
    size_ = 0;
}

void SkipList::NewNodeWithLevel(const int& level,
                                Node& node){
    //新结点空间大小
    int total_size = sizeof(nodeStructure) + level*sizeof(Node);
    //申请空间
    node = (Node)malloc(total_size);
    assert(node != NULL);
}

其中,NewNodeWithLevel是申请结点(总共level层)所需的内存空间。NIL_节点会在后续全部代码实现中可以看到。

(三)查找

    查找就是给定一个key,查找这个key是否出现在跳跃表中,如果出现,则返回其值,如果不存在,则返回不存在。我们结合一个图就是讲解查找操作,如下图4所示:

                                                       图4:查找操作前的跳跃表

如果我们想查找19是否存在?如何查找呢?我们从头结点开始,首先和9进行判断,此时大于9,然后和21进行判断,小于21,此时这个值肯定在9结点和21结点之间,此时,我们和17进行判断,大于17,然后和21进行判断,小于21,此时肯定在17结点和21结点之间,此时和19进行判断,找到了。具体的示意图如图5所示:

                                                        图5:查找操作后的跳跃表

bool SkipList::Search(const KeyType& key,
                      ValueType& value){
    Node x = list_->header;
    int i;
    for(i = list_->level; i >= 0; --i){
        while(x->forward[i]->key < key){
            x = x->forward[i];
        }
    }
    x = x->forward[0];
    if(x->key == key){
        value = x->value;
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}


(四)插入

 

      插入包含如下几个操作:1、查找到需要插入的位置   2、申请新的结点    3、调整指针。

我们结合下图6进行讲解,查找如下图的灰色的线所示  申请新的结点如17结点所示, 调整指向新结点17的指针以及17结点指向后续结点的指针。这里有一个小技巧,就是使用update数组保存大于17结点的位置,这样如果插入17结点的话,就指针调整update数组和17结点的指针、17结点和update数组指向的结点的指针。update数组的内容如红线所示,这些位置才是有可能更新指针的位置。

   

                                                    图6:插入操作示意图(感谢博主:来自cnblogs的qiang.xu )

bool SkipList::Insert(const KeyType& key,
                      const ValueType& value){
    Node update[MAX_LEVEL];
    int i;
    Node x = list_->header;
    //寻找key所要插入的位置
    //保存大于key的位置信息
    for(i = list_->level; i >= 0; --i){
        while(x->forward[i]->key < key){
            x = x->forward[i];
        }

        update[i] = x;
    }

    x = x->forward[0];
    //如果key已经存在
    if(x->key == key){
        x->value = value;
        return false;
    }else{
        //随机生成新结点的层数
        int level = RandomLevel();
        //为了节省空间,采用比当前最大层数加1的策略
        if(level > list_->level){
            level = ++list_->level;
            update[level] = list_->header;
        }
        //申请新的结点
        Node newNode;
        NewNodeWithLevel(level, newNode);
        newNode->key = key;
        newNode->value = value;

        //调整forward指针
        for(int i = level; i >= 0; --i){
            x = update[i];
            newNode->forward[i] = x->forward[i];
            x->forward[i] = newNode;
        }
        
        //更新元素数目
        ++size_;

        return true;
    }
}

(五)删除

 

    删除操作类似于插入操作,包含如下3步:1、查找到需要删除的结点 2、删除结点  3、调整指针

                                                                             图7:删除操作示意图(感谢博主qiang.xu 来自cnblogs)

bool SkipList::Delete(const KeyType& key,
                      ValueType& value){
    Node update[MAX_LEVEL];
    int i;
    Node x = list_->header;
    //寻找要删除的结点
    for(i = list_->level; i >= 0; --i){
        while(x->forward[i]->key < key){
            x = x->forward[i];
        }

        update[i] = x;
    }

    x = x->forward[0];
    //结点不存在
    if(x->key != key){
        return false;
    }else{
        value = x->value;
        //调整指针
        for(i = 0; i <= list_->level; ++i){
            if(update[i]->forward[i] != x)
                break;
            update[i]->forward[i] = x->forward[i];
        }
        //删除结点
        free(x);
        //更新level的值,有可能会变化,造成空间的浪费
        while(list_->level > 0
            && list_->header->forward[list_->level] == NIL_){
            --list_->level;
        }
        
        //更新链表元素数目
        --size_;

        return true;
    }
}

(六)随机数生成器

 

      再向跳跃表中插入新的结点时候,我们需要生成该结点的层数,使用的就是随机数生成器,随机的生成一个层数。这部分严格意义上讲,不属于跳跃表的一部分。随机数生成器说简单很简单,说难很也很难,看你究竟是否想生成随机的数。可以采用c语言中srand以及rand函数,也可以自己设计随机数生成器。

      此部分我们采用levelDB随机数生成器:

// Copyright (c) 2011 The LevelDB Authors. All rights reserved.
// Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
// found in the LICENSE file. See the AUTHORS file for names of contributors.


#include <stdint.h>

//typedef unsigned int           uint32_t;
//typedef unsigned long long     uint64_t;

// A very simple random number generator.  Not especially good at
// generating truly random bits, but good enough for our needs in this
// package.
class Random {
 private:
  uint32_t seed_;
 public:
  explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {
    // Avoid bad seeds.
    if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {
      seed_ = 1;
    }
  }
  uint32_t Next() {
    static const uint32_t M = 2147483647L;   // 2^31-1
    static const uint64_t A = 16807;  // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0
    // We are computing
    //       seed_ = (seed_ * A) % M,    where M = 2^31-1
    //
    // seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values
    // will be zero or M respectively.  For all other values, seed_ will end
    // up cycling through every number in [1,M-1]
    uint64_t product = seed_ * A;

    // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.
    seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));
    // The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to
    // repeat.  mod == M is not possible; using > allows the faster
    // sign-bit-based test.
    if (seed_ > M) {
      seed_ -= M;
    }
    return seed_;
  }
  // Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]
  // REQUIRES: n > 0
  uint32_t Uniform(int n) { return (Next() % n); }

  // Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.
  // REQUIRES: n > 0
  bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }

  // Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then
  // return "base" random bits.  The effect is to pick a number in the
  // range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.
  uint32_t Skewed(int max_log) {
    return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));
  }
};

其中核心的是 seed_ = (seed_ * A) % M这个函数,并且调用一次就重新更新一个种子seed。以达到随机性。

 

根据个人喜好,自己可以独立设计随机数生成器,只要能够返回一个随机的数字即可。

(七)释放表

      释放表的操作比较简单,只要像单链表一样释放表就可以,释放表的示意图8如下:

                                                                      图8:释放表

void SkipList::FreeList(){
    Node p = list_->header;
    Node q;
    while(p != NIL_){
        q = p->forward[0];
        free(p);
        p = q;
    }
    free(p);
    free(list_);
}


(八)性能比较

 

  我们对跳跃表、平衡树等进行比较,如下图9所示:

                                                                              图9:性能比较图

从中可以看出,随机跳跃表表现性能很不错,节省了大量复杂的调节平衡树的代码。

 

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