四边形面积探索

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四边形面积探索

哈沙给 2013-08-15 22:28:00 浏览336
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托勒密定理   ac+bd=mn

 

1.对角互补的四边形为什么一定有外接圆?

2.已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180° 

求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆)
证明:用反证法
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,刚C在圆外或圆内,
若C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。

3. 求证:四边形ABCD有外接圆的充要条件是S=√((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))其中a,b,c,d为四边形的四条 边长,p为周长一半。

 在四边形ABCD中,,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,设p=1/2(a+b+c+d),∠A+∠C=2θ,四边形面积为S
∵S△ABD=1/2ad×sinA
S△BCD=1/2bc×sinC
∴S=1/2adsinA+1/2bcsinC
4S²=(ad×sinA+bc×sinC)²
而BD²=a²+d²-2ad×cosA
=b²+c²-2bc×cosC
∴ad×cosA-bc×cosC=1/2(b²+c²-a²-d²)
故4S²+1/4(b²+c²-a²-d²)²
=(ad×sinA+bc×sinC)²+(ad×cosA-bc×cosC)²
=a²d²+b²c²-2abcd×cos2θ (2θ=A+C)
=a²d²+b²c²-2abcd(2cos²θ-1)
=(ad+bc)²-4abcd×cos²θ
于是 16S²=4(ad+bc)²-(b²+c²-a²-d²)²-4abcd×cos²θ
=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd×cos²θ
∴S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd×cos²θ]

 

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                        参考文献《俄罗斯平面几何问题集》哈尔滨工业大学出版社。

                                                       合肥工业大学翡翠湖校区

                                                               371信箱

                                                             王东(230601

 

 

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