从头到尾彻底理解KMP(转)

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从头到尾彻底理解KMP(转)

developerguy 2015-10-29 14:28:00 浏览570
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引言

    KMP原文最初写于2年多前的2011年12月,因当时初次接触KMP,思路混乱导致写也写得非常混乱,如此,留言也是骂声一片。所以一直想找机会重新写下KMP,但苦于一直以来对KMP的理解始终不够,故才迟迟没有修改本文。

    然近期因在北京开了个算法班,专门讲解数据结构、面试、算法,才再次仔细回顾了这个KMP,在综合了一些网友的理解、以及跟我一起讲算法的两位讲师朋友曹博、邹博的理解之后,写了9张PPT,发在微博上。一不做二不休,索性将PPT上的内容整理到了本文之中。

    KMP本身不复杂,但网上大部分的文章(包括本文的2011年版本)把它讲混乱了。下面,咱们从朴素匹配算法讲起,一步步从字符串的前缀后缀引入next数组,最后利用next 数组进行匹配,希望让大家对KMP有一个清晰的了解。

    

朴素匹配算法

    咱们先来看朴素匹配算法。假设现在原始串S串匹配到 i 位置,模式串T串匹配到 j 位置

 

  • 如果当前字符匹配成功,即s[i+j] == T[j]
    • i 不变,j++,继续匹配下一个字符
  • 如果失配,即S[i+j]! = T[j]
    • 令i++,j = 0,即每次匹配失败时,模式串T相对于原始串S向右移动一位。

    换言之,只要模式串匹配失败,那就往右边移动一位,简单直接,也干脆暴力。

    假定原始串S串为“acaabc”,模式串T 串为“aab”,那么模式串去匹配原始串的整个过程如下图所示:

    那KMP做了什么改进呢?KMP其实是在一步步往后匹配的过程中,后面的匹配会设法利用前面的匹配信息,从而减少不必要的匹配。

 

KMP算法

原理

    咱们首先给出KMP算法的结论:
  • 假设现在原始串S串匹配到 i 位置,模式串T串匹配到 j 位置
    • 如果当前字符匹配成功,即S[i] == T[j]
      • 令i++,j++,继续匹配下一个字符;
    • 如果失配,即S[i] != T[j]
      • 令i不变,j = next[j],(next[j] <= j - 1),即模式串T相对于原始串S向右移动了至少1位(换言之,当匹配失败时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值,即移动的实际位数:j - next[j] > =1)

步骤

  • ①寻找最长前缀、后缀
    • 对于Pj = p0 p1 ...pj-1 pj,查找字符串Pj的最大相等k前缀和k后缀
      • 即查找满足条件的最大的k,使得p0 p1 ...pk-1 pk = pj-k pj-k+1...pj-1 pj。如果给定的模式串为“abaabcaba”,那么它的各个前缀后缀的公共元素的最大长度值如下表格所示:
  • ②求next数组
    • 根据第①步骤中求得的各个最大前缀后缀的公共元素长度求得next 数组,相当于前者右移一位且初值赋为-1,如下表格所示:
  • ③匹配失配
    • 向右移动位数:j - next[j]           
      • 注:j 是模式串中失配字符的位置,且 j 从0开始计数。
    接下来,分别具体阐述这3个步骤。
 

前缀后缀

    如果给定的模式串是:“ABCDABD”,那么其各个前缀后缀字符串分别如下表格所示:
    也就是说,原字符串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表为(下简称最大长度表):
 
基于《最大长度表》匹配
    因为模式串中首尾可能会有重复的字符,故可得出下述结论:
失配时,模式串向右移动的位数为:已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

    下面,咱们就结合之前的最大长度表和上述结论,进行字符串的匹配。如果给定原始串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”,和模式串“ABCDABD”,现在要拿模式串去跟原始串匹配,如下图所示:

        

  • ①当模式串最后一个字符D跟原始串匹配时失配,显而易见,模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢?
    • 如果利用最原始的朴素匹配算法,那么把模式串不断的向右移动一位,直到全部字符实现匹配;
    • 事实上,因为此时已经匹配的字符数为6个(ABCDAB),然后根据《最大长度表》可得字符B对应的长度值为2,所以根据之前的结论,可知需要向右移动6 - 2 = 4 位。
  • ②模式串向右移动4位后,发现C处再度失配,因为此时已经匹配了2个字符(AB),且上一个字符B对应的最大长度值为0,所以向右移动:2 - 0 =2 位。
           
  • ③A与空格失配,向右移动1 位。
  • ④继续比较,发现D与C 失配,故向右移动的位数为:已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2,即向右移动6 - 2 = 4 位。
           
  • ⑤经历第④步后,发现匹配成功,过程结束。

          

最大长度表引出next 数组

    由上文,我们已经知道,字符串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度分别为:

 

 

    而且,根据这个表可以得出下述结论

 

  • 失配时,模式串向右移动的位数为:已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值
    上文利用这个表和结论进行匹配时,我们发现,当匹配到一个字符失配时,其实没必要考虑当前失配的字符,更何况我们每次失配时,都是看的失配字符的上一位字符对应的最大长度值。如此,便引出了next 数组。
    给定字符串“ABCDABD”,可求得它的next 数组如下:

 

 

 

    把next 数组跟之前求得的最大长度表对比后,不难发现,next 数组相当于“最大长度值” 整体向右移动一位,然后初始值赋为-1。意识到了这一点,你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单!从而有

 

失配时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值

 

    而后,你会发现,无论是基于最大长度表的匹配,还是基于next 数组的匹配,两者得出来的向右移动的位数是一样的。不信的话,咱们可以来看看具体过程。

基于《next 数组》匹配

    下面,我们来基于next 数组进行匹配。

 

  • ①匹配到字符D时失配,由于 j 从0开始计数,故数到失配的字符D时 j 为6,且字符D对应的next 值为2,所以向右移动的位数为:j - next[j] = 6 - 2 =4 位

 

  • ②向右移动4位后,C再次失配,向右移动:j - next[j] = 2 - 0 = 2 位

            

 

  • ③移动两位之后,A 对应着空格导致不匹配,再次后移1 位

 

  • ④D处失配,向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位

           

  • ⑤匹配成功,过程结束。

          

    匹配过程一模一样。也从侧面佐证了,next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位,且把初值赋为-1 即可。

基于《最大长度表》与基于《next 数组》等价

    其实,利用next 数组进行匹配失配时,模式串向右移动 j - next [ j ] 位,等价于已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值。为什么呢?

 

  1. j 从0开始计数,那么当数到失配字符时,j 的数值就是已匹配的字符数;
  2. 由于next 数组是由最大长度值表整体向右移动一位(且初值赋为-1)得到的,那么失配字符的上一位字符所对应的最大长度值,即为当前失配字符的next 值。

    那为何本文不直接利用next 数组进行匹配呢?因为next 数组不好求,而一个字符串的前缀后缀的公共元素的最大长度值很容易求,例如若给定字符串“abab”,要你求其next 数组,则乍一看,无从求起,而要你求其前缀后缀公共元素的最大长度,则很容易得出是:0 0 1 2,如下表格所示:

    

    然后这4个数字 全部整体右移一位,且初值赋为-1,即得到其next 数组:-1 0 0 1。

next 数组的理解

    next 负责把模式串向前移动,且当第j位不匹配的时候,用第next[j]位和主串匹配,就像打了张“表”。此外,next 也可以看作有限状态自动机的状态,在已经读了多少字符的情况下,失配后,前面读的若干个字符是有用的。

    btw,如果你觉得上述手绘图比较丑的话,可以看下微博上一热心朋友@龚陆安 用Latex和TikZ 帮忙画的图:http://d.pr/i/NEiz。完。

 

参考文献

 

  1. 本文第一张朴素算法匹配的图来自《算法导论》的第十二章:字符串匹配;
  2. 本文中字符串

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a2787d40102uxsm.html

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