经典算法题每日演练——第七题 KMP算法

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经典算法题每日演练——第七题 KMP算法

杰克.陈 2015-01-16 11:22:00 浏览441
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原文:经典算法题每日演练——第七题 KMP算法


      在大学的时候,应该在数据结构里面都看过kmp算法吧,不知道有多少老师对该算法是一笔带过的,至少我们以前是的,

确实kmp算法还是有点饶人的,如果说红黑树是变态级的,那么kmp算法比红黑树还要变态,很抱歉,每次打kmp的时候,输

入法总是提示“看毛片”三个字,嘿嘿,就叫“看毛片算法”吧。

一:BF算法

     如果让你写字符串的模式匹配,你可能会很快的写出朴素的bf算法,至少问题是解决了,我想大家很清楚的知道它的时间复

杂度为O(MN),原因很简单,主串和模式串失配的时候,我们总是将模式串的第一位与主串的下一个字符进行比较,所以复杂

度高在主串每次失配的时候都要回溯,图我就省略了。

 

二:KMP算法

   刚才我们也说了,主串每次都要回溯,从而提高了时间复杂度,那么能不能在“主串”和“模式串”失配的情况下,主串不回溯呢?

而是让”模式串“向右滑动一定的距离,对上号后继续进行下一轮的匹配,从而做到时间复杂度为O(M+N)呢?所以kmp算法就是

用来处理这件事情的,下面我们看下简单的例子。

通过这张图,我们来讨论下它的一般推理,假设主串为S,模式串为P,在Si != Pj的时候,我们可以看到满足如下关系式

Si-jSi-j+1...Sn-1=P0P1..Pj-1。那么模式P应该向右滑动多少距离?也就是主串中的第i个字符应与模式串中的哪一个字符进行比较?

假设应该与模式串中的第k的位置相比较,假如模式串中存在最大的前缀真子串和后缀真子串,那么有P0P1..Pk-1=Pj-kPj-k+1...Pj-1.

这句话的意思也就是说,在模式P中,前k个字符与j个字符之前的k个字符相同,比如说:“abad”的最大前缀真子串为“aba",最大

后缀真子串为“bad”,当然这里是不相等,这里的0<k<j,我们希望k接近于j,那么我们滑动的距离将会最小,好吧,现在我们用

next[j]来记录失配时模式串应该用哪一个字符于Si进行比较。

设 next[j]=k。根据公式我们有

                -1        当j=0时

next[j] =   max{k| 0<k<j 且 P0P1..Pk-1=Pj-kPj-k+1...Pj-1}

                0         其他情况

好,接下来的问题就是如何求出next[j],这个也就是kmp思想的核心,对于next[j]的求法,我们采用递推法,现在我们知道了

next[j]=k,我们来求next[j+1]=?的问题?其实也就是两种情况:

①:Pk=Pj 时  则P0P1...Pk=Pj-kPj-k+1...Pj, 则我们知:

              next[j+1]=k+1。

    又因为next[j]=k,则

             next[j+1]=next[j]+1。

②:Pk!=Pj 时  则P0P1...Pk!=Pj-kPj-k+1...Pj,这种情况我们有点蛋疼,其实这里我们又将模式串的匹配问题转化为了上面我们提到

的”主串“和”模式串“中寻找next的问题,你可以理解成在模式串的前缀串和后缀串中寻找next[j]的问题。现在我们的思路就是一定

要找到这个k2,使得Pk2=Pj,然后将k2代入①就可以了。

 设   k2=next[k]。 则有P0P1...Pk2-1=Pj-k2Pj-k2+1...Pj-1

 若   Pj=Pk2,      则 next[j+1]=k2+1=next[k]+1。

 若   Pj!=Pk2,      则可以继续像上面递归的使用next,直到不存在k2为止。

好,下面我们上代码,可能有点绕,不管你懂没懂,反正我懂了。

 1 using System;
 2 using System.Collections.Generic;
 3 using System.Linq;
 4 using System.Text;
 5 
 6 namespace SupportCenter.Test
 7 {
 8     public class Program
 9     {
10         static void Main(string[] args)
11         {
12             string zstr = "ababcabababdc";
13 
14             string mstr = "babdc";
15 
16             var index = KMP(zstr, mstr);
17 
18             if (index == -1)
19                 Console.WriteLine("没有匹配的字符串!");
20             else
21                 Console.WriteLine("哈哈,找到字符啦,位置为:" + index);
22 
23             Console.Read();
24         }
25 
26         static int KMP(string bigstr, string smallstr)
27         {
28             int i = 0;
29             int j = 0;
30 
31             //计算“前缀串”和“后缀串“的next
32             int[] next = GetNextVal(smallstr);
33 
34             while (i < bigstr.Length && j < smallstr.Length)
35             {
36                 if (j == -1 || bigstr[i] == smallstr[j])
37                 {
38                     i++;
39                     j++;
40                 }
41                 else
42                 {
43                     j = next[j];
44                 }
45             }
46 
47             if (j == smallstr.Length)
48                 return i - smallstr.Length;
49 
50             return -1;
51         }
52 
53         /// <summary>
54         /// p0,p1....pk-1         (前缀串)
55         /// pj-k,pj-k+1....pj-1   (后缀串)
56         /// </summary>
57         /// <param name="match"></param>
58         /// <returns></returns>
59         static int[] GetNextVal(string smallstr)
60         {
61             //前缀串起始位置("-1"是方便计算)
62             int k = -1;
63 
64             //后缀串起始位置("-1"是方便计算)
65             int j = 0;
66 
67             int[] next = new int[smallstr.Length];
68 
69             //根据公式: j=0时,next[j]=-1
70             next[j] = -1;
71 
72             while (j < smallstr.Length - 1)
73             {
74                 if (k == -1 || smallstr[k] == smallstr[j])
75                 {
76                     //pk=pj的情况: next[j+1]=k+1 => next[j+1]=next[j]+1
77                     next[++j] = ++k;
78                 }
79                 else
80                 {
81                     //pk != pj 的情况:我们递推 k=next[k];
82                     //要么找到,要么k=-1中止
83                     k = next[k];
84                 }
85             }
86 
87             return next;
88         }
89     }
90 }

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