这个寒假，我辅导一个读高中一年级的表弟做功课，感觉现在高中的课程真是不简单。就拿数学来说，涉及到函数方面的知识既要学生有很好的数学基础，又要随机应变、灵活应用。此外，也需要良好的思维习惯。
给我印象最深的是这样一道题：一个定义域在(0, +∞)上的函数f(x)，满足性质f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1。(1)求f(1/2)的值；(2)证明f(x)在其定义域上的单调性。
对于第一个小问，利用函数的性质，作答步骤如下：令x=2，y=1带入，则f(2×1)=f(2)+f(1)，求出f(1)=0；再令x=2，y=1/2,带入，则f(2×1/2)=f(2)+f(1/2)，求出f(1/2)=-1。
对于第二个小问，如果想正面解决很难入手，证明函数的单调性的一般做法是：设两个未知数x1和x2，令x1<x2，证明f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)。从题干可以看出，通过这种方法很难达到目标，因为f(x1)-f(x2)不好表示。
这个时候，我们就要想到一些特殊函数的性质了。哪个函数有f(xy)=f(x)+f(y)这样的性质呢？经过一番思索之后，我想到了对数函数，其性质之一便是loga(xy)= loga(x)+loga(y)。因此，在此设f(x)=loga(x)，将x=2带入，有f(2)=loga(2)=1，则a=2，所以f(x)=log2(x)。再将x=1和x=1/2带入，发现结果与题中所给的一致，证明f(x)=log2(x)是正确的，其定义域为(0, +∞)。因此，对数函数f(x)=log2(x)在其定义域上是单增的。
从整个题目的求解思路来看，除了要学生会一些基本的数学理论，像函数单调性的判断方法之外，还需要他们有良好的思维。这里便是逆向思维，是倒推法。何以展现呢？对于一个对数函数，如果给定了其解析式，那么有什么性质便一览无余。但这里是要我们通过性质来推出函数的表达式，属于一种“逆水行舟”的行为。
这让我联想到算法课程中的“递归法”。“递归”包括两个部分：基础情况和递归部分，而这道题目中我们通过性质来反推出函数的表达式便是“递归部分”的一个表现。看来，现在高中的课程已经涉及到大学课程的一些思维方式了。怪不得现在高中生那么的累！
读了刘未鹏写的《暗时间》，我对“思维”有了更加清晰的认识。我们做一件事情，要先在大脑中构思，然后才实践出来，这就是所谓的“二次构造”。如果我们经常注意自己思考问题的方式，不断总结学习，不断推敲，那么我们便会形成一套科学有效的思维方式，以后遇到类似的问题便可以很快解答，遇到难题也能够通过分析等方式来解决。
一道小小的题目不仅训练了我们的思维方式，而且也让我们懂得了数学在锻炼人脑方面的重要性，让我们与自己的大脑和心灵进行了一番对话，岂不妙哉！
