【算法导论】最小生成树之Kruskal法

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【算法导论】最小生成树之Kruskal法

tengweitw 2013-12-17 17:41:15 浏览533
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        在图论中,树是指无回路存在的连通图。一个连通图的生成树是指包含了所有顶点的树。如果把生成树的边的权值总和作为生成树的权,那么权值最小的生成树就称为最小生成树。因为最小生成树在实际中有很多应用,所以我们有必要了解怎样生成最小生成树。构造最小生成树的两种常用方法:Kruskal算法、Prim算法。本文介绍Kruskal算法,Prim算法在下篇文章中介绍。

      Kruskal算法是从另一条途径来求网络的的最小生成树。设G=(V, E)是一个有n个顶点的连通图,则令最小生成树的初值状态为只有n个顶点而无任何边的非连通图T=(V, {空集}),此时图中每个顶点自成一个连通分量。按照权值递增的顺序依次选择E中的边,若该边依附于T中两个不同的连通分量,则将此边加入TE中,否则舍去此边而选择下一条代价最小的边,直到T中所有顶点都在同一连通分量上为止。这时的T,便是G的一棵最小生成树。 

        物理老师曾说过,图像比文字的信息量大得多,这可以从一幅图像和一篇文章所占电脑的存储空间大小明显得出。因此我们可以同下面的图解过程了解Kruskal算法的思想:


        在该算法中,每次都要寻找最短边,如果用邻接矩阵实现的话,则需要对整个矩阵扫描一遍,时间复杂度较高,如果采用邻接表的话,由于每条边都被连接两次,使得寻找时间加倍。所以采用如下结构体:

#include<stdio.h>
#define M 8 //边数
#define N 6  //顶点数 

//图的存储结构体
typedef struct
{
	int startvex,endvex;//边的两个顶点
	int length;//边长
	int sign;//是否被选择,1表示被选择,0表示未被选择,2表示选择后形成环,被抛弃
}edge;
	edge T[M];
	int flag1[N];//标记顶点是否已被选中
void Kruskal(edge T[M],int *flag1)
{
	int i,j,k,l,min;
	int a[M]={0,0,0,1,1,1,2,3,3,4};//边的两个顶点及边的长度
	int b[M]={1,4,5,2,3,5,3,4,5,5};
	int c[M]={10,19,21,5,6,11,6,18,14,33};

	//int a[M]={0,0,0,1,1,2,3,4};//边的两个顶点及边的长度
	//int b[M]={1,3,5,2,4,3,4,5};
	//int c[M]={7,3,5,6,9,8,4,2};
	
	for(i=0;i<N;i++)
		flag1[i]=i;
	for(i=0;i<M;i++)//初始化
	{
		T[i].startvex=a[i];
		T[i].endvex=b[i];
		T[i].length=c[i];
		T[i].sign=0;
	}
	j=0;
	int flag=0;//记录最小边的序号
	while(j<N-1)
	{
		flag=0;
		min=10000;
		for(i=0;i<M;i++)
		{
			if(T[i].sign==0)
			{
				if(T[i].length<min)
				{
					k=T[i].startvex;
					l=T[i].endvex;
					flag=i;
					min=T[i].length;
				}
			}
		}
		T[flag].sign=1;//标记被选中
		//printf("k=%d,l=%d:  ",k,l);

		//printf("\n");
		if(flag1[k]==flag1[l])//当边的两个顶点都已经被选择,说明若选择该边就会形成环
		{
			T[flag].sign=2;//表示抛弃该边
			//printf("ok ");
		}
		else
		{
			j++;
			for(i=0;i<N;i++)
				if(flag1[i]==l)
					flag1[i]=flag1[k];
		}
	//for(int ii=0;ii<M;ii++)
	//	printf(" %d ",T[ii].sign);
	//printf("\n\n");
	}

}

void main()
{

	Kruskal(T,flag1);
	
	for(int i=0;i<M;i++)
		printf("%d ",T[i].sign);
		printf("\n");
}



程序的结果与上面的图解的结果稍有不同,但是正确的,因为最小生成树有时候是不唯一的。


注:如果程序出错,可能是使用的开发平台版本不同,请点击如下链接: 解释说明


原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/17380353

作者:nineheadedbird


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