线性回归之最小二乘法

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线性回归之最小二乘法

sea-boat 2017-03-03 10:51:51 浏览668
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线性回归

线性回归是很常见的一种回归,线性回归可以用来预测或者分类,主要解决线性问题。

最小二乘法

线性回归过程主要解决的就是如何通过样本来获取最佳的拟合线。最常用的方法便是最小二乘法,它是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

代数推导:

  1. 假设拟合直线为y=ax+b
  2. 对任意样本点(xi,yi)
  3. 误差为e=yi(axi+b)
  4. S=ni=1ei2为最小时拟合度最高,即ni=1(yiaxib)2最小。
  5. 分别求一阶偏导
    Sb=2(i=1nyinbai=1nxi)

Sa=2(i=1nxiyibi=1nxiai=1nxi2)

6.分别让上面两式等于0,并且有nx¯=ni=1xiny¯=ni=1yi

7.得到最终解

a=ni=1(xix¯)(yiy¯)ni=1(xix¯)2

b=y¯ax¯

结果也可以如下

a=nxiyixiyinxi2(xi)2

b=xi2yixixiyinxi2(xi)2

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def calcAB(x,y):
    n = len(x)
    sumX,sumY,sumXY,sumXX =0,0,0,0
    for i in range(0,n):
        sumX  += x[i]
        sumY  += y[i]
        sumXX += x[i]*x[i]
        sumXY += x[i]*y[i]
    a = (n*sumXY -sumX*sumY)/(n*sumXX -sumX*sumX)
    b = (sumXX*sumY - sumX*sumXY)/(n*sumXX-sumX*sumX)
    return a,b,

xi = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
yi = [10,11.5,12,13,14.5,15.5,16.8,17.3,18,18.7]
a,b=calcAB(xi,yi)
print("y = %10.5fx + %10.5f" %(a,b))
x = np.linspace(0,10)
y = a * x + b
plt.plot(x,y)
plt.scatter(xi,yi)
plt.show()

运行结果

这里写图片描述

矩阵推导

  1. 对于y=ax+b转为向量形式
    W=[w0w1]$$X=[1x1]
  2. 于是y=w1x1+w0=WTX
  3. 损失函数为
    L=1ni=1n(yn(WTX)2)=1n(yXW)T(yXW)

    最后可化为

1nXTWTXW2nXTWTy+1nyTy
  1. 令偏导为0

LW=2nXTXW2nXTy=0

另外,(XTX)1XTX=EEW=W
则,
(XTX)1XTXW=(XTX)1XTy

W=(XTX)1XTy

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
y = [10,11.5,12,13,14.5,15.5,16.8,17.3,18,18.7]

A = np.vstack([x,np.ones(len(x))]).T

a,b = np.linalg.lstsq(A,y)[0]
print("y = %10.5fx + %10.5f" %(a,b))
x = np.array(x)
y = np.array(y)

plt.plot(x,y,'o',label='data',markersize=10)
plt.plot(x,a*x+b,'r',label='line')
plt.show()

运行结果
这里写图片描述

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