我记得在去年看过的，当然，以我目前的水平，只能是看得晕乎乎。
尽管我本人还算对哥德尔，康托尔，布尔，图灵，艾舍尔感兴趣。。
但总只是出于兴趣的了解，而没有真正溶于生活和精神里。看来，这些书又得重看一次了。。都是从当当上买的纸质书呀。。
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康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线
By
刘未鹏
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摘抄一段总绪。。。
哥德尔
的
不完备性定理
震撼了
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世纪数学界的天空，其数学意义颠覆了
希尔伯特
的形式化数学的宏伟计划，其哲学意义直到
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世纪的今天仍然不断被延伸到各个自然学科，深刻影响着人们的思维。
图灵
为了解决希尔伯特著名的
第十问题
而提出有效计算模型，进而作出了
可计算理论
和现代计算机的奠基性工作，著名的停机问题给出了机械计算模型的能力极限，其深刻的意义和漂亮的证明使它成为可计算理论中的标志性定理之一。
丘齐
，跟图灵同时代的天才，则从另一个抽象角度提出了
lambda算子
的思想，与
图灵机
抽象的倾向于硬件性不同，丘齐的
lambda
算子理论是从数学的角度进行抽象，不关心运算的机械过程而只关心运算的抽象性质，只用最简洁的几条公理便建立起了与图灵机
完全等价
的计算模型，其体现出来的数学抽象美开出了
函数式编程语言
这朵奇葩，
Lisp
、
Scheme
、
Haskell…
这些以抽象性和简洁美为特点的语言至今仍然活跃在计算机科学界，虽然由于其本质上源于
lambda
算子理论的抽象方式不符合人的思维习惯从而注定无法成为主流的编程语言
[2]
，然而这仍然无法妨碍它们成为编程理论乃至计算机学科的最佳教本。而诞生于函数式编程语言的神奇的
Y combinator
至今仍然让人们陷入深沉的震撼和反思当中
…
然而，这一切的一切，看似不很相关却又有点相关，认真思考其关系却又有点一头雾水的背后，其实隐隐藏着一条线，这条线把它们从本质上串到了一起，而顺着时光的河流逆流而上，我们将会看到，这条线的尽头，不是别人，正是只手拨开被不严密性问题困扰的
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世纪数学界阴沉天空的天才数学家
康托尔
，康托尔创造性地将一一对应和对角线方法运用到无穷集合理论的建立当中，这个被希尔伯特称为
“
谁也无法将我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去
”
、被罗素称为
“19
世纪最伟大的智者之一
”
的人，他在
集合论方面的工作
终于驱散了不严密性问题带来的阴霾，仿佛一道金色的阳光刺破乌云，
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世纪的数学终于看到了真正严格化的曙光，数学终于得以站在了前所未有的坚固的基础之上；集合论至今仍是数学里最基础和最重要的理论之一。而康托尔当初在研究无穷集合时最具天才的方法之一
——
对角线方法
——
则带来了极其深远的影响，其纯粹而直指事物本质的思想如洪钟大吕般响彻数学和哲学的每一个角落
[3]
。随着本文的展开，你将会看到，刚才提到的一切，歌德尔的不完备性定理，图灵的停机问题，
lambda
算子理论中神奇的
Y combinator
、乃至著名的罗素悖论、理发师悖论等等，其实都源自这个简洁、纯粹而同时又是最优美的数学方法，反过来说，从康托尔的对角线方法出发，我们可以轻而易举地推导出哥德尔的不完备性定理，而由后者又可以轻易导出停机问题和
Y combinator
，实际上，我们将会看到，后两者也可以直接由康托尔的对角线方法导出。尤其是
Y combinator
，这个形式上绕来绕去，本质上捉摸不透，看上去神秘莫测的算子，其实只是一个非常自然而然的推论，如果从哥德尔的不完备性定理出发，它甚至比停机问题还要来得直接简单。总之，你将会看到这些看似深奥的理论是如何由一个至为简单而又至为深刻的数学方法得出的，你将会看到最纯粹的数学美。。。。。
