今天来介绍一个小项目：在TensorFlow中生成分形图案。分形本身只是一个数学概念，与机器学习并无太大关系，但是通过分形的生成，我们可以了解怎么在TensorFlow中进行数学计算，以及如何进行基本的流程控制，是学习TensorFlow的一个非常好的练手项目。
在开始之前，需要说明的是，TensorFlow官方也提供了一个生成分形图案的教程(地址：www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的图像实在是太丑了，而且只能生成一种图案，我对官方的代码做了一些改进，并且加入了多种类型的分形，此外，不仅可以生成图像，还可以制作gif动画，代码已经放到了Github上：hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有50行，欢迎大家参考。
Mandelbrot集合
Mandelbrot集合是分形中最经典的一个例子。考虑迭代公式z_{n+1}=z_{n}^2 + c(z和c都是复数)。当z_0为0时，得到的值可以组成一个数列，依次为c, c^2+c,(c^2+c)^2+c……。当该数列发散到无穷时，对应的点就属于Mandelbrot集合。
如c=0 时，显然数列永远是0，并不发散，因此0不属于Mandelbrot集合。
又如c=3i 时，对应的数列为3i, -9+3i, 63-51i, 1431-6477j…. ，数字越来越庞大，因此3i就属于Mandelbrot集合。
在二维平面上，将所有不属于Mandelbrot集合的点标记为黑色，将所有属于Mandelbrot集合的点按照其发散速度赋予不同的颜色，就可以得到Mandelbrot的经典图像：
上面这张图完全是使用TensorFlow进行计算的，类似的图大家应该在网上也见过好多了，在TensorFlow中，我们定义下面的计算步骤：
- xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64))
- zs = tf.Variable(xs)
- ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():
- tf.global_variables_initializer().run()
- zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)
- not_diverged = tf.abs(zs_) < R
- step = tf.group(
- zs.assign(zs_),
- ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))
- for i in range(ITER_NUM): step.run()
- final_step = ns.eval()
- final_z = zs_.eval()
zs就对应我们之前迭代公式的z，而xs就对应迭代公式中的c。为了方便起见，只要计算时数值的绝对值大于一个事先指定的值R，就认为其发散。每次计算使用tf.where只对还未发散的值进行计算。结合ns和zs_就可以计算颜色，得到经典的Mandelbrot图像。
Julia集合
Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但这次我们固定c，转而计算发散的z的值。即c是固定的常数(可以任取)，数列变成z,z^2+c,(z^2+c)^2 +c,…..。如果该数列发散，对应的z就属于Julia集合。对此，我们只要在原来的程序中修改两行内容，就可以生成Julia集合：
- xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype))
- zs = tf.Variable(Z)
我们在fill_value=c处指定了Julia集合中的c值，只要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合!
默认：c = -0.835 – 0.2321i ：
将c值变为c = -0.8 * 1j ，并调整颜色(调整方法参考Github页面的说明)：
选用c=0.285 + 0.01i ，图案又变得完全不同：
生成Julia集合的动画
在Julia集合中，每次都对c的值进行微小的改变，并将依次生成图片制作为gif，就可以生成如下所示的动画，对应的代码为julia_gif.py：
这里由于上传gif有大小限制的关系，只展示了一个小尺寸的动画图像。程序中提供了一个width参数，可以修改它以生成更大尺寸，质量更高的动画图像。
探索Mandelbrot集合
(注意：下面的图片可能对密集恐惧症患者不太友好。。。因此慎重翻页。。)
在前面生成的Mandelbrot集合中，我们可以将图像放大，选取某些区域进行生成，就可以得到格式各样造型迥异的分形图案，对应的程序为mandelbrot_area.py。
在Mandelbrot集合中，有很多地方图案比较奇特，如下图中的9个位置。
其中编号为2的地方被称为“Elephant Valley”，因为此处的图案与大象很像，直接运行mandelbrot_area.py就可以得到该区域的图像：
编号为3的地方被称为“Triple Spiral Valley”(三重螺旋)，在mandelbrot_area.py修改一下坐标位置为(ratio调整的是颜色)：
- start_x = -0.090 # x range
- end_x = -0.086
- start_y = 0.654 # y range
- end_y = 0.657
- width = 1000
- ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6
就可以得到该处的图案：
最后编号为1的地方被称为“Seahorse Valley”(海马山谷)，对应的坐标为：
- start_x = -0.750 # x range
- end_x = -0.747
- start_y = 0.099 # y range
- end_y = 0.102
- width = 1000
- ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3
图像如下，确实和海马有一点神似：
生成更多的图案
项目提供了两个jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以对Mandelbrot集合、Julia集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot集的更多坐标位置可以参考Quick Guide to the Mandelbrot Set，Julia集中更多有趣的c值可以参考Julia set – Wikipedia。网上类似的资源还有很多。
本文作者：何之源
来源：51CTO
