2.2 序贯试验和风险处理
如果风险偏好是为了多赚钱，但不会太在意丢失本金，那会怎么样呢？本节将简单研究为什么人的偏好是不对称的，并且也有科学证据表明：由于进化的原因，这种不对称性在我们的头脑中根深蒂固。
不过必须要对参数化非对称函数的期望值进行优化，函数具体形式如下：
（2-1）为什么在分析中会出现非对称函数？一个例子是重复投注或重新投资，也称为Kelly准则问题。最初的Kelly准则是为了研究赌博机中的二元结果，以及优化每一轮赌博中钱的分配而发展起来的（A New Interpretation of Information Rate, Bell System Technical Journal 35 (4): 917–926, 1956）。作为再投资问题更通用的公式会涉及潜在收益的概率分布。
多个投注的回报由单个投注回报率相乘得到。回报率是赌博完成之后的资金与单独投注之前的原始资金的比率。其公式如下：
由于不知道如何优化独立同分布随机变量的积，因此不能优化总回报。可使用对数变换将积转换为和，然后应用CLT（中心极限定理）来近似独立同分布变量之和（假设ri的分布符合CLT条件，比如其均值和方差是有限的）。具体转换如下：
因此，N次投注累积的结果像是进行N次期望回报为exp(E(log(ri)))的投注，而不是E(ri)！
正如之前提到的，这个问题经常被应用于二元投注中，尽管它可以简单地推广到一般情形，但这会附加一个参数：x，它是每轮投注的金额。假设获利W的概率为p（损失所有投注的概率为1―p），优化带有附加参数的期望回报函数：
最后这个等式就是Kelly准则比率，它给出投注的最优金额。
投注小于总金额的原因是：即使平均回报为正数，但仍有一定的概率丢掉全部资金，特别是在信息极不平衡的情况下。比如，即使有0.105的概率得到10倍的回报（W＝10，期望的回报是5%），组合分析表明，在60局之后，所有回报为负的概率大约为50%。实际上损失27倍（或更多）的投注的概率为11%：
注意，要达到27倍的收入，平均只需要玩log(27)/log(1.05)＝68局。虽然这些都是有利的几率（odd），但从最开始就是在赌。Kelly准则假设最优的投注只是资金的1.55%，注意如果投入全部的资金，会以89.5% 的概率在第一局就输光（赢的概率只有0.105）。如果开始以资金的若干分之一下注，会有很大的可能性继续进行，但是总的回报会更小。图2-3为期望回报的对数图，它是投注金额x的函数，并且只计算了在60轮赌局中收入的可能分布。博弈（game）结果的24%会比最低的曲线差，39%会差于次低的曲线，44%～50%会好于或者等同于中间黑色的曲线，30%可能会高于最上面的一条曲线。x的最优Kelly准则值是0.0155，它最终将在无限多轮的博弈中优化所得的总回报：
图2-3 期望回报值与投注数量之间的对数函数，这是计算60轮后的结果（参见式（2-2））
有人认为Kelly准则过于激进（赌徒通常会高估自己获胜的可能/获胜率，而低估失败的概率），也有人认为过于保守（风险价值应该是总的可用资本，而不仅仅是资金本身），但是它给出了这样一个事实：需要使用额外的方式来弥补直觉理解的不足。
从金融的观点来看，Kelly准则更像是风险描述，而不是作为波动的标准定义（或回报的方差）。对于通用的参数化回报分布y(z)，其概率分布函数为f (z)。若定义r(x)＝1＋x y(z)（其中x是投注的数量），则式（2-3）可以重新表示为如下形式：
（2-5）在离散情况下也可以写为如下形式：
（2-6）该式子中分母强调的是来自负收益区域的贡献。具体而言，损失全部资金意味着分母(1＋xy(z))为0。
正如前面提到的一个有趣现象：风险规避是基于人们的直觉。人类和灵长类动物似乎天生就有一种厌恶风险的偏好（A Monkey Economy as Irrational as Ours by Laurie Santos，TED talk，2010）。现在关注另一个颇有争议的话题—探索与利用的权衡，人们对这些内容的了解还不如前面的回报权衡问题。
