【深度学习之美】山重水复疑无路,最快下降问梯度(入门系列之七)

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【深度学习之美】山重水复疑无路,最快下降问梯度(入门系列之七)

玉來愈宏 2017-08-07 16:53:28 浏览925 评论0

摘要: “天下武功,唯快不破”。欲速览无限风光,必攀险峰;欲速抵山底幽谷,则必滚陡坡。这滚山坡的道理,其实就是梯度递减策略,而梯度递减策略,则是BP算法成功背后的“男(ji)人(chu)”。想知道为啥,来一探究竟呗!


系列文章:

一入侯门“深”似海,深度学习深几许(深度学习入门系列之一)
人工“碳”索意犹尽,智能“硅”来未可知(深度学习入门系列之二)
神经网络不胜语,M-P模型似可寻(深度学习入门系列之三)
“机器学习”三重门,“中庸之道”趋若人(深度学习入门系列之四)
Hello World感知机,懂你我心才安息 (深度学习入门系列之五)
损失函数减肥用,神经网络调权重(深度学习入门系列之六)


一年多前,吴军博士写了一本畅销书《智能时代》[1]。书里提到,在人工智能领域,有一个流派叫“鸟飞派”,亦称之为“模仿派”。说的是,当人们要学习飞翔的时候,最先想到的是模仿鸟一样去飞翔。
很多年前,印度诗人泰戈尔出了本《飞鸟集》,里面有个名句:“天空没有留下翅膀的痕迹,但我已经飞过”。有人对此解读为,“人世间,很多事情虽然做过了,却不为人所知,但那又如何?重要的是,我已做过,并从中获得了许多。”

两千多年前,司马迁在《史记•滑稽列传》写到:“此鸟不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。”说的是当年楚庄王在“势不眷我”时,选择了“蛰伏”。蛰伏,只是一个储势过程,迟早有一天,蓄势待发,“发”则达天。
这三者的情感交集,让我联想到出了本章的主人公杰弗里•辛顿(Geoffrey Hinton)教授,在学术界里,他就是这样的一个“励志”人物!
1986年,辛顿教授和他的小伙伴们重新设计了BP算法,以“人工神经网络”模仿大脑工作机理,“吻”醒了沉睡多年的“人工智能”公主,一时风光无限。
但“好花不常开,好景不常在”。当风光不再时,辛顿和他的研究方向,逐渐被世人所淡忘。
这被“淡忘”的冷板凳一坐,就是30年。

但在这30年里,辛顿又如“飞鸟”一般,即使“飞过无痕”,也从不放弃。从哪里跌倒,就从哪里爬起。实在不行,即使换个马甲,也要重过一生。
玉汝于成,功不唐捐。
终于,在2006年,辛顿等人提出了“深度信念网(Deep Belief Nets,DBN)”(这实际上就是多层神经网络的马甲)[2]。这个“深度信念网”后期被称为“深度学习”。终于,辛顿再次闪耀于人工智能世界,随后被封为“深度学习教父”。

但细心的读者可发现,即使辛顿等人提出了“深度信念网”,在随后的小10年里,这个概念亦是不温不火地发展着(如图1所示)。直到后期(2012年以后),随着大数据和大计算(GPU、云计算等)的兴起,深度学习才开始大行其道,一时间甚嚣尘上。


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图7-1 深度学习的谷歌趋势图

回顾起杰弗里•辛顿过往40多年的学术生涯,可谓是顾跌宕起伏,但最终修得正果。倘若细细说起,这“牛逼”,还得从1986年吹起。

7.1 1986年的那篇神作

1986年10月,杰弗里•辛顿还在卡内基梅隆大学任职。他和在加州大学圣迭戈分校的认知心理学家大卫·鲁梅尔哈特(David Rumelhart)等人,在著名学术期刊《自然》上联合发表题为:“通过反向传播算法的学习表征(Learning Representations by Back-propagating errors)”的论文[3]。该文首次系统简洁地阐述反向传播算法(BP)在神经网络模型上的应用,该算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比,下降到只和神经元数目本身成正比。

与此同时,当时的大背景是,在八十年代末,Intel x86系列的微处理器和内存技术的发展,让计算机的运行速度和数据访存速度也比二十年前高了几个数量级。这一下(运算量下降)一上(计算速度上升),加之多层神经网络可通过设置隐含层 (hidden layer),极大增强了数据特征的表征能力,从而轻易解决感知机无法实现的异或门 (XOR gate)难题,这些“天时地利人和”的大好环境,极大缓解了当年明斯基对神经网络的责难。
于是,人工神经网络的研究,渐渐得以复苏。


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图7-2 1986年杰弗里•辛顿的那篇神作

值得一提的是,在文献[3]中,杰弗里•辛顿并不是第一作者,鲁梅尔哈特才是,而辛顿仅仅“屈居”第二(如图7-2所示)。但为什么我们提起BP算法时,总是说起辛顿呢?其实原因也很简单,主要有二:第一、鲁梅尔哈特毕竟并非计算机科学领域之内的人士,我们计算机科学家,总不能找一个脑科学家去“拜码头”吧;第二、辛顿是这篇论文的通信作者,通常而言,通信作者才是论文思路的核心提供者,这样一来,即使作者排名第二,也没有埋没掉辛顿教授的贡献。

同在1986年,鲁梅尔哈特也和自己的小伙伴们合作发表了一篇题为“并行分布式处理:来自认知微结构的探索”的论文[4]。仅仅从论文题目的前半部分来看,我们很可能误解这是一个有关“高性能计算”的文章,但从标题的后半部分可以得知,这是鲁梅尔哈特等人对人类大脑研究的最新认知。鲁梅尔哈特对大脑工作机理的深入观察,极大地启发了辛顿。辛顿灵光一现,觉得可以把这个想法迁移到“人工神经网络”当中。于是,就有了他们神来一笔的合作。
我们知道,1986年,辛顿和鲁梅尔哈特能在大名鼎鼎的《自然》期刊上发表论文,自然不是泛泛而谈,它一定是解决了什么大问题。下面我们就聊聊这个话题。

7.2 多层感知机网络遇到的大问题

由于历史的惯性,在第六讲中提到的多层前馈网络,有时也被称为多层感知机(Multilayer Perceptron,MLP)。但这个提法导致概念多少有些混淆。这是因为,在多层前馈网络中,神经元的内部构造已悄然发生变化,即激活函数从简单粗暴的“阶跃函数”变成了比较平滑的挤压函数Sigmoid(如图7-3所示)。
激活函数为什么要换成Sigmoid呢?其实原因并不复杂,这是因为感知机的激活函数是阶跃函数,不利于函数求导,进而求损失函数的极小值。我们知道,当分类对象是线性可分,且学习率(learning rate)η足够小时,由感知机还不堪胜任,由其构建的网络,还可以训练达到收敛。但分类对象不是线性可分时,感知机就有点“黔驴技穷”了。因此,通常感知机并不能推广到一般前馈网络中。


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图 7-3 变更激活函数的前馈多层神经网络

按照我们前面章节的说法,所谓的机器学习,简单来说,就是找到一个好用的函数(function),从而较好地实现某个特定的功能(function)。一言蔽之,函数就是功能。而对于某个特定的前馈神经网络,给定网络参数(连接权值与阈值),其实就是定义了一个具备数据采集(输入层)、加工处理(隐含层),然后输出结果(输出层)的函数。
如果仅仅给定一个网络结构,其实它定义的是一个函数集合。因为不同的网络参数(连接权值与阈值),实现的功能“大相径庭”。功能不同,自然函数也是不同的!

针对前馈神经网络,我们需要实现的目的很简单,就是想让损失函数达到最小值,因为只有这样,实际输出和预期输出的差值才最小。那么,如何从众多网络参数(神经元之间的链接权值和阈值)中选择最佳的参数呢?
最简单粗暴的方法,当然就是枚举所有可能值了!


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图7-4 暴力调参不可取

但这中暴力策略,对稍微复杂一点的网络就不可取了!例如,用于语音识别的神经网络,假设网络结构有7层,每一层有1000个神经元,那么仅一层之间的全连接权值,就达到\(1000×1000=10^6\)个,一旦层次多了,那权值数量就海了去了!(如图7-4所示)。故此,这种暴力调参找最优参数,既不优雅,也不高效,故实不可取!

7.3到底什么是梯度?

为了克服多层感知机存在的问题,人们设计了一种名为delta(\(Delta \))法则(delta rule)的启发式方法,该方法可以让目标收敛到最佳解的近似值[5]。
delta法则的核心思想在于,使用梯度下降(gradient descent)的方法找极值。具体说来,就是在假设空间中搜索可能的权值向量,并以“最佳”的姿态,来拟合训练集合中的样本。那么,何谓最佳拟合呢?当然就是让前文提到的损失函数达到最小值!

我们知道,求某个函数的极值,难免就要用到“导数”等概念。既然我们把这个系列文章定位为入门层次,那不妨就再讲细致一点。什么是导数呢?所谓导数,就是用来分析函数“变化率”的一种度量。针对函数中的某个特定点x0,该点的导数就是x0点的“瞬间斜率”,也即切线斜率,见公式(7.1)。

$$ f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \\\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\tag{7.1} $$

如果这个斜率越大,就表明其上升趋势越强劲。当这个斜率为0时,就达到了这个函数的“强弩之末”,即达到了极值点。而前文提到的损失函数,如果要达到损失最小,就难免用到导数“反向指导”如何快速抵达极小值。
在单变量的实值函数中,梯度就可以简单地理解为只是导数,或者说对于一个线性函数而言,梯度就是线的斜率。但对于多维变量的函数,它的梯度概念就不那么容易理解了。下面我们来谈谈这个概念。
在向量微积分中,标量场的梯度其实是一个向量场(vector filled)。对于特定函数的某个特定点,它的梯度就表示从该点出发,该函数值增长最为迅猛的方向(direction of greatest increase of a function)[6]。假设一个标量函数f的梯度记为:\(f\)或\(grad f\),这里的表示向量微分算子。那么,在一个三维直角坐标系,该函数的梯度就可以表示为公式(7.2):

$$ \nabla f = \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial y}},\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right)\tag{7.2} $$

求这个梯度值,难免要用到“偏导”的概念。说到“偏导”,这里顺便“轻拍”一下国内的翻译。“偏导”的英文本意是“partial derivatives(局部导数)”,书本上常翻译为“偏导”,可能会把读者的思路引导“偏”了。
那什么是“局部导数”呢?对于多维变量函数而言,当求某个变量的导数(相比于全部变量,这里只求一个变量,即为“局部”),就是把其它变量视为常量,然后整个函数求其导数。之后,这个过程对每个变量都“临幸”一遍,放在向量场中,就得到了这个函数的梯度了。举例来说,对于3变量函数\(f = {x^2} + 3xy + {y^2} + {z^3}\),它的梯度可以这样求得:
(1) 把\(y\),\(z\)视为常量,得\(x\)的“局部导数”:

$$ \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x + 3y $$

(2) 然后把\(x\),\(z\)视为常量,得\(y\)的“局部导数”:

$$ \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3x + 2y $$

(3) 最后把\(x\),\(y\)视为常量,得\(z\)的“局部导数”:

$$ \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3{z^2} $$

于是,函数\(f\)的梯度可表示为:

$$ \nabla f = grad(f) \\\\ = \left( {2x + 3y,3x + 2y,3{z^2}} \right) $$

针对某个特定点,如点A(1, 2, 3),带入对应的值即可得到该点的梯度:

$$ \begin{aligned} \nabla f & = grad(f)\\\\&=(2x+3y,3x+2y,3z^2)\mid_{\begin{aligned}& x=1 \\\\ & y=2 \\\\ & z=3 \end{aligned}} \\\\ & = (8,7,27) \end{aligned} $$

这时,梯度可理解为,站在向量点A(1, 2, 3),如果想让函数f的值增长得最快,那么它的下一个前进的方向,就是朝着向量点B(8,7,27)方向进发(如图7-3所示)。很显然,梯度最明显的应用,就是快速找到多维变量函数的极(大/小)值。


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图7-5 梯度概念的示意图

在这里需要说明的是,我们用“局部导数”的翻译,仅仅是用来加深大家对“偏导”的理解,并不是想纠正大家已经约定俗成的叫法。所以为了简单起见,在后文我们还是将“局部导数”称呼为“偏导”。

7.4 到底什么是梯度下降?

上面我们提到了梯度的概念,下面我们说说在求损失函数极小值过程中,常常提到的“梯度递减”的概念。
我们先给出一个形象的案例。爬过山的人,可能会有这样的体会,爬坡愈平缓(相当于斜率较小),抵达山峰(函数峰值)的过程就越缓慢,而如果不考虑爬山的重力阻力(对于计算机而言不存在这样的阻力),山坡越陡峭(相当于斜率越大),顺着这样的山坡爬山,就越能快速抵达山峰(对于函数而言,就是愈加快速收敛到极值点)。


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图7-6 梯度递减求极小值

如果我们把山峰“乾坤大挪移”,把爬山峰变成找谷底(即求极小值),这时找斜率最陡峭的坡而攀爬山峰的方法,并没有本质变化,不过是方向相反而已。如果把登山过程中求某点的斜率称为“梯度(gradient)”,而找谷底的方法,就可以把它称之为“梯度递减(gradient descent)”,示意图如图7-6所示。
依据“梯度递减”作为指导,走一步,算一步,一直遵循“最陡峭”的方向,探索着前进,这个过程,是不是有点像邓公的名句“摸着石头过河”?

这个“梯度递减”体现出来的指导意义,就是“机器学习”中的“学习”内涵,即使在大名鼎鼎的“AlphaGo”中,“学习”这是这么玩的!你是不是有点失望?这机器学习也太不高大上了!

但别忘了,在第一讲中,我们就已经讲到“学习”的本质,在于性能的提升。利用“梯度递减”的方法,的确在很大程度上,提升了机器的性能,所以,它就是“学习”!
当然,从图7-3中,我们也很容易看到“梯度递减”的问题所在,那就是它很容易收敛到局部最小值。正如攀登高峰,我们会感叹“一山还比一山高”,探寻谷底时,我们也可能发现,“一谷还比一谷低”。但是“只缘身在此山中”,当前的眼界让我们像“蚂蚁寻路”一样,很难让我们有全局观,因为我们都没有“上帝视角”。

7.5 重温神经网络的损失函数

针对前馈神经网络的设计,输入和输出层设计比较直观。比如说,假如我们尝试判断一张手写数字图片上面是否写着数字“2”。很自然地,我们可以把图片像素的灰度值作为网络的输入。如果图片的维度是16×16,那么我们输入层神经元就可以设计为256个(也就是说,输入层是一个包括256个灰度值向量),每个神经元接受的输入值,就是规格化的灰度值。

而输出层的设计也很简单,就是需要包含10神经元,输出是数字“0~9”的分类概率(也就是说,输出层是一个包括10个概率值的向量)。择其大者而判之,如图7-7所示,如果判定为“2”的概率(比如说80%)远远大于其他数字,那么整个神经网络的最终判定,就是手写图片中的数字是“2”,而非其它数字。
相比于神经网络输入、输出层设计的简单直观,它的隐含层设计,可就没有那么简单了。说好听点,它是一门艺术,依赖于“工匠”的打磨。说不好听点,它就是一个体力活,需要不断地“试错”。

但通过不断地“折腾”,研究人员还真是掌握了一些针对隐层的启发式设计规则(如下文即将提到的BP算法),以此降低训练网络所花的开销,并尽量提升网络的性能。
那么,怎样才算是提升神经网络性能呢?这就需要用到前面我们前面提到的损失函数了。在第六章我们提到,所谓“损失函数”,就是一个刻画实际输出值和期望输出值之间“落差”的函数。
为了达到理想状态,我们当然希望这种“落差”最小,也就是说,我们希望快速配置好网络参数,从而让这个损失函数达到极小值。这时,神经网络的性能也就接近最优!

关于求损失函数极小值,台湾大学李弘毅博士给出了一个通俗易懂的例子,下面我们来说说。对于识别手写数字的神经网络,训练数据都是一些“0,1 2, …, 9”等数字图像,如图7-8所示。


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图7-8 识别手写数字的神经网络

由于人们手写数字的风格不同,图像的残缺程度不同,输出的结果有时并不能“十全十美”,于是我们就用损失函数来衡量二者的误差。前面我们提到,常用的损失函数是:

$$ (Y,f(X)) = \frac{1}{2}{(Y - f(X))^2}\tag{7.3} $$

机器学习的任务,在很大程度上,找一个模型,拟合(fitting)或者说“适配”给定的训练数据,然后再用这个模型预测新数据。这个模型的表现形式,具体说来,就是设计一个好用的函数,用以揭示这些训练样本随自变量的变化关系。揭示拟合好坏的程度,就要用到损失函数。“损失”越小,说明拟合的效果就越好。


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图7-9 用梯度递减,更新网络权值

在我们训练神经网络时,损失函数说白了,就是有关“权值参数”的函数。为了求损失函数的极小值,就不可避免地需要计算损失函数中每一个权值参数的偏导数,这时前文中提到的“梯度递减”方法就派上用场了。训练线性单元的梯度递减算法示意图如图7-9所示,图中的参数η就是“学习率”,它决定了梯度递减搜索的步长,这个步长“过犹不及”。如果值太小,则收敛慢,如果值太大,则容易越过极值,导致网络震荡,难以收敛。
图7-9仅仅给出一个权值变量\(w_i\)的梯度示意图,而实际上,神经网络中的参数是非常多的,因此针对损失函数\(L\)的权值向量的梯度\(mathop wlimits^ to\)可以记作:

$$ \nabla L(\mathop w\limits^ \to ) \equiv \left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial {w_0}}},\frac{{\partial L}}{{\partial {w_2}}},...,\frac{{\partial L}}{{\partial {w_n}}}} \right]\tag{7.4} $$

在这里,\(nabla L(mathop wlimits^ to )\)本身就是一个向量,它的多个维度分别由损失函数\(L\)对多个权值参数\(w_i\)求偏导所得。当梯度被解释为权值空间的一个向量时,它就确定了L对陡峭上升的方向。
如果需要根据图7-9所示的公式来更新权值,我们需要一个更加实用的办法,在每一步重复计算。幸运的是,这个过程并不复杂,通过简易的数学推导,我们可以得到每个权值分量\(w_i\)更加简明的计算公式:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial w_{i}}= & \frac{\partial}{\partial w_{i}}\frac{1}{2}(Y-f(X))^2=\frac{1}{2}\sum_{d\in D}\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-y_{d}')^2 \\\\ = & \frac{1}{2}\sum_{d\in D}2(y_{d}-y_{d}')\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-y_{d}') \\\\ = & \sum_{d\in D}(y_{d}-y_{d}')\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-\vec{w}\cdot\vec{x}_{d}) \\\\ = & \sum_{d\in D}(y_{d}-y_{d}')(y_{d}-\vec{x}_{id}) \end{aligned} \tag{7.5} $$

其中,\(x_{id}\)表示训练集合第\(d\)个样例的输入分量\(x_i\),\(y_d\)表示第\(d\)样例的期望输出值,\(y_{d}^{’}\)表示第\(d\)样例的实际输出值,这二者的差值就是“损失(loss)”,也称之为误差(error)。有了公式(7.5)做支撑,图7-9所示的算法就可行之有“章法”了。
有了前面的知识铺垫,我们终于可以在下一章谈谈误差反向传播(Back Propagation,BP)算法了。

7.6 小结

在本章中,我们主要讲解了梯度的概念。所谓梯度,就是该函数值增长最为迅猛的方向,然后我们介绍了梯度下降法则。
在下一章中,我们将用最为通俗易懂的图文并茂的方式,给你详细解释误差反向传播(BP)算法。BP算法不仅仅是作为经典留在我们的记忆里,而且,它还“历久弥新”活在当下。要知道,深度信念网(也就是深度学习)之所以性能奇佳,不仅仅是因为它有一个“无监督”的逐层预训练(unsupervised layer-wise training),除此之外,预训练之后的“微调(fine-tuning)”,还是需要“有监督”的BP算法作为支撑。
由此可见,BP算法影响之深,以至于“深度学习”都离不开它!
“世上没有白走的路,每一步都算数”。希望你能持续关注。

7.7 请你思考

通过本章的学习,请你思考如下问题:
(1)在前馈神经网络中,隐含层设计多少层、每一层有多少神经元比较合适呢?我们可以设定一种自动确定网络结构的方法吗?
(2)神经网络具有强大的特征表征能力,但“成也萧何,败也萧何”,BP算法常常遭遇“过拟合(overfitting)”,它可能会把噪音当做有效信号,你知道有什么策略来避免过拟合吗?

【参考文献】

[1] 吴军. 智能时代. 中信出版集团. 2016.8
[2] Hinton G E, Osindero S, Teh Y W. A fast learning algorithm for deep belief nets[J]. Neural computation, 2006, 18(7): 1527-1554.
[3] Williams D, Hinton G. Learning representations by back-propagating errors[J]. Nature, 1986, 323(6088): 533-538.
[4] Rumelhart D E, McClelland J L, PDP Research Group. Parallel Distributed Processing, Volume 1 Explorations in the Microstructure of Cognition: Foundations[J]. 1986.
[5] Tom Mitchell著.曾华军等译. 机器学习. 机器工业出版社. 2007.4
[6] Better Explained. Vector Calculus: Understanding the Gradient

文章作者:张玉宏,著有《品味大数据》一书。
联系邮件:zhangyuhong001@gmail.com
审校:我是主题曲哥哥。

【参考文献】

[1] (美) 雷·库兹韦尔, 李庆诚等译. 奇点临近.机械工业出版社.2012.12
2尤瓦尔·赫拉利,未来简史. 出版社:中信出版社.2017.1
[3] 李航.统计学习方法.清华大学出版社.2012.3
[4] Hornik K, Stinchcombe M, White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators[J]. Neural networks, 1989, 2(5): 359-366.

文章作者:张玉宏(著有《品味大数据》
本文自选自《深度学习之美》一书(2018年7月电子工业出版社)

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##(未完待续)
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