如何用线性筛法求欧拉函数

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如何用线性筛法求欧拉函数

angel_imp 2016-03-24 12:27:00 浏览3480
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前几天做了一个关于欧拉函数的题,当时就做超时了,因为我是暴力做的,后来百度了一下 线性晒法求欧拉函数,所以今天就打算系统的看一下筛法求欧拉函数的问题,该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数:

先介绍一下暴力的欧拉函数:

Eular(m) = m - (1-1/p1) - (1-1/p2) - ... - (1-1/pk)  [其中 p1, p2...pk为m的素因子]

int Eular(int m)
{
    int ret = m;
    for(int i=2; i<m; i++)
    {
        if(m%i == 0)
            ret -= ret/i;
        while(m%i == 0)
        {
            m /= i;
        }
    }
    if(m > 1)
        ret -= ret/m;
    return ret;
}

通过上述代码 我们发现它的复杂度还是挺高的~,所以在一些题目中可能不适合,会超时,所以我们就可以根据素数筛那样进行欧拉筛法:

要想求欧拉函数需要用到以下几个性质( p为素数 ):


1.  phi(p) == p-1 因为素数p除了1以外的因子只有p,所以与 p 互素的个数是 p - 1个


2. phi(p^k) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)

证明:

令n == p^k,小于 n 的正整数共有 p^k-1 个,其中与 p 不互素的个数共 p^(k-1)-1 个,它们是 1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p

所以phi(p^k) == (p^k-1) - (p^(k-1)-1) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)。


3. 如果i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i) (证明略)

举个例子:

假设 p = 3,i = 6,p * i = 18 = 2 * 3^2;

phi(3 * 6) == 18*(1-1/2)*(1-1/3) = 6

p * phi(i) = 3 * phi(6) = 3 * 6 * (1-1/2) *  (1-1/3) = 6 = phi(i * p) 正确


4. 如果i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) 

证明:

i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据积性函数的性质 phi(i * p) == phi(i) * phi(p) 其中phi(p) == p-1

所以 phi(i * p) == phi(i) * (p-1).

再举个例子:

假设i = 4, p = 3, i * p = 3 * 4 = 12

phi(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4

phi(i) * (p-1) = phi(4) * (3-1) = 4 * (1-1/2) * 2 = 4 = phi(i * p)正确


了解了这些性质之后 我们要做的就是就是写程序了,具体咋写呢,就让我们参考一下素数筛,然后就可以写啦。


My Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
bool flag[MAXN];///标记数组
int phi[MAXN];///欧拉函数值,i的欧拉函数值=phi[i]
int p[MAXN];///素因子的值
int cnt = 0;
void Get_phi()///筛法求欧拉函数
{
    cnt = 0;
    memset(flag, true, sizeof(flag));
    phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<MAXN; i++)///线性筛法
    {
        if(flag[i])///素数
        {
            p[cnt++] = i;
            phi[i] = i-1;///素数的欧拉函数值是素数 - 1
        }
        for(int j=0; j<cnt; j++)
        {
            if(i*p[j] > MAXN)
                break;
            flag[i*p[j]] = false;///素数的倍数,所以i*p[j]不是素数
            if(i%p[j] == 0)///性质:i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i)
            {
                phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i];
                break;
            }
            else
                phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i];///i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) 
        }
    }
}
int main()
{
    Get_phi();
    int m;
    while(cin>>m)///测试
    {
        cout<<phi[m]<<endl;
    }
    return 0;
}


练习题:


POJ 2478

HDU 2824



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