本节书摘来自华章社区《电子元器件的可靠性》一书中的第2章，第2.7节正态分布或高斯分布，作者王守国，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看
2.7 正态分布或高斯分布
2.7.1 正态分布规律
正态分布（Normal，Gaussian Distribution）最初是由误差理论推导出来的，是概率论中最重要的概率分布之一。它是哈根和高斯从不同假设角度出发，推导出相同的分布函数，故又称高斯分布，其分布密度函数f(t)为f(t)=12πe－(t－μ0)22σ2（2-13)式中，σ、μ0为与时间无关的常数。σ称为标准偏差或方均根误差，μ0称为均值。其失效分布密度函数如图2.13a所示。
从图2.13中可以看出：
1） 曲线关于μ0左右对称，两边的面积正好各占一半，且(μ0－σ)～(μ0+σ)的面积为曲线下总面积的68.3%，(μ0－2σ)～(μ0+2σ)的面积为曲线下总面积的95.4%，(μ0－3σ)～(μ0+3σ)的面积为曲线下总面积的99.7%，而不论σ值的大小如何均是这样，如图2.13b所示。
2） 在相同的σ值下，μ0的大小只影响图形的位置，而不影响形状。也就是说，μ0影响分布函数的平均值。
3） 在相同的μ0值下，σ的大小只影响曲线的平坦程度。σ越大，曲线越平坦，其失效概率分布越分散。
因此，只要确定均值μ0和标准偏差σ，就完全确定正态分布曲线。
2.7.2 失效率的状态分布
正态分布代表了产品的失效时间是以均值μ0为中心的对称分布，其失效率随时间增长而递增。正态分布可用来描述产品在某一时刻后由损耗或退化产生的失效。产品服从正态分布的可靠性特征量分别为:
可靠度R(t)=∫∞tf(t)dt=12πσ∫∞te－(t－μ0)22σ2dt累积失效概率F(t)=1－R(t)=∫t0f(t)dt=12πσ∫t0e－(t－μ0)22σ2dt失效率λ(t)=－1R(t)dR(t)dt=f(t)R(t)∫∞tf(t)dt=e－(t－μ0)22σ2∫∞te－(t－μ0)22σ2dt平均寿命μ=∫∞0tf(t)dt因为正态分布是对称分布，所以其数学表达式应为μ=∫∞0tf(t)dt=∫∞－∞t12πσe－(t－μ0)22σ2dt设Z=t－μ0σ，则t=σZ+μ0，dt=σdZ
代入上述，则可得μ=12π∫∞－∞(σZ+μ0)e－Z22dZ
=12π∫∞－∞σZe－Z22dZ+12π∫∞－∞μ0e－Z22dZ
=－σ2π∫∞－∞de－Z22+μ02π∫∞－∞e－Z22dZ
=－σ2πe－Z22∞－∞+2μ02π∫∞0e－Z22dZ
=2μ02π2∫∞0e－Z22dZ2=2μ0ππ2=μ0 因此，服从正态分布的电子产品的平均寿命是常数，且等于分布函数的均值μ0。显然，σ将表示产品寿命的分散程度，σ小表示分散程度小。
同样，也可以求出正态分布的方差，它等于分布的标准偏差的平方，即正态分布的方差为Dt=∫∞－∞(t－μ0)2f(t)dt=σ2 正态分布在可靠性计算中有两个主要应用：第一是考虑元器件的定量特性与标称值的关系，包括计算电子元器件特性符合性能要求的概率；第二是用于电子元器件描述耗损失效期的失效分布规律，因为耗损失效期的分布规律非常接近于正态分布。
必须指出的是，在威布尔分布与正态分布的分布函数均值和标准偏差相等的条件下，当威布尔分布的形状参数m介于3～4之间时，两种分布的分布密度函救的曲线基本上是重合的。因此，可以将正态分布规律用m=3～4的威布尔分布规律来近似。
2.7.3 正态分布概率纸
正态分布参数μ0、σ可用解析方法计算来确定，也可以根据类似威布尔分布的分析方法构造出正态概率纸，用图解法来求得。
因为累积失效概率函数F(t)=1－R(t)=∫t0f(t)dt=12πσ∫t0e－(t－μ0)22σ2dt若令Z=t－μ0σ，则dZ=1σdt，有F(t)=1－R(t)=∫Z－∞12πe－Z22dZ=Φ(Z) 显然，给出一个Z值，就有函数值Φ(Z)与之对应，正态分布表就是Z值与Φ(Z)值之间的对应关系表，其特殊点的对应关系如图2.14所示。
利用其对应关系可以构造出一种特殊概率纸——正态概率纸。正态概率纸也由两个直角坐标系构成，一个直角坐标系是t～Z直角坐标系，横轴是t轴，纵轴是Z轴，两坐标轴的刻度是线性的，另一个直角坐标系是t～Φ(Z)坐标系，由于F(t)=Φ(Z)，也就是t～F(t)坐标系，其横轴还是原来的t轴，刻度不变；纵轴还是原来的纵轴，但纵轴的F(t)=Φ(Z)是按图2.14对应Z值的Φ(Z)值划分刻度的，从而构成正态概率纸，如图2.15所示。
因为Z=t－μ0σ，Z与t呈线性关系，所以，凡产品失效概率遵循正态分布规律时，在t～Z直角坐标系中将描绘出一条直线，而这条直线同样描绘在t～F(t)坐标系中。因此，满足正态分布的分布函数F(t)在t～F(t)坐标系中必将是一条直线，把这样的概率纸称为正态概率纸。
对于正态分布用正态概率纸来处理是十分方便的。下面简述正态概率纸的应用。
1.确定失效分布
1） 同前所述，将试验数据由小到大排列，按t～F(t)作成数据表；
2） 在正态概率纸上描绘出［ti,F(ti)］对应的点；
3） 通过所描出的点按最小二乘法原则或目视法配置回归直线，此直线就是所确定的产品失效分布曲线。
2.正态分布参数的估计
（1） 平均寿命μ0的估计
过F(t)轴上刻度为50%的点引水平线与回归直线相交，过交点引垂线与t轴相交的刻度值即为μ0。
因为F(t)=0.5所对应的Z=0，即t0.5=Zσ+μ0=μ0
（2） 标准偏差σ的估计
过F(t)轴上刻度为84.1%或15.9%的点，引水平线与回归直线相交，过交点做垂线与t轴相交的刻度值分别为t0.841或t0.159，则σ=t0.841－t0.5=t0.841－μ0或σ=t0.5－t0.159=μ0－t0.159如图2.15所示。这是因为Z=t－μ0σ，当Z=－1时，有－1=t0.159－μ0σ；当Z=0时，有0=t0.5－μ0σ；当Z=1时，有1=t0.841－μ0σ。
实际上有不少产品，其失效分布并不完全符合正态分布，更符合对数正态分布，如某些半导体器件和引擎材料疲劳试验的裂缝缺陷导致的失效，其分布符合对数正态分布。对数正态分布函数形式和分析方法与正态分布相类似，不同的只是将t用lnt来代替而已，其分布函数为F(t)=Φlnt－μ0σ如令lnt=x，则u=x－μ0σ，有F(t)=Φx－μ0σ=Φ(u) 由于t与x一一对应，u与Φ(u)也一一对应，因此，可以构造出对数正态概率纸。它与正态概率纸的唯一不同之出，只是横轴不按t线性刻度划分，而是按lnt线性刻度划分。同样可得对数正态分布的对数均值估计值为μ0=lnt0.5，以及对数标准偏差的估计值为σ=μ0－lnt0.159或σ=lnt0.841－μ0 这里必须特别指出的，由这种概率纸虽可估计出对数均值μ0和对数标准偏差σ，但不能直接从图上估计出产品的寿命特征值，还必须按下式换算才能得到产品的寿命均值α和标准偏差的估计值β公式，即α=eμ0+0.5σ2
σ=αeσ2－1
