本节书摘来自华章社区《电子元器件的可靠性》一书中的第2章，第2.5节威布尔分布及其概率纸的结构和用法，作者王守国，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看
2.5 威布尔分布及其概率纸的结构和用法
2.5.1 威布尔分布函数
威布尔分布是可靠性分布中最常用、最复杂的一种分布，其分布函数是由瑞典科学家威布尔从材料强度的统计理论推导出来的一种失效分布函数。这种函数的物理模型是由n个环组成的链，当在链的两端施加拉力t时，环的最低强度是γ，求解链拉断的概率而推导出来的一种失效分布。
根据概率论知识求出链断裂的概率F(t)是F(t)=1－e－(t－γ)mt0 （t－γ≥0）（2-7）所以R(t)=e－(t－γ)mt0 （t－γ≥0）（2-8）失效密度函数f(t)是f(t)=－dR(t)dt=mt0(t－γ)m－1e－(t－γ)mt0 （t－γ≥0）（2-9）失效率函数λ(t)为λ(t)=－1R(t)dR(t)dt=mt0(t－γ)m－1 （t－γ≥0）（2-10）式中，m、γ、t0均为与时间无关的参数，分别称为形状参数、位置参数和尺度参数。由于威布尔分布函数是由具体物理模型抽象出来的数学表达式，因而这三个参数必然有其明确的几何意义和物理意义。
1.形状参数m
形状参数m是这三个参数中最重要的一个参数，为了说明其几何意义，将描绘出上述函数图形，分别得到图2.5a、b和c，其中是在t0=1、γ=0的情况下，m取值不同时，威布尔分布的可靠性函数曲线。从图2.5中可以看出，m值的大小不同，曲线的形状就不同，因此，m值决定了威布尔分布函数曲线的形状，故称为形状参数。从物理本质上看，曲线的不同形状反映出失效分布类型不同，对应于不同的失效物理机制。因此，可以根据m值来确定和判断电子产品的失效类型，受形状参数影响最显著的是失效密度函数曲线，按m<1、m=1、m>1分成三种失效类型。当m>1时，m值越大，曲线峰值越高、越尖锐。
2.位置参数γ
为绘图方便，取t0=1，m为定值，取不同的γ值（γ<0,γ=0,γ>0）时，绘出失效密度函数，如图2.6所示。由图2.6可以看出，当m、t0相同，不同的γ时，其失效密度函数曲线的形状是完全一样的，所不同的只是曲线在时间坐标轴上的位置平行移动，故称γ为位置参数。γ>0时的曲线，等于由γ=0时的曲线向右平行移了距离γ；γ<0时的曲线，等于由γ=0的曲线向左平行移动了距离γ。从物理本质上来说，位置参数并不改变产品失效分布类型，γ<0，表示某些产品从开始工作时就已经有失效品，即这些产品在储存期间(即工作之前)就已经有产品失效；而γ>0，表示产品在γ时间内，在规定条件下工作，绝对不会出现产品的失效，也就是说，产品存在一个绝对安全期。一般情况下，受试或工作的产品都应是好的，而且要保证产品在特定时间内不出现失效是比较少见的，因此，通常均假设γ=0，这样既比较符合实际情况，又比较方便分析问题。
威布尔分布函数的平均值，即产品寿命的平均值由前一节可得，μ=∫∞0tf(t)dt=∫∞0R(t)dt=∫∞0e－tmt0dt令Z=tmt0，则t=(t0Z)1m
所以dt=1m(t0Z)1m-1t0dZ=1mt1m0Z1m-1dZ因此μ=∫∞0e-Z1mt1m0Z1m-1dZ=t1m0m∫∞0Z1m-1e-ZdZ=t1m01mΓ1m式中，Γ1m是以1m为参量的伽马函数，Γ1m=∫∞0Z1m－1e－ZdZ，如对Γ函数式进分部积分，可得Γ1m=1m－1Γ1m－1显然μ=t1m01mΓ1m=t1m0Γ1m+1因此，只要知道了威布尔分布函数的形状参数m，通过计算或查Γ函数表，即可得出Γ1m+1值，如果尺度参数t0也知，就可求出其平均寿命μ值。求解Γ函数的方法有：查阅工具书附录中的Γ函数表（一般列出了m～Γ1m+1的Γ函数表）；科学计算器相应功能求解；在EXCEL中求解；其他方法（如Matlab）求解。
平均寿命μ值只反映了一批产品寿命的平均水平，它并不反映该批产品中每只产品寿命值的分散程度。若寿命值的分散性很大，虽然平均寿命可能符合要求，但其质量水平仍不高，因此，常采用表征产品寿命分散程度的新特征量——寿命方差加以描述。寿命方差表示每个产品的寿命与平均寿命差值的平方和的平均值。对于威布尔分布函数的寿命方差σ2也可以按下式求得，即σ2=∫∞0(t－μ)2f(t)dt=∫∞0t2f(t)dt－2μ∫∞0tf(t)dt+μ2∫∞0f(t)dt
=∫∞0t2f(t)dt－2μ2+μ2=∫∞0t2f(t)dt－μ2根据上面的推导方法，上式可得σ2=t2m0Γ2m+1-t1m0Γ1m+12=t2m0Γ2m+1-Γ21m+1 对照上述图形，只要选择合适的m值，就可分别得到m<1、m=1、m>1所对应的早期失效期、偶然失效期、耗损失效期的失效率曲线，这也是威布尔分布在可靠性工程中能得到广泛应用的重要原因。
2.5.2 威布尔概率纸
从试验所得到的数据直接用解析法求解威布尔分布的三个参数，一般是比较复杂的。比较简便、直观的方法是图解法。它是借助一种特殊的概率纸工具来分析失效规律，确定其相应分布参数的方法。用威布尔概率纸分析威布尔分布是非常方便的。下面简要介绍威布尔概率纸的构造原理及其应用。
对于威布尔分布，累积失效概率为F(t)=1－e－tmt0 （γ=0，t≥0）从可靠性试验所得到的失效信息：一个是失效产品数r（可计算出F(t)），另一个是相应的失效时间。因此，能否将上述函数t～F(t)的复杂关系通过数学变换而转换为线性函数呢？如有可能，将使失效分析大大简化，下面的变换正是从这一基本思想出发的。
由F(t)=1－e－tmt0，得到11－F(t)=etmt0
两边取两次自然对数，可得lnln11－F(t)=mlnt－lnt0令y=lnln11－F(t)，x=lnt，B=lnt0，则上式变为y=mx－B在x-y直角坐标系中，显然上式所描述的是一条直线，这条直线的斜率为m，在纵坐标轴上的截距为－B，根据这种关系，可制作出一种特殊坐标纸——威布尔概率纸。威布尔概率纸有两个直角坐标系：一个是x-y直角坐标系，其轴符合线性刻度；另一个是t～F(t)直角坐标系，其轴不符合线性刻度。两坐标系刻度之间有严格的对应关系，即按t=ex和F(t)=1－e(－ey)的对应关系划分刻度，两坐标系对应轴上的特殊点之间的数值关系如表2.3所示。
如果产品失效分布遵从威布尔分布，那么失效分布曲线在x-y坐标系中将是一条直线，这条直线又在t～F(t)坐标系中，因此，符合威布尔分布的产品失效分布曲线在威布尔概率纸上是一条直线。这条直线很容易得到，只要在概率纸上找出两个特殊点，就可绘出满足方程的直线。
若设x=0，则y=－B=－lnt0，可确定纵轴上的Q点；若设y=0，则x=lnt0m，可确定横轴上的P点；通过Q、P两点做直线，即得到描述此方程的直线，通常把此直线称为回归直线，如图2.8所示。
根据威布尔概率纸的构造原理，现已制作出威布尔概率纸，直接供有关人员使用。
2.5.3 威布尔概率纸的应用
1.确定产品失效分布规律
首先根据试验结果所得的失效数据制作数据表，即可靠性试验实测的失效时间t和相应的累积失效概率F(t)制作数据表格，如表2.4所示。
其中F(t)可按下式计算：
在实际试验中，样品没有失效自动记录装置，常采用定时测量。若在某一时刻测量得Ki只产品失效，它并不表明是在该时刻失效，而是表示在(ti－1～ti)时段中只有Ki只产品失效，每只产品的具体失效时间并不知道，通常采用等间隔分配方法进行确定。其具体方法是将某时段(ti－1～ti)等分为Ki+1段，每一小段分配一个产品的失效时间。
然后配置分布直线，根据上述分析，这些点在理论上应完全在一条直线上，实际上，由于抽样和试验的分散性，这些点大致在一条直线附近摆动，可按照最小二乘法原则或目视法来配置这条直线，把这条直线称为回归直线。
所谓最小二乘法，就是配置这样一条直线，使所有实测值与直线上对应点数值的差值的平方和最小，这样的直线又称最佳直线。
目视法配置直线误差较大，而且因人而异，因此只在初步判断时或要求不高的场合中使用。配置直线应遵循下面三条原则：A.回归直线必须使数据点交错分布在线的两边；B.回归直线两边的数据点应大致相等，不要相差悬殊；C.在F(t)=0.5～0.6附近的数据点与回归直线的偏差应尽可能小。
2.估算威布尔分布函数的参数
（1） 形状参数m的估计
在威布尔概率纸上，过x轴上x=1这点(x=1,y=0的坐标点称为m的估计点或m估点)，做回归直线的平行线，与y轴相交一点，此点在y轴的坐标值即为－m，如图2.9所示。这是因为回归直线的方程为y=mx－B其斜率为m。而所做直线与回归直线平行，所以其斜率也为m，显然这条平行直线的方程为y=mx－m所以，过m估点且与回归直线平行的方程在y轴上的截距等于－m。
（2） 尺度参数t0值的估计
回归直线y=mx－B与y轴的交点为Q（0，b），过交点引水平线与y轴刻度相交，其值为b（b<0），在x轴上取刻度值为b，过此点做垂线与t轴相交的刻度值即为t0，如图2.10所示。
法进行估计，即将曲线向左(对于γ>0)或向右(对于γ<0)移动一个距离，使之变成一条直线，所移的距离即为γ值。γ值的大小可以这样初步确定，即将回归曲线按其变化趋势延伸至与t轴相交，其交点坐标值即为γ的近似值，然后按此值移动图形，看是否变成一条直线，如果不是直线，再适当调整γ值，直到转换成一条直线，所得值才是γ的估计值γ。
3.确定产品的寿命特征值
（1） 中位寿命t0.5的估计
中位寿命t0.5是指可靠度从1降到0.5所对应的寿命值，即R(t0.5)=1－F(t0.5)=0.5，所以，F(t0.5)=0.5，从图上估计，t0.5是由F(t)轴上50%的点引水平线与回归直线相交，由交点引垂线与t轴相交点的刻度，即为中位寿命t0.5。
（2） 特征寿命η值的估计
所谓特征寿命η是指可靠度从1下降到1e所表征的寿命时间。因为R(η)=1e=36.8%，所以F(η)=1－R(η)=63.2%，于是，用威布尔概率纸，过F(t)=63.2%的点做水平线与回归直线的交点所对应t轴的坐标值，即为η的估计值η，如图2.10所示。
关于t0与η的关系，很容易推得。因为R(η)=e-ηmt0=e-1所以ηmt0=1即ηm=t0或η=t1m0(2-11)（3） 可靠寿命tR的估计
满足可靠度R(tR)=R的值，所对应的寿命值tR称为可靠寿命。利用威布尔概率纸，在F(t)轴上找出F(tR)=1－R(tR)的值，过此点引水平线与回归直线相交，过交点引垂线与t轴交点的刻度值，即为tR值，如图2.10所示。
（4） 平均寿命μ值的估计
由前可知，平均寿命为μ=t1m0Γ1m+1=ηΓ1m+1，因此，平均寿命μ可按下面三种方法加以估计：
第一种方法，由图估计法得到m、η，根据m值确定Γ1m+1值，按上式计算可确定μ的估计值μ。
第二种方法，利用威布尔概率上的辅助坐标μ/η，如图2.12所示，通过“m估点”做回归直线的平行线与y轴相交，过交点引平行线与辅助坐标μ/η相交，即图2.12中K点，其交点所对应的值为μ/η，则平均寿命的估计值μ为μ=μηη因为μη=Γ1m+1，而Γ函数值又与m有关，所以，通过“m估点”确定出回归直线的m值是唯一的，有一个m值，即有一个与m对应的Γ函数值，也就是，有唯一一个μ/η比值，μ/η辅助尺正是根据此划分刻度的。
第三种方法，由“m估点”做回归直线的平行线与y轴相交，过交点引水平线与辅助尺F(μ)相交，此交点的刻度值为J，再从F(μ)轴上找到J值，过J值引水平线与回归直线相交，此交点所对应t轴的坐标，即为μ的估计值μ，如图2.12所示。
这是因为F(μ)=1－e－μmt0=1－e－μηm=1－e－Γ1m+1m 显然F(μ)的值仅仅决定于m值，有一个m值就有一个与之对应的F(μ)，因此，由“m估点”做回归直线的平行线确定m值，也就可以根据m值大小做出相对F(μ)的辅助尺，只要在F(t)上找出F(μ)，就可确定μ。
