本节书摘来自华章计算机《从问题到程序：用Python学编程和计算》一书中的第2章，第2.1节，作者 裘宗燕，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
第2章
计算和编程初步
写程序是为了实现所需要的计算，计算中总需要处理数据，因此写程序时必然要涉及数据的描述，以及从数据出发的计算过程描述。
人们在学数学时已经写过许多数学表达式，其中的一些表达式描述的就是从一些数值出发的计算过程，例如下面这个数学表达式：
这一表达式描述的是从一些数值出发，通过三角函数和各种算术运算，要求算出一个结果。复杂的计算需要用计算机完成，因此在用Python（或其他语言）写程序时，也经常需要写这种计算描述。上面数学表达式对应的Python语言描述是：
5.17 + 1.7 * (2.36 + sin(0.37)) / (12.3**2 – cos(15.4))
这样一段描述称为一个Python表达式，是线性的字符序列。与数学表达式相比，它多了一个作用：可以指挥计算机完成计算，算出一个结果。
学习用Python编程序，第一步是学习表达式的描述方式，弄清如何正确写出所需要的表达式。为此需要了解基本数据和表达式的写法规定：可以包含哪些成分？各种成分的意义是什么？怎样组合？表示怎样的计算过程？本章首先介绍这方面情况。
Python的基本程序单位是命令（或称语句），表达式是命令的组成部分。最基本的命令称为赋值，要求把表达式算出的值保存起来供后面所用。还有另外一些基本命令，后面将逐步介绍。任何复杂一点的计算都需要通过许多命令才能完成，而且需要根据实际情况，控制这些命令的执行过程。Python为此提供了一套控制结构。进一步说，随着程序变得更复杂，平铺直叙的程序将越来越难写好。为此Python引入了一种称为函数的基本抽象机制，使我们可以把一段计算描述包装成一个整体，抽象为一个概念。
本章首先介绍基本的数据描述方式，说明如何描述简单的计算过程。读者将接触到计算领域的许多重要概念，看到它们的地位和作用。而后介绍语句和语句的执行控制，随后介绍函数的概念。讨论中给出了许多程序示例，供读者参考。
2.1 数值表达式和算术
要了解Python的基本计算功能，最好的开始方式就是看一些简单计算实例。
2.1.1 整数计算
读者在第1章已经看到过最简单的Python程序。前面说过，在启动了IDLE的程序执行窗口，或者Python的命令行窗口之后，就会看到提示符“>>>”。我们的输入将出现在它后面。假定输入1之后按压Enter键，就能看到解释器完成的计算：
>>> 1
1注意，解释器并不是把前一行里人的输入直接拷贝到下面一行，而是完成了第1章说过的三步工作：读入Python程序代码单元（这里单元的内容就是一个字符1），完成程序要求的计算（这里要求解释器计算出1的值，得到结果还是1），最后，解释器在随后的行中显示计算结果。换句话说，这里输入的表达式1就是要求解释器工作的命令，解释器执行这个命令的效果是把计算得到的结果1显示出来。下面的命令能更好地表现解释器实现的计算过程，这里送给解释器的是“1 + 2”，解释器给出计算结果是3。
>>> 1 + 2
3可见，解释器的工作确实不是简单拷贝。
在上面两个例子里，我们送给解释器由一个或几个字符构成的序列，它们就是最简单的Python程序（结构），称为表达式。表达式也是一种命令，它要求解释器完成一个计算，得到的计算结果称为该表达式的值。在交互式执行方式下，解释器将计算出表达式的值，然后把这个值输出在窗口里，如上所示。解释器计算表达式的操作也常说成是对表达式求值，或者求值该表达式。为了更清楚，在表示交互式计算的情况时，我们将一直用正体表示人的输入（出现在提示符之后），用斜体表示解释器给出的计算结果。
并不是任何数字序列都是合法的Python程序单元，例如：
>>> 01
SyntaxError: invalid token这里用粗体表示解释器给出的错误信息，IDLE实际上用特殊颜色输出，说明计算中出现了错误。这里的错误是语法错误（SyntaxError），冒号后的细节解释说“01不是形式合法单词（token）”。这个例子说明Python对整数的形式有规定，一般而言，Python对具体单词（单词类别）都有明确的书写形式要求，初学者首先要关注这方面的情况。
我们通过键盘输入一串字符（包括空格等），Python解释器将把它切分成一系列的基本语法成分，称为单词（token）。例如“1 + 2”包含三个单词“1”、“+”和“2”。了解这个基本情况，有助于理解Python系统对程序的处理。
整数和算术运算符
Python能处理的基本数据类别之一是整数。整数常用十进制数字的序列表示，但除非是0，否则数字序列的第一个数字不能是0（上面出错的输入，原因就在这里）。
在Python里可以写任意长（任意大）的整数，例如：
>>> 1234567890123456789012345678901234567890
1234567890123456789012345678901234567890计算机硬件只能处理固定长度的整数。例如，在目前常见的64位计算机里，硬件指令一般能处理用64位二进制编码表示的整数，其范围为-263～263-1，也就是-9223372036854775808到9223372036854775807。在Python系统里对整数没有数值限制，是通过复杂的软件技术实现的。当然，由于计算机都是规模有穷的物理设备，其资源有限，无论采用什么样的软件技术，也只能在计算机硬件的物理限制内工作。实际Python系统能表达的整数还是有穷的，但这个范围非常大，一般的使用都不会超出其实际限制。但在另一方面，计算中涉及的整数越大，计算也会越慢。读者可以通过试验看到这种情况。
整数的基本计算用算术运算符描述，下面6个算术运算符可用于整数：
其中的加号既作为二元加法运算符，也作为正号；减号既作为二元减法运算符，也作为负号。其余几个都是二元运算符。这里有两个除法运算符，其中 // 表示整除，得到商的整数部分，对两个整数应用 / 得到的不是整数，而是下节将要介绍的浮点数。% 运算符求整除的余数，** 求整数的乘幂。从下面几个例子中可以看到一些情况：
>>> 30 / 7
4.285714285714286
>>> 30 // 7
4
>>> -30 // 7
-5
>>> 30 % 7
2
>>> -30 % 7
5
>>> 30 // -7
-5
>>> 2**10
1024第一个表达式的结果是带小数点的数，这就是所谓的浮点数。从上面例子还可以看到负数的整除和求余数规则，无论正整数或负整数，解释器都保证有：
被除数=除数×商+余数
整数运算可能得到很大的结果，例如：
>>> 2**1000
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376结果是一个超过300位的整数，输出了多行。这是准确的结果。
在Python语言里写算术表达式时，人们提倡在一般运算符的前后各加一个空格，但在正负号和后面数字之间不留空格，乘方运算符前后也不留空格。当然，这里留不留空格，表达式的语义不变，提倡留空格的形式，只是为了使写出的表达式更清晰。
运算符和表达式计算
Python允许写任意复杂的算术表达式，只要其形式符合要求，运算符正确应用于运算对象。表达式里出现多个运算符，就有计算的顺序问题。这里的规则与数学中类似：先乘方，再乘除（包括求余数），最后加减，也允许用括号规定计算顺序。例如：
>>> 3**2 + 4 * 5
29
>>> (3**2 + 4) * 5
65底数前面的正负号作用在乘方之后，其他情况下正负号先起作用。如：
>>> -3**4
-81
>>> -5 * -3
15多个乘除或多个加减运算符在表达式中顺序出现时，总是从左到右顺序计算。而多个乘幂运算符顺序出现，则先做右边的乘幂。例如：
>>> 10 - 4 - 3 + 5
8
>>> 2**3**2
512第2个例子求的是2的9次幂，而不是8的二次方。
基于多个二元运算符，通过组合可以写出任意复杂的表达式。在这种情况下，Python语言必须做出严格的规定，保证每个合法表达式的计算过程都有严格定义的唯一顺序。这种规定一般包括几个方面：
1）把运算符分类，给每个类别的运算符规定一个优先级。属于不同类别的运算符在表达式里顺序出现时，优先级高的运算符先做运算。在Python语言里，乘幂运算符的优先级高于一元运算符（只有一个运算对象）正号和负号，正负号的优先级高于乘除，乘除运算符的优先级高于加减。
2）给每类运算符规定一种结合顺序，从左到右或从右到左。当属于同一优先级的运算符在表达式里顺序出现时，就按其结合顺序决定计算的顺序。如前所述，在Python里加减运算符和乘除运算符都采用从左到右的结合顺序，乘幂运算符则采用从右到左的结合顺序。一元运算符只有一个运算对象，也采用从右到左的结合顺序。例如，在Python里可以写 -------20，虽然这样写的意义不大，但也是合法表达式。
3）提供括号，用于明确描述特定计算顺序。注意，一般的程序语言都只用圆括号作为描述运算顺序的括号，其他括号另有它用。Python也是这样。
4）如果一个运算符有多个运算对象，可能需要规定几个运算对象的计算顺序。Python规定多个运算对象从左到右顺序地一个个计算，例如，对于表达式(3 + 5) * (7 – 2)，先算出(3 + 5)，再算出(7 – 2)，最后使用乘法。
最后一条有点奇怪。对于从基本数据（如整数）出发写出的算术表达式，先计算运算符的哪个运算对象，得到的结果都一样。但是，确实存在另外一些Python表达式，它们的情况可能有所不同。在后面章节里可以看到这种规定的意义。
前面说过，Python解释器首先把程序看作是一系列单词。在前面程序实例中，我们已经看到了一些不同的单词，如：整数、左右括号、算术运算符。其中有两个算术运算符的形式比较特殊，整除运算符由连续的两个斜线符构成，乘幂运算符由两个连续的星号构成。这种运算符称为组合运算符，它们的两个字符之间不能有空格。
整数也很特殊：满足要求的一串数字构成一个整数，它本身又代表了计算中的一项数据，是一个量。具有这种性质的单词称为字面量，意指直接写出的数据。
各种单词都有严格规定的写法，但是，即使一串单词中每一个的形式都合法，整个单词序列也未必构成一个合法的表达式。例如：
>>> 23 45
SyntaxError: invalid syntax
>>> 23 * * 3 / / 5
SyntaxError: invalid syntax这里出现了表达式（或其他Python程序结构）构成方式的错误，称为语法（syntax）错误。解释器在处理程序的过程中发现语法错，可以明确给出发现错误的位置。在IDLE里，系统会用特殊的颜色标明这个位置。如第1章中的介绍，应该从这个位置出发检查程序，找到错误的根源并修正之。上面第一个例子可能是忘记写运算符，第二个例子可能是组合运算符的两个字符之间多了空格。具体怎么更正由写程序的人确定。
语法错误是程序中的结构描述错误，说明程序中某个片段的写法不符合Python语言的要求。不符合Python语法的字符序列不是Python程序，因此不能执行。算术表达式是Python语言中的一种结构，下面还要介绍Python语言的其他结构。每种结构都有规定的语法形式，要在程序里使用某种结构，就必须按正确的语法形式写出它们。
还请注意，即使表达式的形式正确，计算中也可能出错。例如：
>>> 12 / 0
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#68>", line 1, in <module>
12 / 0
ZeroDivisionError: division by zero最后一行是解释器说明具体错误的信息：ZeroDivisionError意为计算中出现除以0的错误。倒数第二行给出了发生错误的表达式，前面两行是定位信息。这个错误属于第1章说明的动态运行错误。动态错误还有很多，后面会看到。
长表达式
Python允许写任意长的表达式，但原则上说一个表达式应该写在一行里。在交互式计算的环境中，一旦输入换行符号（用Enter键），解释器就认为表达式结束了，就会去检查它的形式是否合法。如果语法正确，解释器就会求值这个表达式。
假设我们计划输入一个很长的表达式，但为了某种需要（例如，太长了看不清楚），希望在其中一些地方断行。这时就遇到了问题：一旦输入一个换行符号，Python解释器就试图去求值所给的输入。如果这行输入恰好满足表达式的语法，解释器就会把它看作完整的表达式，求出它的值输出。如果这行的内容不是一个正确的表达式，解释器就输出错误信息。无论如何，这两种情况可能都不是我们期望的。
为满足人们的需要，Python做出了特殊的规定。存在两种情况，解释器将认为当前表达式没结束，其内容延续到下一行，将把下一行的内容作为本行的继续：
1）在读入一行遇到换行符时存在明显的未完成结构。以算术表达式为例，如果一行中出现的左括号没有匹配的右括号，解释器就继续读入下一行作为本行的续行。
2）一行最后一个字符（换行符前的那个字符）是反斜线符号 ，这时无论当前行的内容如何，解释器都把下一行作为续行。需要注意，在反斜线符和换行符之间不能有任何字符，包括不能有空格。一行最后的反斜线符号也称为续行符。
允许利用这两条规则反复续行。了解了这些情况，我们就可以写出任意长的表达式，可以根据自己的想法和需要，把一个复杂表达式写在任意多个连续的行中。
Python对于格式的上述要求（一个结构部分应该写在一行里）和续行规定（上面两条规则）是普遍有效的，对于任何程序结构都有效。
2.1.2 浮点数和复数
Python用浮点数模拟数学中的实数，通过浮点数计算模拟实数计算。当然，数学的实数一般不能表示为有穷长度的数字序列（例如是无理数），而Python浮点数是有穷表示，因此只能表示一定范围里的数，而且精度有限，只能表示一些实数的近似值。
浮点数字面量、溢出和截断
CPython（也就是说，Python软件基金会发布的官方的语言解释器）直接使用计算机硬件支持的标准浮点数。常见硬件都采用IEEE754浮点数标准，标准浮点数具有16～17位十进制精度，表示范围大致为，绝对值太小的实数将归结为0，绝对值更大的实数也无法表示。这些情况与前面介绍的整数不同。更详细的情况，可参看本章最后“语言细节”一节的内容。
浮点数字面量用十进制数字的序列表示，但描述中必须或者包括一个表示小数点的圆点，或者包括一个指数部分。例如：
>>> 3.14259265
3.14259265
>>> 5e-324
5e-324
>>> 1.7e308
1.7e+308
>>> 1.8e308
inf浮点数的基本部分表示其数值，这部分称为尾数。字符e之后的部分称为指数，表示数的量级。表示指数的字符可以用e或者E，随后是一个可以包含正负号的整数指数。几个部分之间必须顺序相连，不能有空格。上面最后的例子说明，过大的浮点数在Python里无法表示，系统并不认为出错，而是给出inf表示这种情况（正无穷）。浮点数字面量，或者浮点数计算的结果，都可能超出可表示范围，这种情况称为浮点数溢出。
注意，对于同一个浮点数，可以用多种不同方式去描述它，例如，1234.0、1.234e3、0.1234e4是写法不同的三个浮点数字面量，而它们描述的是同一个浮点数，并不因为在字面量写法上的差异而有任何不同。
在显示计算结果时，解释器会自动选择合适的方式，尽可能使输出容易阅读：
>>> 1.3e5
130000.0
>>> 12345678901234567890.0
1.2345678901234567e+19如果需要表示的实数的精度太高，Python浮点数无法满足需要（例如上面第二个例子，字面量包含20位有效数字），解释器就会做适当的截断和舍入。细心的读者可能看到上面第二个浮点字面量的输出，奇怪结果的最后一位为什么是7而不是8。从本章最后的补充阅读材料里可以看到一些端倪。
浮点数计算和误差
对于浮点数，也可以做前面给出的各种算术运算，可以写出任意复杂的计算表达式，描述时同样要注意算术运算符的优先级、结合顺序，也可以使用括号。例如：
>>> 1.25 ** 3.4
2.135472800670465
>>> 27.86 // 2.34
11.0
>>> 27.86 % 3.4
0.6600000000000001比较这里的最后两个例子，从中可以看到了一个现象：浮点数的计算不准确，有误差。对最后一个例子，正确无误的结果是0.66，系统给出的却是0.6600000000000001。浮点数计算有误差是计算中必然出现的一种现象。下面是另一个例子：
>>> 1.2**20
38.33759992447472
>>> 12**20 / 10**20
38.33759992447475在数学上，这里计算的两个表达式等价，但在Python系统里却得到了不同结果。这一情况并不说明Python系统有错，而是计算机硬件浮点数表示和计算方式的必然结果：由于浮点数的精度有限，在反复计算中需要不断舍入，累积的误差可能会越来越大。采用不同计算方式，产生的累积误差可能不同，因此造成上面的现象。
基于浮点数的计算也称为数值计算，数值计算中会出现计算误差，因此是一种近似计算，得到的结果是不精确的。最早开发计算机，就是为了解决复杂的科学与工程问题，其中常涉及非常复杂繁琐的数值计算。在很长的计算过程中，误差积累有可能变得非常大，甚至使最终得到的结果毫无意义。控制和评估数值计算中的误差，是科学与工程计算中的重要问题，既是非常重要的理论研究课题，也具有重要的实际意义。
复数
Python也支持复数的表示和复数计算。在数学里复数通常写成，其中a和b均为实数，分别称为这个复数的实部和虚部。Python中的复数表示与此类似，但用字符j或者J作为虚部的符号，例如1 + 2j、1.2 + 2.7J。
复数用一对浮点数表示，两个浮点数分别表示其实部和虚部。例如：
>>> (1 + 2j)**10
(237-3116j)
>>> (1 + 2j)**100
(-6.443164690985892e+34-6.113241307762508e+34j)可以看到，解释器输出复数时总用一对括号将其括起。基本四则运算和乘方都能作用于复数，但整除和求余数运算对复数无定义。
